二次函数的图象与性质常见题型考查特点分析

摘要：文章分析了二次函数与不等式，二次函数的对称性，二次函数中的平移、翻折、旋转问题，以及二次函数图象判断共4种题型的考查特点，并得出相应的教学启示.

关键词：初中数学；二次函数；教学启示

1 二次函数与不等式

例1（2024年广东省广州市中考第8题）函数y1=ax2+bx+c与y2=kx的图象如图1所示，当（）时，y1，y2均随着x的增大而减小.

A.xlt;-1

B.-1lt;xlt;0

C.0lt;xlt;2

D.xgt;1

试题分析：根据二次函数图象可知，当xgt;1时，y1随着x的增大而减小.同样，当xgt;1时，反比例函数y2随着x的增大而减小．故选项D正确.本题考查反比例函数与二次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键．

考查特点：①理解二次函数和不等式的基本概念.考题通常要求学生理解二次函数的基本概念，如顶点、开口方向，以及不等式的基本性质和解法.例如，题目可能会给出一个二次函数的表达式，要求学生判断其开口方向与顶点坐标，然后结合不等式求解特定条件下的取值范围.②解决实际问题.考题往往设计为与实际问题相关，考查学生将数学知识应用到实际情境中的能力.③综合运用二次函数与不等式.考题可能要求学生综合运用二次函数和不等式的知识，例如通过分析二次函数的性质来解不等式，或者利用不等式来限制二次函数的取值范围.④探索性质与应用.有些题目可能要求学生通过探索二次函数和不等式的性质来解决问题，例如研究二次函数的最值点与不等式的关系，或者通过不等式描述某种条件下的解决方案.⑤解题思路灵活多变.考题设计灵活，要求学生具备灵活的解题思路，既能够严谨地分析问题，又能够灵活运用数学工具解决实际问题.

2 二次函数的对称性

例2（2024年福建省中考第10题）已知二次函数y=x2-2ax+a（a≠0）的图象经过Aa2，y1，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（）.

A.可以找到一个实数a，使得y1gt;a

B.无论实数a取什么值，都有y1gt;a

C.可以找到一个实数a，使得y2lt;0

D.无论实数a取什么值，都有y2lt;0

试题分析：因为二次函数的解析式为y=x2-2ax+a（a≠0），所以二次函数的图象开口向上，且对称轴为x=a，顶点坐标为（a，a-a2）.当x=a2时，y1=a24-a2+a=a-34a2.当agt;0时，0lt;a2lt;a，则agt;y1gt;a-a2;当alt;0时，alt;a2lt;0，则a-a2lt;y1lt;a，故选项A，B错误.因为当agt;0时，0lt;alt;2alt;3a，由二次函数对称性可知，y2gt;agt;0.

当alt;0时，3alt;2alt;alt;0，由二次函数对称性可知，y2gt;a，但y2不一定大于0，故选项C正确，选项D错误.

考查特点：①利用顶点与图形的对称性求解问题.学生需要理解二次函数图象的顶点及对称性质，题目设计可能要求学生利用这一性质解决问题.②利用轴对称性求解问题.二次函数的图象关于其轴线对称.学生需要理解这一性质，并能够利用轴对称性解决问题.③探索性质与应用.有些题目可能要求学生通过探索二次函数的对称性质来解决问题.④综合运用对称性求解问题.有些题目可能要求学生综合运用顶点对称性和轴对称性来解决问题.

3 二次函数中的平移、翻折、旋转问题

例3（2024年连云港市中考第8题）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a＜0）的顶点为（1，2）．小烨同学得出以下结论：

①abc＜0；

②当x＞1时，y随x的增大而减小；

③若ax2+bx+c＝0的一个根为3，则a=-12；

④抛物线y＝ax2+2是由抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的．其中一定正确的是（）.

A．①②

B．②③

C．③④

D．②④

试题分析：根据顶点坐标判断b，c的正负性，由此判断①；根据开口方向和对称轴判断②；用a表示b，c，再解方程判断③；根据平移法则判断④.

平移问题：（1）考查内容.考查学生对二次函数图象在平面上平移的理解和应用能力.（2）特点.学生需要理解平移的概念，即函数图象在平面上沿着某个方向移动一定的距离.题目可能要求学生根据平移后的函数图象确定平移前的函数表达式，或者根据平移前后的函数图象确定平移的方向和距离.

翻折问题：（1）考查内容.考查学生对二次函数图象关于坐标轴的翻折变换的理解和应用能力.（2）特点.学生需要理解翻折的概念，即函数图象关于某条直线对称.题目可能要求学生根据翻折后的函数图象确定翻折前的函数表达式，或者根据翻折前后的函数图象确定翻折的轴.

旋转问题：（1）考查内容.考查学生对二次函数图象在平面上旋转的理解和应用能力.（2）特点.学生需要理解旋转的概念，即函数图象在平面内以某个点为中心旋转一定的角度.题目可能要求学生根据旋转后的函数图象确定旋转前的函数表达式，或者根据旋转前后的函数图象确定旋转的中心和角度.

4 二次函数图象判断

例4（2023年安徽省中考第9题）已知反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象如图2所示，则函数y=x2-bx+k-1的图象可能为（）.

试题分析：设P（1，k），Q（k，1），则kgt;1，将点Q的坐标代入y=-x+b，得k=b-1，代入二次函数的解析式，可知当x=1时，y=-1.又y=x2-bx+k-1的对称轴为直线x=b2gt;1，则抛物线的对称轴在y轴的右侧，再结合与y轴的交点情况即可作出判断.

性质判断：①考查内容.考查学生对二次函数图象性质的判断，如开口方向、顶点坐标、对称轴等.②特点.学生需要根据函数表达式或图象特征来判断函数图象的性质，需要综合运用二次函数的相关知识进行推理.

图象比较：①考查内容.考查学生对不同二次函数图象的比较和分析，包括形状、位置和性质等方面.②特点.学生需要通过比较两个二次函数的函数表达式或图象特征来判断它们的关系，如大小、相对位置等.

应用分析：①考查内容.考查学生对二次函数图象在实际问题中的应用分析能力，如最值问题、图象的变换等.②特点.题目可能结合实际问题，要求学生根据函数图象的特点来解决，需要学生将二次函数的理论知识与实际情境相结合.

5 教学启示

5.1 加强分类训练

教师在二次函数的教学中要加强分类训练，具体做法包括：①分类整理题目.教师可以根据题目的类型、难度等特点，将二次函数试题进行分类整理，这有助于学生系统学习和掌握各种题型的解题方法.②分层次训练.将试题按照难度分为不同层次，从简单到复杂逐步进行训练.③针对性练习.针对学生掌握程度和存在的问题，有针对性地设计练习题目，帮助学生加强薄弱环节，提高解题能力.④拓展延伸.在基础训练之外，设置一些拓展性较强的综合性题目，帮助学生将所学知识进行整合和应用.

5.2 总结解题策略

求解初中二次函数题时，可以采用一系列解题策略，以帮助学生理解并解决不同类型的问题.具体策略包括：①习题分类.将二次函数的习题按照题型分类，对每种类型的题目进行系统讲解，使学生能够清晰地理解每种类型题目的解题方法.②强调基本方法.针对不同类型的题目，明确解题的基本方法，帮助学生理解每种方法的适用条件和步骤，并进行示范演练.③实例演练.提供大量的习题实例，涵盖不同难度和类型的题目，以巩固学生的解题能力.④引导问题求解.提供一些实际问题，让学生将数学知识应用到实际情境中，培养其探索和创新意识.