初中数学单元整体复习的新视角

李馨

摘  要：平行四边形内容是学生学习图形的变化的良好载体. 在平行四边形的复习教学中，以课程标准为依据，以图形变化为主轴，用图形研究的一般观念引领单元整体复习教学，帮助学生建立知识之间的广泛联系. 通过这些教学策略，旨在促进学生空间观念、几何直观和逻辑推理等能力的发展.

关键词：课程标准;复习教学;整体教学;教学策略

教育部《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》指出：取消初中学业水平考试大纲，严格依据义务教育课程标准命题，不得超标命题. 在此重大变革的机遇下，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）成为初中数学学业水平考试命题的根本依据. 因此，遵从数学课程基本理念，实现数学课程目标，专注于发展学生的数学学科核心素养，是数学教学的根本任务.

2020年4月20日，笔者有幸在“深化课堂教学改革提升数学育人水平行动研究”第一次主题教研活动中做了题为“从图形变化的视角整体设计平行四边形单元复习”的报告. 笔者现将报告准备过程中的所思所想进行呈现，与大家共同探讨.

一、复习教学的策略

复习教学有别于新课教学，其意义不应止步于“温故”，而应积极探索如何“知新”. 同时，复习教学不应否认新课教学的效果和作用，应在学生已有“四基”的基础上，寻找新的增长点.

1. 以课程标准为根本依据

《标准》中的课程内容（第三学段）与平行四边形（包括平行四边形、矩形、菱形和正方形）有关的描述是“探索并证明平行四边形的性质定理;探索并证明平行四边形的判定定理”“探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理以及它们的判定定理”“探索矩形、菱形、正多边形的轴对称性质”“探索平行四边形、正多边形的中心对称性质”. 其中，对平行四边形的性质定理和判定定理的要求均为“探索并证明”，对其轴对称性质与中心对称性质的要求均为“探索”.《标准》中将描述过程目标的行为动词“探索”定义为“独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识”，将描述结果目标的行为动词“证明”定义为“综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题”. 这两个行为动词体现出《标准》对平行四边形教学内容有很高的要求. 因此，以平行四边形单元整体复习为例来谈复习教学的策略，可以为其他单元的复习提供借鉴与参考，具有一定的研究价值.

在平行四边形单元整体复习设计中把上述目标具体分为以下四个方面.

（1）能辨别平行四边形、矩形、菱形、正方形，理清它们之间的关系.

（2）能运用平行四边形的性质定理与判定定理进行相关证明和计算.

（3）会利用图形的对称性对具体问题进行分析与推理.

（4）经历以图形对称性的视角研究平行四边形的过程，寻求该视角下的研究思路、研究内容和研究方法.

2. 以图形变换为主轴，用图形研究的一般观念引领单元整体复习教学

（1）以图形变换为主轴，开展单元整体复习教学.

平行四边形單元整体复习教学设计的基本思路是以图形的对称性为主轴，串联平行四边形大单元的复习，共设置三个课时，分别为“平行四边形的中心对称性”“轴对称在矩形、菱形中的应用”“正方形的对称性”. 每个课时均由具体活动引入，通过引导学生探究，感受图形对称性在平行四边形中的重要价值，并最终解释图形对称性之间的联系.

图形的对称性包括轴对称、中心对称和旋转对称. 轴对称的代表图形是等腰三角形，中心对称的代表图形是平行四边形，旋转对称的代表图形是圆. 平行四边形具有中心对称性，将其特殊化后得到的矩形和菱形均为轴对称图形，再进一步特殊化后得到的正方形是旋转对称图形（正方形绕对角线的交点旋转90°后能与原正方形重合）. 因此，以图形的对称性为主轴对平行四边形单元进行整体复习教学设计不但有利于用整体的视野，以平行四边形为载体，从研究思路、研究内容和研究方法上统一认识图形的对称性，而且可以实现以一个全新的视角对平行四边形进行再认识，发展学生的空间观念和几何直观.

（2）以图形研究的一般观念引领单元整体教学.

在新课教学中，学生已经掌握了研究几何图形的基本思路：概念—性质—判定—特例—应用. 同时，在初学平行四边形时，学生已经掌握了通过对四边形的要素（边和角）特殊化（数量和位置）生成新的研究对象的方法. 在本单元复习中，学生可以通过类似的研究方法，以新的视角，从相关要素（对角线）的特殊化（数量和位置）方向进行继续研究. 这样的研究方法与之前的几何研究保持了内容结构的整体性和逻辑一致性，对研究其他几何图形同样具有示范性.

3. 帮助学生建立知识之间的广泛联系

单元整体教学设计强调学习内容的内部联系，强调活动设计的自然连贯，强调思想方法的良好承接，以帮助学生构建更全面的认知结构.

本单元整体教学设计强调图形对称性与平行四边形的性质、判定之间的关系. 图形的对称性是平行四边形性质的几何直观，平行四边形是图形对称性的载体，在学生的图形认知结构中，两者共同发挥着重要作用，相互依存、密不可分.

二、复习教学设计核心流程

教学设计不仅要围绕《标准》提出的教学目标、落实目标解析，还需要重视内容中蕴涵的数学思想和方法，实现数学教学的育人价值. 本单元以深度学习理念设计复习教学活动，逐一突破难点，完成知识完整、思想一致、方法普适、思维系统和逻辑连贯的整体复习教学设计.

1. 分析教学内容，确定教学重点

（1）分析知识内容的逻辑结构.

平行四边形是中心对称图形，这是从整体上对平行四边形的认识，而平行四边形的两条对角线与一组对边所组成的两个三角形成中心对称，这是从局部看图形各部分之间的关系. 在解决具体问题时，可以先对图形整体建立几何直观，再细化到局部，探索要素之间的关系. 有时候也可以根据问题中对局部图形的描述，发现其具有对称性的本质，进而认识图形的整体. 对称图形要素之间的关系需要从定性和定量两个方面进行研究. 如何综合运用图形的对称性解决问题需要学生进行分析与推理.

（2）分析思想方法和育人价值.

平行四边形内容中蕴涵的基本思想是推理和图形变换思想，核心的育人价值是发展学生的空间观念、几何直观和逻辑推理能力.

（3）确定单元教学重点.

基于以上分析，确定平行四边形单元复习的教学重点是：通过图形的对称性，再认识平行四边形的性质和判定; 以图形的对称性为主轴探究研究平行四边形的具体方法.

2. 诊断教学问题，明确教学难点，完善教学策略

学生已经学习了图形的轴对称、中心对称和旋转变化. 在学习过程中，多次以图形的变化为工具解决数学问题和实际问题，具备了一定的基础. 也已经通过要素之间的关系研究了平行四边形的性质和判定，并清楚平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形和正方形都是轴对称图形. 但是用整体视角，以图形的对称性为主轴，串联平行四边形的研究思路、研究内容和研究方法是学生没有经历过的.

基于以上分析，确定平行四边形单元复习的教学难点是：利用图形的对称性解决与平行四边形相关问题的计算或证明.

在复习教学中，教师要抓住平行四边形两条对角线之间的特殊数量关系和位置关系，引导学生建立图形对称性与平行四边形的性质及判定之间的关系，借助信息技术增强学生对平行四边形对称性的直观感受，帮助学生建立解决较为复杂问题的思路和方法，再进一步进行完整的推理和证明.

3. 在整体视野下设计单元教学的课时方案

课时安排如下表所示.

具体课时的教学核心流程及解析如下.

下面是三个课时教学的核心流程图、基本设计思路及深度学习活动设计. 核心流程图主要体现复习教学组织的过程、内容之间的联系和蕴涵的思想方法等. 在基本设计思路中简单介绍了各课时深度学习活动的组织方式及其意义和价值. 深度学习活动设计在同一课时中是前后连贯的，在三个课时中是思路统一的，具有良好的承接性.

（1）第1课时.

[①]“平行四边形的中心对称性”一课的核心流程图如图1所示.

② 基本设计思路.

第1课时的活动从整体到局部，根据平行四边形的中心对称性，以小见大. 在探究“平行四边形与其过中心的直线组合后能获得哪些结论”的活动中，对问题进行分解，关注一边中点关于中心的对称点的位置，一边上的中线关于中心对称的线段的位置等. 再从局部到整体引导学生认知，最终以中心对称的视角获得“过平行四边形两条对角线交点的任意一条直线把平行四边形分为两个全等图形”的结论，并结合图形的相关要素对问题进行各种拓展与变化.

③ 深度学习活动设计.

活动1：让学生通过两个三角形关于一点成中心对称获得平行四边形. 利用中心对称图形的性质再次理解平行四边形的性质，帮助学生从静态到动态、从整体到局部，重新认识平行四边形. 接下来，让学生在平行四边形中画出一边中点关于中心的对称点，通过一系列的追问，由点到线再到角，最后到形，引导学生关注图形的要素和相关要素，让学生再次从局部到整体认识平行四边形的性质与其中心对称性之间的联系.

活動2：将平行四边形一边的中点变化为三等分点、四等分点，以及更一般的n等分点，让学生在这个一般化的变化过程中，寻找不变的关系，并以中心对称的视角获得“过平行四边形两条对角线交点的任意一条直线把平行四边形分为两个全等图形”的结论，最后再添加对角线，引导学生由整体到局部关注图形的要素与相关要素之间的关系.

活动3：在前面活动获得的经验基础上，再增加一条过中心的直线，由学生判断这两条直线与平行四边形的交点顺次连接后所得四边形的形状，为下一课时研究矩形和菱形的轴对称性做铺垫.

（2）第2课时.

[①] “轴对称在矩形、菱形中的应用”一课的核心流程图如图2所示.

② 基本设计思路.

第2课时延续第1课时的设计思路，从整体到局部，通过将局部小三角形两边（平行四边形对角线的一半）之间数量关系和位置关系特殊化，引导学生发现矩形和菱形既延续了平行四边形的中心对称性，又因为局部特殊化后产生的等腰三角形而拥有了轴对称性，再回到整体，因此矩形和菱形产生了一般平行四边形没有的新性质，这些性质的根源在于它们的轴对称性. 最后，以轴对称结合中心对称，对矩形和菱形性质的进行应用.

③ 深度学习活动设计.

活动1：回顾新课学习中将平行四边形的要素（角）特殊化获得矩形和菱形，结合第1课时平行四边形的获得过程，从整体到局部，再将局部特殊化. 分别通过局部小三角形的两边（平行四边形对角线的一半）数量的特殊化和位置的特殊化获得矩形和菱形. 通过设置问题串及追问，引导学生发现矩形和菱形呈现的轴对称性与其局部中隐藏的等腰三角形的轴对称性有密切关系，从而将图形局部的轴对称性和整体的轴对称性进行了有机的统一. 在此基础上，由矩形和菱形的中心对称性和轴对称性出发，整体复习矩形和菱形的性质，从而对其对称性及特殊性质形成整体认知.

活动2：以矩形为背景，围绕其一条对称轴上点的不同位置展开探究，通过变式，借助图形对称性的视角解决系列问题，串联整个学习过程.

（3）第3课时.

[①] “正方形的对称性”一课的核心流程图如图3所示.

② 基本设计思路.

第3课时对图形局部进一步特殊化，发现正方形不但延续了平行四边形的中心对称性，同时还延续了矩形和菱形的轴对称性，拥有四条对称轴，于是正方形有了其他四边形所没有的性质. 而正方形所体现的旋转对称性，本质上正是因为它既有矩形的轴对称性，又有菱形的轴对称性. 关于这两条对称轴各作一次轴对称就体现出了旋转对称性.

③ 深度学习活动设计.

活动1：延续前两个课时中对平行四边形、矩形和菱形的研究思路，继续特殊化矩形和菱形的对角线获得正方形，再次将局部的对称性和整体的对称性进行统一. 从而发现正方形不仅延续了平行四边形的中心对称性，同时还延续了矩形和菱形的轴对称性，拥有四条对称轴，于是有了其他四边形所没有的性质.

活动2：让学生在正方形中寻找和已知线段（连接正方形的一个顶点和与其不相邻的边上一点的线段）相等的线段，并对画出的各种图形根据与已知线段的不同位置进行分类，最终引导学生发现一切源于正方形的对称性——中心对称性、轴对称性和旋转对称性. 然后通过两次轴对称解释正方形的旋转对称性，使学生构建对正方形所体现的图形对称性的统一认识.

三、后续思考与展望

1. 复习教学建立在教师“四个理解”的基础上

《标准》为复习教学指明了方向，同时也对教师本身的教学能力提出了更高要求. 在进行复习教学设计前应做好“前测”工作，即充分了解学生知识和能力的起点，找准复习教学的提升点. 教师要在理解数学、理解学生、理解技术、理解教学和评价“四个理解”上多下工夫，切勿把习题教学当成复习教学.

2. 复习教学应以单元整体复习的思路进行设计

在当前的教学改革形势下，加强“单元—课时”教学设计的研究是深化数学教育教学改革，提高数学教学质量的有力抓手，广大初中数学教师应给予充分重视. 在复习教学中，教师应依据《标准》对单元整体学习内容进行解构、重构和建构，对复习教学整体设计的可行性进行科学论证，完成有“数学味”的单元整体复习教学设计.

3. 关注学生核心素养的教学才具有生命力

教师通过全新的视角引导学生重新认识熟悉的数学对象，用相似的方法更系统地发现和提出问题，并进一步分析和解决问题. 正所谓“研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变”，这在培养学生的理性精神和科学态度的过程中起着积极作用. 在复习教学中，教师要帮助学生建立知识之间的联系，促進学生对数学的理解，使学生能看得更高、走得更远.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]章建跃，鲍建生. 深化课程改革，提高数学教育教学质量：暨“第十一届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动”总结[J]. 中国数学教育（初中版），2020（4）：2-20.

[3]章建跃. 学会用数学的方式解读内容设计教学：以“相交线”为例[J]. 数学通报，2019，58（1）：8-12，15.

[4]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.