概念教学中学生“错误资源”的有效利用

朱卫娟

摘 要：概念教学是数学教学的重中之重，具有先导性、奠基性作用。由于学生日常生活、学习中诸种因素的影响，使得学生经常发生错误。学生的数学概念错误具有隐蔽性、自发性、肤浅性等特质。教师要善于捕捉学生的错误，将错误作为一种教学资源加以运用，让儿童主动“识错”“思错”“纠错”。

关键词：概念教学；错误资源；有效运用

概念在小学数学教学中具有先导性、奠基性作用。数学概念是数学教学的基本单元，也是儿童展开数学思考的基本单位。在学生的数学学习中，数学概念往往难以直接下严格定义，而主要是通过“概念形成”的方式，即对事物外延属性的抽象概括而聚焦概念内涵的。这就让学生在概念理解中容易发生偏差，形成概念理解性、运用性错误。教学中，许多教师对学生的概念性错误缺乏认识，致使学生许多概念性错误资源悄然流失。错误是儿童的真实经历，教学中教师应当主动捕捉、发现、运用甚至开发学生的错误，将错误作为不可再生的资源来看待。如此，学生的概念性错误将会大放异彩。

一、概念教学中“错误资源”的特质判断

学生在正式的数学学习之前，通过日常生活、活动和相关学科学习等已经积累了大量“前概念”。这些前概念是学生对数学的素朴认知，其中不可避免地存在着错误，有时，这些错误甚至很顽固、很隐蔽，不容易被发现，只是到了学生解题时才会露出冰山一角。为此，教师需要呵护学生的错误，研究学生的错误，对学生的错误进行清醒预见和认知。

1. 隐蔽性

错误就如同病毒，既能让学生感染，又能让学生产生免疫力。从这个意义上说，错误是一把双刃剑。在概念教学中，学生的错误往往很隐蔽，是学生无意识发生的，有时是因为学生表述不严谨，如“由三条线段围成的图形叫作三角形”，遗漏了“首尾”二字；有时是因为儿童没有把握概念的本质内涵，如“垂直就是竖直向下”等。尽管儿童对概念的把握是不系统、片面、模糊的，但却是鲜活的教学资源。例如对于“三角形”“扇形”等概念的错误理解，教师可以直观展示图形；对于“垂直”概念，教师可以采用变式教学。

2. 自发性

学生在概念学习中产生错误是自发形成的，通常借助于儿童的生活想象以及错误直觉而产生。例如学生对于“平均速度”的理解往往与“速度的平均数”相混淆，对于“三角形的高”往往认为一定在三角形内部，对于“平行四边形”往往认为都不是轴对称图形等。这些错误有的是因为学生对概念的外延把握不够全面，有的是因为学生对概念的内涵理解不够深刻，因而在教学中往往自发地产生。而且，这些错误的纠正不是立竿见影的，而是需要一个过程，有时甚至会很顽固，随着情境的不同而不断变化、反复出现、一错再错。教学中，教师可以利用错误展开对比教学，让学生进行辨析，突出本质内涵。

3. 肤浅性

絕大部分学生对概念的理解是肤浅的，停留于概念的表层意义甚至字面意义上，这是由于小学阶段的学生思维是一种感性思维，他们容易在大脑中自由地建构概念，自发地定义概念，数学的理性判断与逻辑推理往往显得很薄弱。例如学生往往认为“小数就是很小的数”“小数就是零点几的数”“互质数就是两个数都是质数”等等。这些都是由于学生对概念理解的片面化、表面化所致。教学中教师可以运用“反证法”“举例”等方式进行教学，将学生的错误放大，让学生幡然醒悟。

德国哲学家黑格尔说，“错误本身乃是通向真理的一个必然的环节”。在学生的数学概念学习中，正确可能只是学生没有遇到的海洋里的暗礁，而错误却是学生的一种真实、真正的经历。因此，教师应当树立科学的“错误观”，宽容学生的错误、接纳学生的错误、跟进学生的错误、化解学生的错误。如此，错误不再是概念教学的绊脚石，而是教师进行概念教学的利器，是教师进行概念教学的宝贵资源。

二、概念教学中“错误资源”的利用策略

传统的数学教学对于学生的概念性错误往往是简单、粗暴地予以直接否认、批评。对错误的处理不当，往往造成了概念教学的失误，表现为“错误资源”的无端流失，对此笔者深感无奈、可惜。“金无足赤，人无完人”，作为教师，应当以一颗平常之心来对待学生的错误，允许学生出错，正视学生错误，分析学生错误，将学生错误作为“资源”巧妙运用、化解，让学生主动思错、析错、纠错，从错误中诞生出智慧，构筑精彩课堂。

1.善于倾听，捕捉学生“错误”，引导“识错”

著名数学教学专家郑毓信说，“学生错误不可能单独依靠正面示范和反复联系得到纠正，而必须有一个错误的自我反思、否定的过程”。教学中，教师可以将学生错误暴露出来，引导学生集体议错、论错，进而让学生“识错”，理解概念的本质内涵。

案例1：《认识平均数》教学片断（苏教版小学数学教材第7册）

在《认识平均数》的课堂上，笔者出示了这样的题目：五一期间前五天，江苏如皋水绘园的门票分别出售了1000张、900张、700张、1300张、1100张，先估计一下这五天所出售门票的平均张数，再想办法验证。

生（众说纷纭）：1000张、950张、900张、1100张、1500张……

师：先请估成1000张的同学说一说。

生1：我采用“移多补少”的方法，将1300张中的300张移给700张，1100张中的100张移给900张，这样相当于每天卖出的门票张数都是1000张。

生2：我认为可以先将总和算出来，然后重新平均分，也就是（1000+900+700+1300+1100）÷5=1000（张）。

师：同学们是怎么估算的呢？

生3：我认为，平均数一定在“最大数”与“最小数”之间，所以我就估算成了1100张……

师：听了刚才同学的解释，你（指估算成1500张的学生）理解平均数了吗？

生4：平均数在大数和小数之间，我估到外面去了。

在概念教学中，教师承揽学生的发言，并通过倾听，及时捕捉学生的错误、放大学生的错误。通过引导学生对话、倾听，让学生主动认识错误，从错误中汲取教训，获得对数学概念内涵的本质理解。

2. 善于诱导，宽容学生的“错误”，引导“思错”

错误的价值不在于错误本身，而在于引导学生通过“错误”获得新的启迪、新的感悟。为此，教学中教师要宽容学生的错误，以从容的心态和机智等进行巧妙暗示，激活学生的数学思维，激发学生参与学习的热情。如此，往往会收到意想不到的教学效果。

案例2：《认识角》教学片断（苏教版小学数学教材第4册）

在学生初步认识了数学意义上的“角——一个顶点，两条直直的边”后，笔者让学生举例，于是有学生举了三角板上的角、桌面上的直角、直尺上的角、数学书封面上的角等，但其中也出现了不和谐的音符，有同学举了羊角、牛角等，显然，孩子们还是将数学意义上的“角”与生活中的角给混淆了，如何让学生深度理解数学意义上的角呢？笔者没有直接否定，而是引导学生深入比较“数学角”和“生活角”的意义差异。

师：请再次读一读数学书上角的意义，请同学们思考一下角有哪两个最重要的特征？

生1：角有一个顶点，两条直直的边，牛角、羊角没有顶点和直直的边。

生2：凳角、桌角有点圆，不尖，不是数学的角。

……

教师通过学生对数学概念的理解偏差、误区引导学生展开数学交流、讨论，孩子们似乎感悟到了“生活角”与“数学角”的差异，理解了数学角的内涵，明晰了数学角的两重要素，即角的顶点和两条边。这样的教学提升了学生的数学认识，消除了生活概念对数学概念的负面干扰。

3. 善于融化，应用学生的“错误”，引导“纠错”

学生在概念学習中发生的错误是一种现实的、有价值的教学资源。教学中，教师要以错误为契机，将错误纳入教学视野，让学生在辨析错误中明理长智，进而主动纠错，自主建构数学知识。

案例3：《平行四边形的高》教学片断（苏教版小学数学教材第8册）

这部分内容是学生在学习三角形的高的基础上进行教学的，由于在三角形高的教学中，笔者运用了多重变式（不同形状、不同位置、不同大小等的三角形）进行教学，因此学生对三角形的高的学习印象较为深刻。因此，在学习平行四边形的高时，有学生发生了负迁移。

师：这儿有一个平行四边形，说一说平行四边形有多少条高？

生1：平行四边形有2条高，分别是以两条相邻的边作底。

生2：我认为平行四边形有8条高，分别以四个顶点为起点，向另外的两个相邻对边作高。

（显然，学生受到了三角形高的负迁移）

师：同学们，我们已经学习了三角形的高和平行四边形的高，比较一下，有什么相同点和不同点？

学生交流、讨论。

生3：三角形的高是从顶点到对边的垂直线段，平行四边形的高是从一条边上的一点到对边的垂直线段。

生4（兴奋地）：我知道了，因为三角形有3个顶点，所以三角形有三条高；因为平行四边形一条边上有无数个点，所以平行四边形有无数条高。

教师展示平行四边形的高，经过进一步讨论，学生理解了平行四边形有两种高，分别以邻边作为底，且每一种高都可以画无数条。应该说，学生对平行四边形高的原始化理解有合理的成分，也有不正确的成分，教师在教学中不是马上更正、否定，而是将三角形高与平行四边形高进行比较、融合，顺应学生学情，让学生自悟自得。

数学概念教学是数学教学的重中之重。教学中，教师要树立正确的“错误观”，通过学生的错误，洞悉学生的认知状态，找寻学生的错误根源，敏锐发现学生错误原因。通过积极有效的引导，学生的错误将成为教学中最为重要的教学资源。