基于MPCK的初中数学复习课教学

摘要：MPCK是数学教师必备的学科关键能力知识，是教师核心素养的标杆，是高效课堂与低效课堂的分界线.文章以“一次函数”的中考专题复习为例，探讨如何构建基于MPCK的初中数学复习课教学，发展学生的数学核心素养.

关键词：MPCK；数学复习课；一次函数

PCK理论是美国学者舒尔曼在1986年提出的，该理论包括学科教学、学生及其特征、教育情境、教育目标和价值等.它的译法很多，可以直接称其PCK，即通过与教与学的有效整合，可以促进教师有效教学.

1 关于MPCK理论

MPCK是从PCK中演绎得出的对数学学科教学内容的专职论述，是MK（数学学科知识）与PCK的巧妙沟通.具备了MPCK就是具备了学术形态朝着教育教学形态转型的知识，可以为学生数学核心素养的培养提供助力.大量教学实践表明，数学教师实施复习课教学应综合运用MK，PK，CK这三类知识，这样才能达到助力学生理解数学和提高复习课质效的目的.

2 基于MPCK的中考专题复习课实践

基于MPCK的中考专题复习课，复习前教师需明确学生的知识掌握程度和困顿处，明晰如何通过教学培养学生的思维能力和渗透数学思想等.唯有基于自身MPCK理论进行全面且深刻的思考，才能打造具有深度的复习课堂.下面，以“一次函数”的中考专题复习为例进行具体阐述.

环节1：知识回顾，引发兴趣

问题1观察图1，从中可获取哪些信息？

问题2你能求出该函数表达式吗？若不能，添加1个条件后再求出该函数表达式.

师：大家能从图中获取到哪些信息呢？

生：观察图象可知，这是一个一次函数的图象，且知道图象上一个点的坐标为（4，0）.

师：很好，那大家能根据这些信息确定这个函数表达式吗？

生：（思考后回答）不能，还缺一个点的坐标.

师：非常棒！要确定这个一次函数表达式至少要知道两个点的坐标.

评析：学生在新课教学中已经对一次函数有了一定的理解，为了让复习课更加生动，更能激发学生复习的热情，在课始，教师巧妙地运用一条直线来设计问题情境，引发学生的探究欲望，使其自主自发地回顾旧知，感悟数形结合的思想.尤其是问题2的设计，为学生的深度思考作足了铺垫，这便是展开深度学习的第一步.

环节2：深入探索，发散思维

问题3如图2，东东匀速步行从甲处出发去乙处，线段表示的是东东距离乙处的距离y1（单位：km）与所用时间x（单位：h）的关系.

（1）从图象中你可以获取哪些信息？

（2）试着从函数角度理解该图形的意义，并具体说一说它是什么函数.

（3）试着用数学式子表示函数关系.

（4）假如东东从甲处出发之时刚好是红红从乙处出发之时，红红沿着相同的路匀速步行去甲处，且经过2.5h走了7.5km.试着在同一坐标系中画出图象表示红红距离乙处的距离y2（单位：km）与所用时间x（单位：h）间的关系.假如东东到达乙处后立刻返回甲处，则回程途中至少速度是多少才能与红红相遇？

师：大家能从图象上获得哪些信息？

生：（观察图象后回答）有两个点的坐标（2.5，7.5），（4，0），这是一个一次函数图象.

师：很好，大家做到了从函数角度理解该图形的意义.那这个函数关系该怎么表达呢？

生：（思考后回答）根据题意可设一次函数解析式为y=kx+b，代入两点坐标并求解得到k=-5，b=20.所以这个一次函数的解析式就是y=-5x+20.

师：很好，接下来，根据第（4）问中的条件画出红红距离乙处的距离与所用时间的关系.

观察学生操作并给予指导.

学生操作绘图工具绘图.

师：最后，我们需要求出东东回程途中的最小速度.题目中未给出具体的时间和距离，我们该怎么计算呢？

生：（思考后回答）老师，可以假设函数图象上的某一点为东东回程的起点、终点.

师：很好，这样我们就可以根据公式计算出最小速度了.

评析：该环节以问题促探究，为学生提供了更大的思维发展空间.由于问题本身具有的探究性和开放性，因此可引导学生多角度、多方位获取信息，生成解决问题的策略.同时，第（4）问以现实问题为载体，引导学生从函数的角度理解问题，无痕将问题化解为函数问题，从而使学生在用多种方法确定函数表达式的过程中，生成更加深刻的认识，即可以运用待定系数法、实际意义法等方法确定函数表达式.这样的探究历程更加有利于学生思维的交互和内省，从而让学生在体验解决问题方法多样化和多角度的过程中进行思维的自我调节和省思，有效地发展高阶思维能力.最重要的是，学生在“以形助数”的过程中切实体验了数形结合思想，厘清了知识本质，有效提高了综合应用能力.

环节3：开放练习，深化理解

练习观察图3，并试着编写一个故事，使得一对变量x，y与图中函数关系相吻合.

（1）分别说一说变量x和y的含义；

（2）充分运用图3中的数据阐述这对变量x，y的变化过程的实际意义（不可出现“速度”这个量）.

学生活动：在一个美丽的小村庄里，住着两个热爱探索自然的孩子小明和小红.村庄里有一座神秘的山，山脚下有一条蜿蜒的小溪.村庄里流传着一个古老的传说，说如果有人能解开山上的两个特殊点之间的秘密，就能找到传说中的宝藏.小明和小红决定一起去探寻这个秘密.他们发现，山的两个特殊点分别是A（0，20）和B（4，0），而小溪上的两个特殊点分别是C（6，0）和D（8，20）.小明和小红决定绘制这四个点之间的关系图，以找出解开这个秘密的线索.

变量x代表的是时间，即他们从山脚下出发到达山顶的时间.变量y则代表的是他们与山顶的垂直距离.当x=0时，y=20：表示他们刚开始爬山，距离山顶还有20个单位的垂直距离；当x=4时，y=0：表示他们到达了山顶，垂直距离为0；当x=6时，y=0：表示他们在山顶停留了一段时间，准备下山；当x=8时，y=20：表示他们回到了山脚，距离山顶又恢复到了20个单位的垂直距离.

评析：“精练”是基于MPCK理念的复习课教学追求的境界.在这一环节中，教师从素养目标、知识点和难易度着手，综合考量并精心设计练习，为学生高阶思维的发展提供帮助.在这道富有挑战性和开放性的数学练习的解答过程中，学生充分感受到不同知识背景下相同知识的应用，这样的过程更加有利于知识的迁移，从而促进了核心素养的生根，让复习课堂生态得到了优化，有效提高了复习课的质量.

环节4：课堂小结，升华提炼

问题4回顾并总结本节课的复习历程，同时思考后续该如何复习二次函数和反比例函数.

评析：适时的反思和提炼有利于知识的巩固，有助于知识体系的构建，有利于学生核心素养的发展.在这一环节中，教师以问题为载体引领学生及时回顾知识，让学生以课堂主人的角色进行总结提炼，使得一次函数的知识、方法自然纳入自身的已有知识体系之中，为今后的学习提供方法.

3 教学启示

实践表明，基于MPCK理念的教学设计可以让学生在深度学习的过程中感受建构的喜悦，在调动学习积极性方面作用显著.

3.1 深度研究，丰富MK

从MK的视角剖析中考数学复习课，教师在复习前需钻研知识背景，提高对教学内容的掌控能力，以激发学生的学习兴趣.因此，从MK角度进行一次函数的复习课教学时，教师要了解课标并思考：复习一次函数有何作用？该如何展开复习？复习中需要渗透哪些数学思想方法？……这样，教师在深入钻研后，以“一条直线”准确打开学生的思维通道，从回顾到应用再到拓展，一气呵成，有效地深化了教学内涵，培养了学生多角度思维的习惯.从另一方面来说，通过这样的复习课教学，教师积攒了充分的教学经验，发展了MPCK水平.

3.2 立足目标，精选PK

从PK的视角剖析一轮复习教学过程，教师应立足于教学目标，审视与思考本专题的知识点，思考并选择恰当的教学策略促进知识网络的构建，贯彻以生为本的理念.在本课中，教师从学科本身出发，立足于教学目标，针对不同教学环节精心选择PK.如函数应用环节中，教师设计了具有开放性和现实性的问题情境，引领学生深度体会函数图象的应用性，有效发展学生的应用意识、创新能力和高阶思维能力.

3.3 以生为本，理解CK

从CK的角度剖析，教师在复习课前需要深入了解学生，关注学生的已有知识水平、心理特征，预测复习中可能遇到的知识障碍和思维困顿，从而准确实施教学.初中生都是具有好奇心的个体，因此在复习课教学的过程中，教师紧紧围绕一条直线，用开放性问题一路引领学生深度探究，让学生感受到探索的快乐，探寻多种方法求解直线解析式的乐趣，以发展学生的数学核心素养.