证明

等式,反之不然.证明对称不等式可以转化为轮换对称不等式进行,证明轮换对称不等式也可以转化为对称不等式进行,这为对称不等式和轮换对称不等式的证明开辟了一条途径.一、将轮换对称不等式转化为对称不等式进行证明对于某些轮换对称不等式,可以转换为对称不等式进行证明.例1(2002 年巴尔干数学奥林匹克试题,文献[1]例1)若a,b,c均为正数,求证:分析这是一个关于a,b,c的轮换对称不等式,但不是关于a,b,c的对称不等式,不能直接使用排序不等式证明,但我们可将其

300) 李云杰证明:按从左到右的顺序进行.(1)第一个不等式的证明.当R-3r≥0时，显然有(R-3r)s2+3r2(4R+r)≥0成立.当R-3r(2)第二个不等式的证明.(3)第三个不等式的证明.(4)第四个不等式的证明.(5)第五个不等式的证明.(6)第六至八个不等式的证明.(7)第九个不等式的证明.

(1)式．从上述证明不难看出，条件abc=1是多余的．接着证明猜想2成立．由(6)式知，要证明(2)式成立，只需要证明4[a(2a+c)+b(2b+a)+c(2c+b)]2≥3[(2a+c)2(b+c2)+(2b+a)2(c+a2)+(2c+b)2(a+b2)]．(7)⟺4[2(a2+b2+c2)+ab+bc+ca]2≥3[(2a+c)2(b(a+b+c)+c2)+(2b+a)2(c(a+b+c)+a2)+(2c+b)2(a(a+b+c)+b2)]．(8)