整体教学：儿童数学教学的智性建构

张卫娥

摘 要：“整体教学”立足于数学知识的有机整体和学生数学素养的整体提升，用一种结构性观点、联通性思维考量儿童、数学与儿童数学教学。在儿童数学“整体教学”中，可以对知识本体进行整合，对知识结构进行类化，对数学思想进行敞亮。由此凸显知识的本质内涵，让学生获得对数学的整体感悟，进而优化教学的整体效度。

关键词：整体教学；整体思维；智性建构

数学本体性知识是有机的结构性统一体。但是由于数学教材文本表达的局限性，许多数学知识之间的关系被隐藏、悬置、遮蔽起来了。由此导致学生的数学认知被肢解、思维被固化、创造被弱化。“整体教学”从数学知识的有机整体和学生生命生长的全视野出发，把握数学知识的整体格局，努力彰显、弘扬数学、儿童与儿童数学教学的整体特质。

一、“整体教学”的内涵及其维度

“整体教学”理论认为，“知识体系”的整体大于“知识体系”的各部分之和。在数学教学中，所谓的“整体教学”就是要用数学的“高观点”、学习的“长任务”、教学的“大问题”来将数学知识中的相同或相似乃至相对、相反的意义模块进行统整、优化、组合，使得数学知识成为更具生长力的结构体。

1. 数学：结果与过程的辩证统一

儿童数学知识是“过程与结果”辩证统一的耦合体。它既表现为特定的思考、认知对象，又是具体的操作、推理过程。教学中，必须从相互关联的视角去把握“结果与过程”，谨防“结果”对“过程”的僭越。例如教学“通分和约分”（苏教版小数教材五年级下册），立足于整体教学的视角，引导学生围绕“为什么要学习通分、约分？”（为后续学习分数加减法和分数乘除法奠基）、“怎样进行通分和约分？”（运用最小公倍数和最大公约数）、“通分和约分的依据是什么？”（分数的基本性质）三个维度进行探究讨论。教学中，学生对“约分和通分”知识的前后姻缘、来龙去脉有了回溯和展望，对约分和通分的产生过程和操作形式有了完整的把握。这里，知识不再是支离破碎的灌输，而是一种整体习得。

2. 学生：认知建构的螺旋上升

学生的数学认知建构是一个矛盾发展、螺旋上升的过程，需要经历“不平衡——平衡——不平衡”的过程，这是一个伴随着不断“建构——解构——重构”的学习心理过程。教学中，教师要洞悉儿童的学习心理，努力让看似无序的学习“有序化”。例如“认识小数”的内容在小学是分阶段分散进行教学的，其中三年级的“认识小数”的主要内容是“一位小数”的认识，教学时可以密切联系学生的生活实际，如人民币单位、长度单位的进率等。教学中，要丰富学生的感性积累，通过让学生对长方形纸、米尺的认识，以及将米尺抽象成“数线图”（数轴）进行平均分的操作，引导学生建立数学意义上的“整体”概念，进而沟通分数与小数的关联，实现学生思维方式的转变。

3. 学习：从封闭走向开放

当下儿童的数学学习呈现出一种封闭状态，学生的学习被禁锢于课堂，课前缺少自主预习，课后缺少继续研究、探究的兴趣。“整体教学”吁求给学生呈现一个开放的学习平台，在这种开放的学习场域中，学生数学学习的潜能能够得到最佳的发掘和弘扬。以《圆的周长》（苏教版小数教材五年级下册）学习为例，学生在课前通过预习能够在课堂上自主进行数学实验，产生了“滚圆法”“绕圆法”等圆的周长测量方法。课堂上，笔者通过一个重物绕一个定点旋转而产生的“轨迹圆”激发学生的认知冲突，学生自然产生出探究圆的直径、半径与圆周长关系的内心驱动。然后笔者用多媒体课件出示一个圆，在圆的外面添上外切正方形和内接正六边形，让学生形成猜想：圆的周长是直径的3倍多一些、4倍少一些，随后让学生展开数学实验，通过数据得出“周三径一”的结论。课后，笔者让学生通过阅读，了解了“割圆术”“圆周率”“约率”“密率”等关于圆的一系列数学史知识，开放的学习开阔了学生的数学视界。

二、整体教学：基于儿童数学“整体素养”生成的实践建构

“整体教学”由于将数学知识上下贯通、左右相连，因而能够让学生感受、体验到数学知识的“整体之美”“逻辑之美”。学生在数学“整体教学”中将数学知识连成线、形成片、织成网，导致学生数学化能力显著提升。同时，数学知识本身也因为“整体教学”而更具有了匹配性、融合性、指向性。

1. 重组知识：追求学习的整体感悟

“只见树木不见森林”的单一式教学无法让学生获得结构化、系统化的知识。在数学“整体教学”中，教师要克服那种零打碎敲、支离破碎的散点教学状态，自觉对数学知识进行有机整合，可以是单元内的知识整合，也可以是单元间的知识整合。例如六年级《分数乘法》《分数除法》《树叶中的比》三个单元是联系紧密的三个单元，教材的安排却将综合实践活动《树叶中的比》的教学置后。教学时笔者瞻前顾后、左顾右盼，首先将《解决问题的策略》单元果断置后，同时将《树叶中的比》提前；其次在进行分数乘法和分数除法教学时，不仅将“求一个数的几分之几是多少”和“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”利用方程解法进行统一，更将“分数的意义”贯穿其中，让学生始终抓住分数中分母和分子的意义，每一个分数是对哪个数量进行平均分的，哪个数量获得多少份或者相当于多少份。如此，沟通知识间的有机关联，让学生对分数应用题中每个数量的份数有着清晰的认知，获得对数学知识的整体透视与感悟。

2. 类化结构：凸显知识的本质内涵

在儿童数学教学中，教师要从数学本体性知识和儿童的学情以及数学的整体课程视域出发，秉持“高观点”，将教学聚焦于“核心知识”。教学《百分数的认识》中的“百分数单位”，笔者从“数的单位”的整体视域出发，引导学生复习自然数的计数单位、小数的计数单位、分数单位等，将百分数的计数单位“1%”自然融入学生的已有知识结构中。由此，学生对“数的单位”“有几个这样的计数单位”等知识有了本质的认识。又如，教学《分数的加减法》，笔者将其与“小数的加减法”“整数的加减法”等数的运算法则进行比对，凸显“唯有计数单位相同才能直接相加减”这一蕴含数学本质的核心知识。不仅如此，在对计算法则的统一理解中，孩子们又深刻地理解了“计数单位”的内涵。这种数学内部的对知识“无边界”的拓展与深化，开阔了儿童的数学视界，通过集约整合有效地放大了“知识点”的辐射。对数学知识进行整体集约，要求数学教师要善于对数学知识进行归类分析，将相同或相似的数学知识的关键节点展示、整合、透析出来。

3. 敞亮思想：优化教学的整体效度

数学的思想与方法是贯穿数学知识之间内隐的绵绵红线，不同数学知识的问题解决往往蕴含着相同的数学思想。因此，数学思想是数学知识的灵魂，具有较强的凝聚力，它能有效地统摄知识，对数学问题解决具有纲举目张的作用。“整体教学”要求教师在教学中要自觉显化数学思想，让数学思想能够为数学问题解决提供好的猜想、好的思路、好的问题解决方案。例如，数学的“转化”思想可以说孕育在许多数学知识的形成过程之中，教学时笔者有意识地将其显化。教学《梯形的面积》（苏教版小数教材四年级下册），在学生具备将平行四边形面积转化成长方形面积、三角形面积转化成平行四边形面积的数学基本活动经验之后，笔者启发学生主动运用转化的策略。于是有学生将梯形旋转、平移、拼接，转化成平行四边形，有学生将梯形沿着对角线分割成两个三角形，并且主动寻找梯形的上下底、高与平行四边形、三角形的底和高之间的关系。在学生掌握了梯形面积计算方法后，笔者将小学阶段“直线图形”的面积推导用“箭头图”进行整合，学生清晰地看到，在“直线图形”中，长方形的面积是基础，平行四边形的面积推导建基于长方形，而三角形、梯形的面积建基于平行四边形。如此，图形面积之间的层次脉络、内在逻辑被清晰地展现出来，其推导的思想方法——“转化”得以凸显。不难看出，正是因为敞亮了数学的“转化”思想，图形面积教学的整体效度才得以优化。

“整体教学”从皮亚杰、布鲁纳和奥苏伯尔等教育心理学家的“学科知识结构”思想、理论出发，通过对数学知识的重组、数学结构的类化和数学思想的敞亮，让学生主动迁移、积极建构。学生获得的知识不再是无意义的碎片，而是一个蕴含生活意义和生活图景的有机体。由此，“整体教学”革新了学生的认知方式、思维方式乃至行动方式。