一次函数与方程不等式的关系分析

邓清松

【摘要】根据当前华师大初中数学教材内容的安排，七年级学生需要了解与掌握一元一次方程与解法。在七年级下半学期，学生将对一元一次不等式相关知识的延伸学习，八年级学生要在学习一元一次函数知识的基础上加强对函数图像的了解与掌握。初中生对一次函数与方程不等式的学习重点放在了单独知识点学习中，对单独的知识点学习较为透彻，但对于一次函数与一次方程、一次不等式三者之间的关联还知之甚少，这方面急需老师的引导。因此，教师应着重教导学生这三方面知识的连贯性，通过学生对这三者知识点的连贯理解，把握三者的相互联系，将使他们在数学函数学习过程中更为轻松快乐。

【关键词】一次函数 方程 不等式

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）03-0071-01

在数学模型中，函数有着刻画世界变化规律的功能[1]。初中阶段是学生对函数认知了解的初级阶段，初中阶段对函数的学习为以后能深入学习函数知识奠定了坚实的基础。开始进入学习函数的阶段，学生通常被其深奥而感到学习上的吃力，理解上也必然存在一定的困难。对此，本文根据华师大数学教学大纲的要求，对一次函数与方程、不等式的关系进行了进一步的探讨。本文首先站在运动变化的角度，串联以往不等式学习中的知识点，以函数的观点来加强对以往学习过的方程和不等式相关内容的了解，从而建立融会贯通、相互发展的知识体系。通过在教学过程融入知识之间的联系，统领函数相关内容，进而引导学生自主分析，最终获得良好的学习成效。

一、一次函数和一次方程之间的关系

初中学生对一元一次方程的解答ax+b=0 （a、b为常数，b≠0）仅停在了移项这一方法，通过把未知数的系数转化为1，进而解出方程的答案。学生在解答数学函数题时，解答方法已经是非常熟练，但是为了帮助学生进一步探究一次函数和方程的关系，以下为此教学环节。

①目标导学：（1）会求直线y=kx+b（k、b为常数，k≠0）当函数值为0时的自变量的值。（2）使用两种方法，即直接解方程和函数图像法来解方程2x+5=17。

②主动学习解答课本上面出示的两个问题：（1）解方程2x+20=0。 （2）自变量x为何值时函数y=2x+20的值为0？

③分组研究以上两个问题的关系：将学生分为每组四人的小组，进行互相讨论。

④汇报展示：每组中由小组代表讲出意见，最后老师引导学生就正确解题意见达成共识：在问题（1）中解方程2x+20=0，得x=-10。

解问题（2）就是要考虑函数y=2x+20的值为0的时候，所对应的自变量x为何值。在这可以通过假设解方程2x+20=0，来得出x=-10。这两个问题实质是同一个问题。画出函数y=2x+20的图像之后，让学生再次回到图像上进行观察，直线y=2x+20与X轴线的交点坐标为（-10，0）这就说明方程2x+20=0的解为x=-10。让学生思考：以上两个问题关系当中，能进一步得到解方程ax+b=0（a、b为常数，a≠0）与求自变量x为何值的时候，一次函数y=ax+b的值为0，有什么关系？

⑤归纳加强：在解答一次方程有效转化某一次函数的值为0时，求相应自变量的值。

⑥巩固增强：采取两种方法来解答方程2z+5=17，例如：直接解方程法和函数图像法，把两组的特点进行对比。从而补充总结：直接对方程进行解答比函数要稍微简单一点，但函数图像能显示出一次函数和方程之间的联系。让学生在学习过程中站在不同的位置去看待任何函数问题，使得新旧知识联合比较，突出函数在生活中占据的重要位置。

二、一次函数和一次不等式之间的关系

对于一次函数和不等式关系的认识，也对其教导实行六步教学法。通过学生根据目标主动学习找出答案，进而进行相互交流。给出以下题目：用画函数图像法解答不等式6x+3<4x+8，两种方法，解法①将原不等式化为3x-6<0，画出直线y=3x-6的图像。在图像上便可以看出当x<2时，直线上面的点在X轴下方。因此不等式3x-6<0的解集为x<2。解法②分别画出直线y=5x+4和y=2x+10的图像，能看出它们的交点横坐标为2。当x<2的时候，在同一个X，直线y=5x+4上的点在y=2x+10相应点下方，因此不等式5x+4<2x+10的解集为x<2。很多学生在解题上会存在这样的疑问：用一次函数图像去解答方程和不等式有点多此一举，甚至无法接受。在这样情况下可适当进行知识点的点拨，最后与学生的理解达成共识。在函数角度的理解层面，就是寻求一次函数y=kx+b的值大于0的自变量X的取值范围。最后，站在函数角度上，能确定直线y=kx+b在X轴上下方全部点的横坐标构成集合。对于认知不怎么深刻的初中学生，通过互相讨论将更加丰富学生的知识。

三、一次函数与二元一次方程的关系

学生通过对一次函数和方程、不等式的学习之后，他们对这两个知识内容有了基本的了解。在课上先让学生自行思考后，再小组讨论进行解答。通过设置问题“二元一次方程：3x+5y=8如何转化成y的方程式？”让学生清楚理解到点和二元一次方程的对应关系。对下一步研究二元一次方程组的解和直线焦点坐标有了很实用的基础作用。我们从函数的角度上看待问题，能清楚看见一次函数、方程和不等式的直接联系。站在直观角度看待如何使用图形来表示方程的解和不等式的解，这样才能将学生已学过的知识进行深刻温习，巩固效果。

四、结语

按照华师大初中数学教材的教学大纲要求，教师需要对初中学生的一次函数与不等式的学习进行延伸，特别是对于一次函数和一次方程、一次不等式、二元一次方程的互相联系的知识教导，不仅激发学生自主分析数学问题的能力，而且让学生在知识联系中实现数学问题的温故知新，巩固学习效果，达到数学教学目的。

参考文献：

[1]王兰兰.一次函数与方程不等式的联系[J].数理化学习（初中版），2014，11（10）：08