数学建模在培养学生数学素养中的作用

摘 要：数学建模运用数学方法对复杂的现实问题进行抽象和转化，揭示其内在的规律和逻辑。为增强学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力，深入探讨数学建模的重要性，结合案例分析学生应用数学知识解决实际问题的现状，探究高中数学建模教学的有效策略，并提出高中数学建模教学思路，以促进学生数学应用能力的提升。

关键词：数学素养；数学建模；创新意识

基金项目：本文系2023年度河南省基础教育教学研究项目“高中生数学建模能力培养的研究”（立项编号：JCJYC2303170006）研究成果。

作者简介：郑记科（1982—），男，河南省驻马店高级中学。

一、培养学生数学建模素养的重要性

“数学建模”从2020年起正式纳入普通高中数学课程标准，各版教材将数学建模作为必修章节，并明确了相应的课时要求。作为《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中所述核心素养之一，数学建模与其他五个核心素养紧密关联、相互渗透。“数学建模与数学探究活动”被确立为数学课程内容的四大主线之一，并明确了相应的课时要求［1］。数学建模活动已成为培养学生创新思维和实践能力的重要途径，学生在实际问题的驱动下主动探索、构建模型、寻求应用，实现数学知识与现实生活的紧密结合。学生具备较强的数学建模能力，有助于他们掌握数学知识之间的内在联系和逻辑体系，形成系统化、结构化的知识网络。

二、数学建模素养在高中数学中的具体体现

数学建模是将实际问题中的因素进行简化，抽象成数学中的参数和变量，运用数学理论进行求解和验证，利用计算机编程得出结果的活动。数学建模的主要过程：发现问题，提出问题；建立模型，求解检验；完善模型；分析和解决问题。高中数学建模的主要知识载体：平面向量及应用、复数、概率、数列、一元函数导数及应用、空间向量与立体几何、平面解析几何和计数原理。

三、高中数学建模教学实践策略

（一）注重数学建模意识

数学建模课程强调学生的自主性、创新性，鼓励学生开展深入的讨论和辩论，寻找解决问题的最优策略。这种教学理念有助于激发学生的思维火花，培养他们的自主学习能力和数学核心素养，使他们具备创新解决问题的能力。为培养学生的数学建模应用意识，教师在教学过程中应采取一系列措施，让学生了解知识的实际应用背景，将数学问题与实际生活相联系。例如，在讲解不等式、线性相关等概念时，可以结合一些实际问题和现象进行讲解，让学生更加深入地理解这些概念的应用价值。在高中数学教学中开展数学建模活动的目的在于引导学生将所学知识运用到现实情境中，使其学会发现问题、分析问题、解决问题。

（二）融入跨学科教学

在数学建模教学中，应强调跨学科的应用与实践。在选择建模案例时，教师应适当考虑那些与物理、化学、生物等其他学科有所关联的主题。例如，在生物领域，基因的排列与组合是一个复杂的问题。通过结合数学的排列组合理论，学生可以更直观地理解基因的多样性与复杂性。这种跨学科学习不仅有助于学生解决生物领域的难题，还能培养他们的数学建模思维，提高其解决实际问题的能力。

（三）强调团队合作和交流

数学建模往往需要团队协作与交流，每个人都有自己的特长和爱好，通过有效的沟通和协作，可以更好地发挥个人优势，达到共同进步的目标。教师应根据学生的特点和专长进行合理分组，使团队成员能够发挥自己的优势，互相学习。通过组织小组讨论、团队活动等方式，鼓励学生积极参与，分享意见，提高团队协作效率。此外，教师还应引导学生对建模过程进行反思和总结。

（四）有效运用数学软件

在数学建模过程中，我们经常会用数学软件来完成数值计算、数据分析和可视化等任务。因此，教师可以为学生介绍一系列常用的数学软件，比如MATLAB、Python、SPSS等。教学可从三个方面着手：介绍常用数学软件，指导实际应用案例，培养创新和实践能力。

四、数学建模教学案例

以数学建模的方式培养学生数学核心素养的过程是一个系统性、综合性的教育过程，旨在提升学生的思维能力、解决问题的能力以及跨学科应用的能力。具体数学建模教学模式如图1所示。

本研究以“测高”为例进行数学建模教学实践。

（一）提出问题：确立建模主题

项目名称：数学建模活动——测高

（二）探索思路：构建数学模型

1.探索方案

（1）可接触物体

模型a：仰角法（如图2所示）

测算步骤：测出长度h1、L以及角的值，用计算器求出的数值，再利用公式，即可得出高度。

模型b：距离法（如图3所示）

测算步骤：测出长度L1、L2和高度H1，基于相似三角形知识，用公式即可得出高度。

（2）不可接触物体

模型c：四点测高法（如图4所示）

测算步骤：分别取两点位测出a1、a2的度数以及两点位之间的距离L，求出其中一点位的仰角a3的度数，利用公式即可得出高度。

2.模型简评，误差分析

模型a方法简单，变量较少，且受外界因素的影响较少，建模关键在于仰角测定的误差控制以及水平位置的确定，教师应对器具和操作步骤进行把关。模型b与模型a相比，省略了角度测量这一容易产生误差的步骤，可通过测量长度直接测算出高度，但运用了“三点一线”的数学知识，需要精确确定观测点的位置。模型c的灵感来源于珠峰高度测算，通过“利用三角形一边长求高度”的创新思维来解决问题，理论可行但操作难度较大，需要根据实际情况改进建模方法以克服困难。

（三）实验操作：引导学生进行建模操作

1.模型a

测量工具：激光笔、卷尺、三脚架、寻星镜、量角器

测量对象：国旗旗杆

测量步骤：先利用激光使旗杆与三脚架在同一水平面上，三维呈现模型a，通过激光和卷尺测算出三脚架中心距旗杆的水平距离L与三脚架高度h1。再通过寻星镜将其视野中心对准旗杆顶部并用激光辅助寻找。最后通过量角器得出角θ的值，使用科学计算器得出结果。实验进行三组，以平均值作为最终测量结果。实验数据表格如表1所示。

h总的平均值为18.51 m。经查询，该旗杆高度为18 m，测量结果在系统误差允许范围之内。

2.模型b

测量工具：激光笔、三脚架、卷尺

测量对象：高级中学图书馆

测量步骤：先利用激光笔确定三脚架位置，三维呈现模型b。调整激光笔位置，使图书馆顶部、三脚架、激光笔三点共线，即激光笔发射出的激光需要同时出现在图书馆顶部及三脚架的位置（由于光线沿直线传播，且激光笔有点状光斑，可以出现二者的叠加态）。测出激光笔到三脚架距离L1、三脚架到楼底距离L2和三脚架高度H1，利用科学计算器得出测量结果。为减小误差，测定三组数据取其平均值。实验数据表格如表2所示。

H2的平均值为20.78 m。遗憾的是，我们未获取到官方数据来证实实验数据，于是小组预备在模型c中再次测定图书馆高度。

3.模型c

测量工具：寻星镜、激光笔、卷尺

测量对象：高级中学图书馆

测量步骤：寻找视野开阔、可自由活动的区域，通过寻星镜的观察地点切换完成模型d的三维呈现。确定好位置后以激光笔为辅助，将寻星镜的视野中心确定在图书馆顶部一定点处，测出其仰角a1及水平角a2，再将寻星镜水平平移距离L，重复上述步骤得出水平角a3，利用科学计算器得出结果。为减小误差，依旧测量三组数据，取平均值作为最后结果。实验数据如表3所示。

H的平均值为21.74 m。与模型b进行对照，发现两模型测量数据相似，在系统误差的允许范围内，实验结果成立。取其平均值，得出图书馆楼的高度H=21.26 m。

（四）实验结果与分析：创新思维，利用新方法

在实践中，三个模型都能够正常运用，得出了理想结果，但仍然存在一些有可能造成误差的因素，比如a模型是否保持三脚架始终水平、模型b是否三点共线、c模型的测角误差与其普适性（视野开阔且能自由移动）。

在实际计算中，面对冗杂、烦琐的数据，人们容易出现计算错误。为改善计算过程，可使用Python软件进行编程，使计算更为简便。以模型a为例（斜体部分为具体操作）：

t1=float（input（“输入角θ的正切值”））

l1=float（input（“输入L1的长度”））

h1=float（input（“输入h1的高度”））

print（“建筑物的高度是%.2f”，%（h1+l1*t1））

得出结果自动保留2位小数。经测试，程序运行无误。

其他模型同理，只需改变输入参数与运算公式即可。编程成功后便可以利用Python进行数据计算。至此，实验结束。

（五）评价与反馈：强化建模意识，提升数学核心素养

经历数学建模的具体过程，学生能够更好地理解数学建模的意义。在建模过程中，教师要鼓励学生“扬长”而不是一味“避短”。许多从未得到过表扬的学生，在数学建模过程中展现出自己的特长，比如擅长使用计算机或者善于在线查找资料，受到了教师的认可和鼓励，从而树立了学习的自信心。因此，在与学生交流的过程中，教师应该及时给予激励性评价，给学生提供指导和帮助。教师在设计评价内容时，不仅要关注结果，更要关注过程，关注学生之间的个体差异、学生参与数学建模的前后变化，使不同层次学生的数学建模素养均有所发展。通常可以从以下几个方面观察和评价学生：提出的问题是否具有独特性，解决方法是否新颖，探究过程是否有效，成果是否具有特色，反思和拓展是否有所收获，学习方法是否得当，数学素养是否有所提升。教师要积极组织建模活动，开展数学建模大赛，让更多的学生参与其中，经历建模的过程，真正解决实际问题，深刻感受数学知识的现实意义，通过学数学、做数学、用数学来提升数学核心素养［2］。

五、总结

通过数学建模活动，学生可以培养“优化”思维、决策能力、建模能力、运算能力以及跨学科思维能力。

数学建模是数学学科的六大核心素养之一，它要求学生具备扎实的数学基础、广阔的视野和跨学科的知识整合能力。在指导学生建模时，教师应当坚持立德树人，鼓励创新，遵循教育教学规律，培养新时代的人才。

［参考文献］

中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020：5-6.

史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）解读［M］.高等教育出版社，2020：103-104.