以“问题串”为主线深化几何定理教学

摘要：文章以“圆周角和圆心角的关系”的定理教学为例，探讨以“问题串”为主线深化几何定理教学的实践，并提出“精设问题，搭建脚手架”“沟通现实，创造突破口”的教学思考.

关键词：问题串；几何定理；圆周角

“问题串”作为一种问题探究模式，就是在一定主体内围绕某一目标或某一中心问题，按照一定逻辑结构精设的一组问题.这样的教学方式对学生获取知识、培养思维、发展智力有很大的推动作用.下面，笔者以“圆周角和圆心角的关系”的定理教学为例，展示以“问题串”为主线深化几何定理教学.

1 课前慎思

1.1 教学内容分析

本节课的学习是建立在圆的相关概念基础之上的，于类比与比较中深入研究圆周角和圆心角的关系.同时，本节课涉及多个数学思想，这也为后续的数学学习提供了新的探索路径.

1.2 学情分析

在七年级的数学学习中学生已经掌握了圆心角的相关知识，等腰三角形的性质是本节课数学探究活动的基础.同时，该阶段的学生已经能通过类比的方式去探索和推理论证，也具备初步的分类讨论意识.但此时的学生无法基于圆周角的“无限”去探寻分类主线，从而基于这一教学难点采取恰当的教学策略，通过“问题串教学法”为学生搭建思维脚手架，引领学生拾级而上地深入探究，自主建构几何定理证明的一般思路是十分重要的.

2 教学过程

环节一适切导入，引出定义

问题1某公司的圆形会议厅的中心需要安装一些监视器，若每台监视器的监视角都是80°（见图1），要想监视整个会议厅，最少需要安装多少个？

师生活动：结合圆周角的知识，学生很容易得到答案，从而复习圆心角的概念，为后续类比圆周角的概念作铺垫.

问题2为了让会议厅看起来更美观，最好将监视器装在会议厅边缘，那么需要的监控器数量与之前相比有什么变化，变多了还是变少了？为什么？

生1：变少了，从图中观察监视器的监视角度变大了，从而所需的监视器就少了.

师生活动：学生初步体会到圆中有两类不同的角——顶点在圆心的角和顶点在圆上的角.

问题3你能试着用数学语言描述图2中∠ACB的特征吗？

追问：顶点在圆上的角一定是圆周角吗？

生2画出反例，总结：圆周角除了需符合顶点在圆上，还需符合角的两边都与圆相交

设计说明：一是让学生在现实情境中回顾圆周角的定义，为后续类比生成圆周角定义作足准备；二是通过在角度不变的基础上变化位置，让学生切实感知二者之间的大小关系.这一环节的教学，从数学的应用性角度给出研究圆周角的必要性，促成学生深入探究的意向.

环节二渐进探究，证明定理

问题4如图3，请试着在⊙O中画出弧AB对应的圆周角，它与圆心角∠AOB间有何数量关系？

问题5圆周角和圆心角存在哪些不同的位置关系？思考后同桌两人一组交流.

追问：请组内将所画的圆周角进行分类，并说出分类标准.

生3：按照圆周角与圆心的位置关系分类：①圆心在圆周角的一条边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部.

生4：按照圆周角的顶点所在的位置分类：①顶点在优弧上；②顶点在劣弧上；③顶点在弧的一个端点处.

问题6如图4，哪种情况比较特殊？为什么？

生5：圆心在圆周角的一条边上的情况最特殊.

追问：对于图4（1），你能试着独立写出圆周角∠AOB与圆心角∠AOB数量关系的完整推理过程吗？

师生活动：学生代表回答，教师板书，规范格式.

问题7刚才的特殊情况就是解决问题的突破口，那其他情况呢？也可以转化为这样的特殊情况证明吗？

问题8写出命题，并以符号语言表示.（至此，生成了圆周角定理及符号语言）

设计说明：通过巧妙而恰当的设问，引导学生观察、测量、推理，经历完整的命题推理过程，无形地化解教学的重点和难点，同时不失时机地渗透一般与特殊的数学思想.其中问题4之所以选择定圆主要是为了回避结论的争议.当学生画出的圆周角符合条件且不同时，则可以明晰探究圆周角与圆心角定义的一般性.而一条弧可以对应无数个圆周角，“化无限为有限”才是探索的“重头戏”，随之抛出问题5，学生会在分类标准上产生争议，此时教师的点拨与引导可以快速促成“三类”结论.问题6则是让学生从特殊着手分析转化另外两类，学生在深度思考和想象之后可获得新的认识.就这样，以问题为导引，让学生踏梯而上地探索，在获得圆周角定理的同时，顺势搭建思维“脚手架”.

环节三顺势应用，延展认识

问题9弧AB所对圆周角间有何数量关系？为什么？

生6：同弧所对的圆周角不止一个，有无数个.

生7：弧越长，圆周角的度数越大.

生8：同弧所对的圆周角的度数相等.

问题10回顾“导入环节”的问题，试着证明“等弧所对圆周角相等”.

追问：本章节中哪些知识与“等弧”相关？

众生：弧和弦的定义与性质、圆心角和圆周角的关系、等弧对应的圆心角相等、等弧对应的圆周角相等、等弧在圆内的其他性质.

问题11我们在电影院常常看到座位横排的排列呈圆弧形，这样设计合理吗？为什么？

生9：电影院中座位横排的排列呈圆弧形是合理的，因为这样设计可以确保观众与屏幕的距离相对一致，以提供更好的观影体验.

设计说明：通过环节一和环节二的探索，学生自主获取了新知.本环节中，以实际问题为导引，让学生在探索中跳出思维禁锢，体验成功的愉悦，彰显几何定理的合理性.这里问题9是圆周角定理的直接应用，学生说理的过程也是发现“变中不变”道理的源泉.问题10尽管具有一定的思考性，但在教师的又一次点拨下回顾导入环节，易根据“等弧所对圆心角相等”发现“等弧所对的圆周角相等”，使问题获解，让思维进阶.问题11中不失时机的应用则是再一次让学生自主发现数学依据，并充分体现数学的现实应用性.

环节四小结提炼，深化认知

问题12从知识方面与经验方面着手谈谈本节课收获了什么.

师总结：知识方面有两点——圆周角是对应圆心角的一半，等弧所对的圆周角相等；经验方面——体会到了几何知识在现实中的应用.

设计说明：本环节旨在引导学生带着批判与质疑去回顾与总结，并给予学生充足的时空去表达，从而在潜移默化中提升思维品质，培养高阶思维能力.

3 教学思考

3.1 精设问题，搭建脚手架

“问题串教学法”可以引领学生在自主探究中深化认知、积累活动经验、发展高阶思维、启发创新灵感.就本节课而言，教师以问题引领学生的知识进阶，使学生在新问题的解决中切身体验转化的用处；在面对难题时，教师诱导学生逆向思考，从特殊到一般寻求证明思路，助力活动经验的自然积累；面对圆周角的推论，教师以追问的方式引领学生在联想中摆脱问题的束缚.

3.2 沟通现实，创造突破口

本课中，教师从日常生活中选择素材，用“监视器问题”推动学生深入探究，用基于生活经验的问题串化解学生的思维难点，用“电影院的座位排列问题”渗透圆周角的生活价值.在“问题串”的外部引导下创新了学生的数学思维方式，使其最终将探究经验内化为自己的数学素养，实现自我提升.

总之，以“问题串”为主线的教学关系到学生思维的深度与广度，影响着教学的效度，因此有理由相信以“问题串”为主线在深化几何定理教学中将会得到广泛应用.