关注教学细节，诱发深度学习

若数学教学一直停留在浅层的理解、记忆和应用上，那么学生的学是被动的、消极的.在教学中，教师要关注教学细节，把握好教学时机，通过情境创设、巧妙提问、变式探究等活动诱发学生深度思考，引发深度学习，落实数学素养.

1 巧借“意外”，引发深度教学

在数学教学中，为了确保课堂教学效果和教学品质，教师会根据教学内容和本班学情精心预设教学活动.但课堂是动态变化的，因受学生因素、环境因素等一些不可控因素的影响，课堂教学中可能会出现一些意外.对于这些意外，教师要合理分析，巧妙应用，以此通过深度的挖掘让深度教学自然而然地发生.

案例1确定圆的条件

在“圆的定义”教学中，根据教学预设，教师指定一位学生上台画圆，其他学生认真观察画圆过程，以此通过动手操作让学生更好地体验圆，提炼出确定圆的两个要素即圆心和半径.在课堂上，教师根据预设让学生演示画圆的过程，但是学生在画圆时圆规的脚打滑，学生绘制出来的图形与圆明显不同.为了弥补这一遗憾，教师决定自己画圆，为了避免刚才情况的再次发生，在绘制前刻意在圆规脚的一端按了按，没想到这端固定住了，另外一端却打滑了，因而也没有成功画成圆.在教学中，大多教师可能会重新绘制圆，从而按照预设继续开展教学活动.不过，笔者在教学中选择利用这个意外，让学生思考：“为什么刚刚绘制的两个图形都不是圆呢？”学生通过思考、交流，发现第一次没有画成圆，是因为固定了半径，没有固定圆心，而第二次恰恰相反，是固定了圆心，却没有固定半径.找到问题的根源后不难发现，若想绘制圆，需要固定圆心、固定半径，由此亦可提炼出确定圆的两个要素.

在本案例教学过程中，教师尊重意外，引导学生思考“画不成圆”的原因，通过交流达成了共识，提炼出确定圆的两个因素.

2 借助“想当然”，促进深度学习

在数学学习过程中，经常会出现一些“想当然”的现象，其反映出学生的思维缺乏严谨性，在没有形成完善的合情推理的知识链时就急于给出结果，从而因验证过程的缺失而影响学习效果.“想当然”现象的存在为数学学习带来了阻碍，在日常教学中，教师要让学生去探究“想当然”背后的知识链，引导学生进行科学推理与验证，从而让学生的思维在操作、观察、猜想、反思、验证的过程中从低阶走向高阶[J].

案例2探究“圆O上离点A最近的点”

师：已知点A是圆O外一点，请画出圆上离点A最近的点.

生1：过O，A两点作直线OA，直线OA与圆O交于M，N两点.如图1，点M离点A最近.

师：为什么？

生1：很明显啊.

师：我们知道数学是一门严谨的学科，在解答时一定要做到有理有据.你们有没有办法证明点M离点A最近呢？

生2：根据以前所学，若想证明“最近”，可能会用到以下两个知识点.一是两点之间线段最短；二是垂线段最短.显然本题从“两点之间线段最短”这一知识点出发更容易验证.于是我想到在圆O上任取一点C（异于点M），这样只要证明AMlt;AC即可.连接OC，AC，在△OCA中，OC+ACgt;OA=OM+MA.又OC=OM，故ACgt;AM.

师：非常好！利用三角形三边关系顺利完成了验证.

师：认真观察图1，大家是否还有其他发现呢？

生3：点N是圆上距离点A最远的点.在圆O上任取一点C（异于点N），总有OA+ON=OA+OCgt;AC，故AN最长.

师：非常好的发现.刚刚我们研究的点A在圆外，若点A在圆内，你能找出圆上离点A最近和最远的点吗？

接下来，在已有经验的基础上，教师让学生继续探究，以此深化对知识的理解.在解题时经常会出现一些“想当然”的现象，在教学中，要尽量避免那些“想当然”，要引导学生进行科学的推理和验证，以此确保结论准确、有效.

3 利用“变式探究”，引发高阶思维

通过有效的“变式”可以深化对概念、定理等知识的理解，有利于提升学生的举一反三能力，实现知识的融会贯通.同时，变式探究在培养学生“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”的能力中也发挥着不可替代的作用.在教学中，教师可以通过“发散式”追问引导学生进行自主探究，让学生认清知识的本质，领悟蕴含的数学思想方法，提升数学素养[J].

案例3“圆心角、弧、弦关系定理”的应用

在学习了“圆心角、弧、弦关系定理”后，学生理解了在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧（同优弧或同劣弧）、两条弦中，只要其中一组量相等，那么其他两组量也会分别相等.在此基础上，教师让学生思考以下问题.

问题1如图2，在圆O中，若AB=2CD，则∠AOB=2∠COD，AB=2CD是否成立？

生1：我认为∠AOB=2∠COD，AB=2CD都成立.

生2：我认为∠AOB=2∠COD，ABlt;2CD.

师：看来大家有不同的意见，请大家验证一下，到底哪个结论是正确的呢？

生3：在AB上取其中点E，则AE=BE=CD，于是可得∠AOE=∠BOE=∠COD，所以∠AOB=2∠COD.

师：很好.接下来谁来说一说，线段AB与CD存在怎样的数量关系呢？

生4：根据定理易得AE=BE=CD，在△ABE中，ABlt;AE+BE，即ABlt;2CD.

师：说得很好，同学们通过取弧的中点，将两倍弧转化为等弧问题，运用已学知识验证了结论.通过以上探究，你有哪些收获？

生5：在应用定理时不要盲目地套用，要学会运用转化与化归的思想进行转化.

生6：当条件改变时，结论往往也会发生改变，要学会用发展的眼光看问题.

通过以上探究，学生的学习兴趣高涨，教师继续给出问题，让学生分析并解决问题.

问题2在圆O中，如果∠AOB=2∠COD，那么AB=2CD，AB=2CD是否成立？

学生通过利用∠AOB的平分线，易知AB=2CD，ABlt;2CD.

师：在此基础上，你还能继续提出问题吗？

生7：在圆O中，若AB=2CD，则AB=2CD，∠AOB=2∠COD是否成立？

…………

4 利用“关系”，落实数学素养

数学知识不是孤立存在的，它们之间存在着千丝万缕的联系，可以说数学教学就是研究这些关系的教学.在初中数学教学中，教师要有意识地引导学生从这些“关系”入手，将一些相关、相似的知识通过横向、纵向拓展编制成知识网，以此构建完善的认知，培养学生思维的多样性、灵活性、创造性.

案例4点与圆、线与圆、圆与圆位置关系的融合

师：通过与所学知识进行类比，我们得到“两圆外离dgt;r1+r2”，对此你还有什么疑问吗？

生1：以上结论是通过类比和迁移的方式得到的猜想，缺乏一定的严谨性.猜想后应该证明，这样才能确保结论的科学性、可靠性.

师：非常有道理！需要如何证明呢？

生1：要分两步证明.①由两圆外离得到dgt;r1+r2；②由dgt;r1+r2得到两圆外离.

师：很好，请大家交流一下，看看具体如何证明.

生2：设O1O2=d，圆O1与圆O2的半径分别为r1，r2.由两圆外离得到dgt;r1+r2易证.如图3，连接O1O2，分别交两圆于A，B两点，故d=O1A+AB+O2B=r1+r2+AB，故dgt;r1+r2.

师：“由dgt;r1+r2得到外离”该如何证明呢？

生3：令点B为圆O2上一点，且离圆O1最近.由于dgt;r1+r2，所以d-r2gt;r1，也就是O1Bgt;r1，这样就说明圆O2上离圆O1最近的点都在圆O1外，所以圆O2上每个点都在圆O1外.同理可证圆O1上每个点都在圆O2外，故两圆外离.

师：非常好，这样将问题转化为点在圆外的问题，利用已有知识解决了问题.根据以上证明的方法，如何证明dgt;r直线与圆相离呢？

以上将两圆外离、直线与圆相离用点与圆的关系加以解释，实现了知识的相互沟通，促进了理解的深化，培养了学生的逻辑思维能力，提升了思维的品质，实现了知识的融会贯通.

参考文献：

[1]马爱珠.关注细节，推进数学课堂动态重构[J].名师在线，2021（4）：38-39.

[2]徐亮.从深度学习角度谈初中数学教学[J].数理化解题研究，2021（35）：36-37.