因式分解的拓展探究

⦿ 福建省漳州第一中学 戴兴达

因式分解是初中数学的重要知识点,中考专门考查这一知识点的试题并不多,主要渗透在其他试题的考查中.本文中主要从因式分解与最值、新定义、图形体积、换元法等方面说明中考中对因式分解的拓展考查.

1 因式分解与最值

利用因式分解求最值,通常是指将一个二次三项式配方出一个完全平方式,然后根据(a±b)2一定是非负数求得最值.当多项式配方为a(x±b)2+c时,此多项式一定有最小值c,此时完全平方式为0;当多项式配方为-(x±b)2+c时,此多项式一定有最大值c,此时完全平方式为0.

例1阅读理解并解答:(1)我们把多项式a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2叫做完全平方式,一个多项式能否运用完全平方公式进行因式分解,关键是判断这个多项式是否是完全平方式.欲求一个多项式的最大值或最小值,将这个多项式的局部化成完全平方式是必须的.

如①x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2.

因为(x+1)2是非负数,所以(x+1)2+2≥2.

所以这个代数x2+2x+3的最小值是______,这时相应的x的值是______.

②3x2-12x+5=3(x2-4x)+5=3(x2-4x+4-4)+5=3(x-2)2-12+5=3(x-2)2-7.

因为(x-2)2是非负数,所以3(x-2)2-7≥-7.

所以这个代数式3x2-12x+5的最小值是______,这时相应的x的值是______.

(2)仿照上述方法求代数式-x2-14x+10的最大(或最小)值,并写出相应的x的值．

解析：(1)①因为x2+2x+3=(x+1)2+2,所以x2+2x+3的最小值是2,此时x的值是-1．

②因为3x2-12x+5=3(x-2)2-7,所以3x2-12x+5的最小值是-7,此时x的值是2．

(2)-x2-14x+10=-(x2+14x+49)+49+10=-(x2+14x+49)+59=-(x+7)2+59.

因为(x+7)2是非负数,所以-(x+7)2≤0,从而-(x+7)2+59≤59.

因此,-x2-14x+10的最大值是59,此时x的值是-7．

点评：如何将一个二次三项式配出一个完全平方式?首先通过提取公因式,将二次项系数变为1,然后在括号内加上一次项系数一半的平方,最后写成完全平方式,并化简.

2 因式分解与新定义

在整数世界里,有一些特殊的数.如,相邻两个数位上的数字,右边的比左边大1,这样的数称为“美数”;一个四位数,前两位数字之和等于后两位数字之和,这样的数称为“和平数”;一个多位数,从左向右或从右向左都是一样的,这样的数称为“轴对称数”.这些特殊的数都有一些特殊的性质,要证明这些特殊的性质,都需要用到因式分解.

例2生活中轴对称的例子很多,如自然景观、分子结构、建筑物、日常用品等.根据轴对称的特征,我们把形如mm,mnm,mnpnm(m,n,p∈N*且m,n,p≤9)这样的正整数叫做轴对称数,如69596等.

(1)请写出一个最小的四位数的轴对称数.

(2)把任意一个轴对称数的形式设置为“efe”,其中e为首位数字与末位数字,f是去掉首末两个数后的(n-2)位数,那么这个轴对称数减去个位数字的11倍,结果能被10整除.如:3 553-3×11=3×1 000+55×10+3-3×11=3 520.

①根据上面的算式,填空:86 368-8×11=______.

②写出(2)的证明过程.

解析：(1)最小的四位数轴对称数是1001.

(2)①86 368-8×11=8×10 000+636×10+8-8×11=86 280.

②证明:efe-11e=e×10n-1+f×10+e-11e=e×10n-1+f×10-10e=10[e×(10n-2-1)+f],所以结果能被10整除,上述说法正确.

点评：如果一个多位数可以写作abcd,那么这个多位数就等于a×103+b×102+c×10+d,也可以表示为(ab)×102+cd,或者表示为(abc)×10+d.

3 因式分解与图形体积

根据平面图形的面积,可得二次多项式因式分解的结果,如a2-b2=(a+b)(a-b),a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2,a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b)等;根据立体图形的体积,可得三次多项式因式分解的结果,如a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)等.

例3知识再现:在一个边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(如图1),然后,把剩下的部分剪开成两个长方形,再拼成一个长方形(如图2),根据这两个图形,请写出一个代数恒等式.

图1

图2

知识迁移:在空间范围内,把一个棱长为a的正方体去掉一个棱长为b的小正方体,再把剩余的部分切割成三个长方体,再拼成一个几何体,那么图3中几何体的体积是多少?图4中的呢?根据它们之间的体系关系,请写出一个关于a,b的代数恒等式.

图3

图4

知识运用:根据立体图形得到的代数恒等式,(1)将多项式27x3-8因式分解;(2)已知a-b=8,ab=4,你能求出a3-b3的值吗?

解析：根据平面图形,可得代数恒等式为

a2-b2=(a+b)(a-b).

根据立体图形,可得代数恒等式为

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

(1)由a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),得

27x3-8=(3x)3-23=(3x-2)(9x+6x+4).

(2)由a-b=8,ab=4,得

a2+b2=(a-b)2+2ab=64+8=72.

所以,可得a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=8×(72+4)=608.

点评：由例3可以看出,两数的立方差,等于这两数的差乘这两数的平方和与它们的积的和;两数的立方和,等于这两数的和乘这两数的平方和与它们积的差.

4 因式分解与换元法

解一些复杂的因式分解问题,使用换元法也是一个不错的选择,也就是把结构复杂的多项式中的某一部分看作一个整体,用一个字母置换,这样可以使问题变得简单、明朗,它可以减少多项式的项数,降低多项式结构的复杂程度.

例4先阅读材料再解决问题:(Ⅰ)利用换元法可以从形式上简化式子,在解一元高次方程时,利用换元法可以达到转化与化归的目的.如解一元四次方程x4-8x2+16=0时,设y=x2,则原方程可以变形为y2-8y+16=0,解得y=4,所以x=±2.

(Ⅱ)杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就,在《详解九章算法》中就出现了,它是一些特定系数在三角形中有规律的排列,如图5所示.

……

(1)根据换元法的思路,解方程:(x2+3x-1)2+2(x2+3x-1)=3.

(2)观察杨辉三角,可以发现规律,设第n行的第2个数为an(n≥4),设第n行的第3个数为bn,第(n-1)行的第3个数为cn,你能根据换元法的思路,将4(bn-an)·cn+1因式分解吗?

解析：(1)令t=x2+3x-1,则原方程可转化为t2+2t=3,解得t=1或t=-3.

当t=-3时,x2+3x-1=-3,解得x=-1或x=-2.

所以4(bn-an)·cn+1=(n-1)(n-4)(n-2)·(n-3)+1=(n2-5n+4)(n2-5n+6)+1=(n2-5n+4)2+2(n2-5n+4)+1=(n2-5n+5)2.

点评：与杨辉三角联系最紧密是二项展开式的系数规律,即二项式定理;其次,杨辉三角(图5)的第n行所有数的和为2n-1.

华罗庚说:“新的数学方法和概念,常常比解决数学问题本身更重要.”本文中分别介绍了因式分解与求最值、新定义、图形体积、换元法之间的密切联系,既可以拓宽学生的思维,又为学生解决问题开辟了新的思路与方法.