“代数+几何”综合运用探究

摘要：本文中详细探讨了代数与几何在中考数学中的综合应用，并以2024年浙江中考数学真题为案例，深入分析了二者在解决实际问题时如何交织融合，最后给出了“代数+几何”综合运用能力提升的几点策略.

关键词：代数；几何；中考数学；解题技巧

代数与几何，作为数学学科的核心基石，在中考数学评价体系中占据了至关重要的地位.随着数学教育模式的革新和深化，二者的交叉融合和综合应用已成为中考数学试题的重要构成部分.因此，在复习备考阶段，教师特别需要重视培养学生代数与几何融合的解题思维，以应对考试中的多样化挑战.

1 代数与几何的性质概述

代数，作为数学的重要分支，深刻揭示了数与符号间的内在逻辑.它超越了简单的数值运算，利用符号、变量、方程等，构建起解析复杂问题的数学架构.在此框架中，符号不仅代表数值，更描绘出变量间的函数关系和动态变化.凭借代数工具，我们可以揭示和解释自然界与社会现象中的规律性变迁.与之对应，几何聚焦空间与形状的本质.它研究点、线、面等基本元素，以及它们之间的位置关系和度量特性.几何赋予图形变换、对称性、角度和面积等概念以精确的数学定义和实际应用.通过几何，我们直观地理解空间结构，可为解决与形状、位置、大小相关的问题提供了强大的数学工具.

2 代数与几何在中考中的综合运用

2.1 真题再现

（2024年浙江中考数学第10题）如图1，在ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2，BD=23，过点A作AE⊥BC交BC于点E，记BE长为x，BC长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）.

A.x+y

B.x-y

C.xy

D.x2+y2

解：如图2，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F.因为AE⊥BC于点E，所以∠AEB=∠DFC=90°.由四边形ABCD是平行四边形，得AB=DC，AB∥CD，则有∠ABE=∠DCF.

故△ABE≌△DCF.

所以AE=DF，BE=CF=x.

由勾股定理，可得AE2=AC2-CE2=AC2-（BC-BE）2=4-（y-x）2，DF2=BD2-BF2=BD2-（BC+CF）2=BD2-（BC+BE）2=12-（y+x）2，则4-（y-x）2=12-（y+x）2，即

（y+x）2-（y-x）2=8.

所以x2+2xy+y2-y2+2xy-x2=8，

化简得xy=2.所以，当x，y的值发生变化时，代数式x的值不变的是xy.故选择：C.

2.2 代数与几何在中考中的综合运用分析

在中考数学中，代数与几何的综合运用是一大考查重点，它展现了数学知识之间的内在联系与统一性.近几年的中考题目中，代数与几何思想的综合运用题目显著增多，这要求考生不仅要熟练掌握代数、几何各自领域的基础知识，还要能够灵活地将它们结合起来解决实际问题.具体表现类型包括但不限于：通过几何图形建立代数方程或不等式，如在直角三角形中利用勾股定理列出方程求解边长；通过代数表达式描述几何图形的性质，如用二次函数描述抛物线的形状和位置；利用代数和几何知识共同解决复杂的图形变换和几何证明问题.因此，考生在备考时应注重代数与几何知识的融合训练，提高综合运用能力.

3 “代数+几何”综合运用能力提升策略

3.1 夯实基础

在提升代数与几何的综合运用能力之前，夯实基础知识的掌握显得尤为重要.代数与几何的基础知识不仅是数学学科大厦的稳固基石，而且为学生后续深入学习及应用高阶数学概念提供了不可或缺的前提.在代数领域，学生应深入理解并熟练掌握方程、不等式、函数、数列等基本概念.方程代表等量关系，不等式描绘数值差异，函数描述变量间的依赖，而数列则是数的有序排列.在几何领域，点、线、面、角、三角形、四边形、圆等基本图形及其性质的学习是几何知识体系的基石.学生需对这些基本图形的定义、性质及其相互关系有清晰的认识.只有掌握了这些基础知识，学生才能为后续的综合应用打下坚实基础.因此，在追求深度与广度之前，务必确保基础知识的扎实与稳固.

3.2 深化理解内在联系

代数与几何之间存在着深厚的联系，这种联系超越了单纯的学科体系定位，更深入到解题技巧和思维模式的层面.因此，在教学实践中，教师应致力于引导学生领会代数与几何之间的互补与交融，并鼓励他们采用多元化、多维度的视角去理解和应对问题.首先，教师可以借助代数的精确和逻辑体系来指导学生解答几何难题.在解析几何的框架下，代数方程成为连接数与图形的纽带，使学生能够通过求解方程准确地捕捉到图形的位置、形状及其特性.例如，教师可以指导学生求解两条直线的交点，其本质在于求解两个线性方程的解；还可以教授他们如何计算两点间的距离，这也能通过代数公式实现.这种方法极大地简化了计算流程，使几何问题变得更易于理解.同时，几何的直观性和具象性也为解决代数问题提供了有力的支持.教师可以引导学生在面对复杂的代数问题时，借助几何图形来辅助理解，通过图形的直观表达和变换来揭示问题的本质和规律.比如，教师可以指导学生绘制函数的图象，帮助他们更直观地洞察函数的单调性、极值等特性；还可以教授他们如何利用几何图形的对称性，简化对复杂代数表达式的处理.

3.3 掌握常见题型和解题方法

（1）方程与几何综合问题

方程与几何综合问题通常涉及一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，并结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识.常见题型为：求代数式的值，如长度、面积等的表达式求解；求参数的值或取值范围，如根据几何条件确定一元二次方程参数的范围；与方程有关的代数式的证明，如证明某个几何性质可以通过代数方程表示.这类题目的解题方法主要是：①建立代数式.根据几何条件建立代数式，如表示长度、面积等的表达式.②利用方程知识.利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系等知识进行分析和求解.③结合代数运算.运用代数运算（如恒等变形、方程求解等）来解决问题.

（2）函数与几何综合问题

函数与几何综合问题以函数为主线，涉及函数的图象、性质及方程等知识点.这些问题要求学生在理解函数图象的基础上，运用函数性质解决几何问题.常见题型为利用函数图象与x轴交点的横坐标求解方程的根、根据函数图象上点的坐标满足函数的解析式判断点的位置、利用函数性质（如单调性）判断几何图形的性质或求解相关问题.这类题目的解题方法主要是：①分析函数图象.根据题目描述，分析函数的图象特点，如交点、对称性、单调性等.②建立函数关系.根据几何条件建立函数关系，如将点的坐标代入函数表达式.③利用函数性质.运用函数的性质（如增减性、极值等）求解几何问题.

（3）直角坐标系中的几何问题

直角坐标系中的几何问题主要涉及点的坐标和几何图形的性质.这些问题要求学生利用直角坐标系中点的坐标来表示几何图形的位置、形状等，并通过代数运算求解相关问题.常见题型为：在直角坐标系中求解直线、圆等几何图形的方程；利用点的坐标求解几何图形的面积、周长等；根据几何条件判断点在几何图形上的位置.这类题目的解题方法主要是：①建立坐标表示.利用直角坐标系中点的坐标表示几何图形的位置、形状等.②运用几何性质.根据几何图形的性质建立方程或不等式，并运用代数运算求解.③注意坐标变换.在求解过程中注意坐标变换和几何变换的关系.

（4）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题

几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题要求学生能够对几何图形进行深入观察和分析，通过探究和归纳提出合理的猜想，并运用几何知识和证明技巧进行验证常见题型为根据给定的几何图形观察并归纳其性质或规律、根据归纳结果提出合理的猜想或假设、利用几何知识和证明技巧对猜想进行验证，并给出证明过程.这类题目的解题方法主要是：①观察分析.仔细观察几何图形的性质和特点，尝试寻找其中的规律.②提出猜想.根据观察和分析，提出合理的猜想或假设.③证明验证.运用几何知识和证明技巧对猜想进行验证，给出严格的证明过程.

4 总结

综上所述，代数与几何作为数学领域的基础分支，在中考数学评价体系中占据举足轻重的地位.面对考试中的多元化挑战，我们需要注重学生代数与几何知识融合能力的培养.通过强化基础知识的掌握、深化对二者内在关联的理解，以及掌握常见的题型和解题策略，教师可以有效地引导学生更好地掌握代数与几何知识，提高解题技巧，进而在中考数学中取得优异的成绩.