微分方程中的数学建模实例分析

摘 要：传统高等数学教学有较好的基础，但是由于教学手段单一，教学内容单调枯燥，学生很难将所学知识应用于实践。数学建模将实际问题经过分析、抽象、通过合理假设、化简，变化成一个数学问题，再通过数值分析方法求解问题，最后将结果应用于实践。本文旨在通过多个微分方程模型实例，探讨将数学建模思想和建模方法渗透和融入高等数学课程的教学中，培养和提高学生应用随机数学的思想方法建模、解决实际问题的实践、应用能力。

关键词：数学建模；微分方程；分离变量法；齐次方程

微积分是高等数学教学内容中非常重要的一部分，它以极限思想为基础来研究实数函数。微分方程模型描述的是动态系统，需要通过随时间或空间的演变过程，分析动态对象的变化规律、研究变化特性、预测其未来发展性。这个过程就需要确定函数和其导数之间的关系，根据建模目的和问题分析作出简化假设，按照内在规律建立微分方程，最终通过对微分方程的求解来指导实践。

一、数学建模实例选择标准

高等数学中很多问题和数学建模思想相关，而渗透建模思想的主要途径就是联系实际。于是选择教学案例时要注意以下几点。

首先，数学建模的实例要简单易懂，学生要能直观感受其中的数学关系，否则会过多占用学生思考时间，影响后续教学进度；其次，案例密切联系实际，既有助于教学内容的理解，又通过对问题的分析，抽象能用学过的知识解决问题；再次，案例要与高等数学的知识范围相关，如果案例中数学知识超出课程大纲范畴，学生难以理解，教学效果得不到保证，而所用知识太简单，又不足以帮助学生深入理解数学建模过程，达不到教学目的；最后，建模案例应具备一定科学性，所选的案例要符合客观事件发展规律，有较严谨的逻辑关系。

二、微分模型实例分析

建立微分模型的关键词是“瞬时变化率”，而在实际中应用的表述变化的词有物理学中的速度、经济学中增长率、边际利润等，并且注意对象描述中的绝对增加率和相对增加率的计算。

冷却问题把100℃的开水放到25℃的恒温室中，观察水温的变化情况。

（一）模型分析

求温度变化规律，即讨论温度随时间的变化关系。如果把温度看作是时间的连续可导函数，按照持续的热量传递变化，就可以建立一个微分方程。

（二）模型假设

（1）水温T（t）表示t时刻的温度；

（2）温度的变化是一个持续渐变的过程，可以认为  T（t） 是关于t连续且充分光滑的；

（3）水温的变化只有温差引起的热传递。

（三）模型建立

物體温度的变化快慢与物体和环境的温差成正比。温度的“变化快慢”，即“变化率”，即温度对时间的导数dTtdt，由题意可得微分方程为

dT（t）dt=-k（T-25）（k>0）

（四）模型求解

该方程具有形如dydx=f（x）g（y）的形式，则称之为可分离变量的方程，在g（y）≠0时，方程可化为dyg（y）=f（x）dx，该过程称为分离变量，再分别对x，y进行积分，就可得到原方程的通解。即

dT（t）dt=-k（T-25）（k>0）

首先分离变量

dTT-25=-kdt（k>0）

再两边同时积分

∫dTT-25=∫-kdt（k>0）

则

lnT-25=-kt+lnC

化简得该冷却过程的通解为

T=Ce -kt +25

可在不同时间测得两个温度，作为初始条件，代入上式，即可确定参数C，k，从而得到温度变化的特解，进而得到任意时刻热水温度。

例1：我们经常在电视剧中看到这样的情境，警察通过测量当事人身体温度，就可以大致推断案发时间，这是什么原因呢？如警察于上午7：30测得当事人身体温度为34.4℃；2小时后，测得温度为32.2℃，而周围环境温度保持25℃左右。那么这起案件案发时间大致是什么时候呢？

1.问题分析

此问题与例1同类型，均为冷却问题，即参看上例计算如下。

假设案件发生时，当事人体温是正常的，即正常身体肝温T=38°C。设T（t）表示t时刻肝温，并记晚上7：30为t=0，则T（0）=34.4°C，T（2）=32.2°C。

2.模型建立与求解

假设体温的变化率服从冷却定律，即体温的变化率与他同周围的温度差成正比，即dTdt=k（T-25）（k是常数），同样可以利用分离变量法解这个一阶微分方程。

得原方程的通解为

T（t）=25+e C e kt =25+ae kt 

由初始条件

T（2）=25+ae 2k =32.2及T（0）=25+a=34.4

解得：

a=9.4，k=-0.133

即方程的特解为：

T（t）=25+9.4e -0.133t 

当T=38，可得t=-2.44，可得案发时间约为上午7点30前2.44小时（约2小时26分钟），即上午5点04分左右。

后来警察在搜证时发现当事人之前有发烧迹象，那么案发时间就不能按照正常肝温进行推测，实际时间应该比测量时间提前。比如当T=40时，可得t=-3.52，可得案发时间是上午4点左右。

例2：燃烧卡路里

每天消耗的热量比摄入的热量多，就可以达到减肥的效果。由于受年龄、体重、活动量等影响，每个人减肥效果不同。根据相关资料显示，成年男性每天最基本新陈代谢要消耗1800卡，每天的体育运动消耗热量大约是17卡/（千克·天）乘以它的体重（千克），1千克脂肪大约需要消耗8500卡，假设以脂肪形式贮存的热量消耗100%有效，试讨论此人体重变化的规律。

1.问题分析

人的体重随时间变化是由于人体能量消耗和吸收的差值引起的。

2.模型建立与求解

假设在短时间内，体重的变化率是身体一天内热量对脂肪的转化率，若此人日常摄入热量为2500卡/天，由已知信息可得：

dωdt=2500-1800-17w8500

利用分离变量法可得方程的解为：

w（t）=117700-Ce-17t8500 

若此人现在体重为90千克，令W（0）=90，可得体重  w（t） =117700+830e-17t8500 ，两个月后，即当t=60时，此人体重约为84.5千克。

例3：汽车的车灯镜面是什么形状的？

（1）问题分析：

汽车车灯镜面要求当光源发出的光线经过镜面时能平行地反射出去。

（2）模型建立与求解：

首先假设灯镜面是旋转曲面，镜面均匀光滑的。根据车灯的基本要求，构建几何模型。设探照灯的点光源为O，镜面由曲线L：y=y（x）绕x轴旋转一周而成。曲线L：  y= y（x），设M（x，y）是曲线上任意一点，MT为切线，斜率为y′（x），分析探照灯的镜面形状如下：

因为∠OMN=∠NMR，所以tan∠OMN=tan∠NMR

则由正切的夹角公式可得yy′2+2xy′-y=0

整理得y′=-xy±1+（xy） 2这是一个齐次方程。

令u=yx，即y=ux，y′=u′x+u，则原式可化简为：

dudxx=1+u2-1u-u

利用分离变量法得udu1+u2-（1+u2）=1xdx

凑微分可得12d（u2+1）1+u2-（1+u2）=1xdx

令t=u2+1，两侧同时积分即得该方程的通解为：

（1-1+u2）x=C

得原方程的通解为：

y2=2C（x+C2）

则镜面方程为：

y2+z2=2C（x+C2）

镜面是典型的旋转抛物面，使得学生在建模过程中一方面利用生活常识建立坐标系，以几何角度得到微分方程，并进一步学会旋转曲面的结构。通过这一案例，不仅使学生对抽象的微分方程建立直观印象，而且又可以使学生认识到微分方程与实际联系比较紧密的教学内容，因此，学生就更容易理解并掌握学习的内容，并把它转化到实际中去。

例4：人口问题

为了保持自然资源的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。我们的问题始终是当前或者过去某个时刻的人口数量，预测未来某个时刻的人口数量及未来人口的趋势。

（1）问题分析与假设。

人口增长率与人口出生率、死亡率、人口总量、种群容量等因素均有關，在此只讨论单种群增长，并做以下假设。

①忽略种群容量对人口的影响。

②人口自然增长率为常数，为人口出生率与死亡率之差。

③短时间内人口连续变化，人口总数N（t）是一个连续函数。

（2）模型建立与求解。

设t时刻的人口总数为N（t），单位时间内人口增长率为r，则可得短时间内人口增量为：

N（t+Δt）-N（t）=N（t）·Δt·r

整理可得dNdt=N·r

若某一时刻t 0 的初始人口基数为N 0 ，这也是一个可分离变量方程，可得该方程的特解为：

N（t）=N 0 e r（t-t 0 ） 

（3）模型分析。

当时间t趋近于无穷时，可得人口的极限数量。此解表示人口是指数增长的，这与实际相矛盾。在人口基础较低时，人口增长只受出生率与死亡率影响，在短时间内增长较快，符合指数增长特点，但当人口基数增大，而种群容量有限，人口变化率就变得很复杂。

（4）模型改进。

考虑到种群容量有上限，将人口变化率从常量r调整为r（N），是当前人口数量N的函数，由此短时间内人口增量为：

N（t+Δt）-N（t）=N（t）·Δt·r（N）

假设生物系统的种群容量上限是K，则可得微分方程为：

dNdt=Nr1-NK

分离变量可得1K-N+1NdN=rdt

若某一时刻t 0 的初始人口基数为N 0 ，方程的特解为：

Nt=K1+KN 0 -1e -rt 

三、微分方程初值问题数值解

常微分方程初值问题的数值解法是近似计算中很重要的部分。一般情况下，求解微分方程的解析解是非常困难的。对于微分方程而言，更重要的是掌握常用的数值求解方法。常用的经典常微分方程初值问题数值解法是四阶龙格库塔法公式，并可通过Matlab软件对微分方程进行计算。而Matlab软件教学的应用，不仅能培养学生的学习兴趣，也能进一步提升学生解决实际问题的能力。

结语

日常的教学活动中学生觉得高等数学等基础学科枯燥乏味，晦涩抽象，缺乏学习兴趣和动力。在数学建模活动中，又对实际建模束手无策，无法将实际问题与数学知识联系起来。这就要求我们在日常教学中引入内容时，适当地结合建模过程，将数学建模思想逐步渗透到教学中，并借由数学建模竞赛的平台检验学生应用数学的能力，增强学习兴趣，提高对数学基础课的认同感，同时也丰富了教师的教学手段，增强课堂参与性。

参考文献：

［1］刘冬梅.高等数学教学的困境及解决探索［J］.高教学刊，2019（23）.

［2］邱永利.高等数学教学中培养学生数学应用能力的研究［J］.教育教学论坛，2020（05）.

［3］翟亮亮，李富民.高等数学教学中培养高职学生的数学建模能力［J］.读与写（教育教学刊），2013（04）.

［4］向兴，彭乃霞，马威.案例教学在本科数学教学论课程中的应用研究［J］.兴义民族师范学院学报，2020（02）.

［5］邹佩.基于数学建模思想的微分方程教学改革的探索［J］.数学学习与研究，2017（11）.

［6］杨瑞兰.谈高等数学教学中数学建模思想的渗透［J］.忻州师范学院学报，2005（02）.

基金项目：陕西省教育科学“十三五”规划2020年度课题SGH20Y1400

作者简介：邹佩（1985— ），女，汉族，硕士研究生，讲师，研究方向为偏微分方程数值解法。