不妨上一节错例剖析课

黄毅华

摘 要： 数学复习课教学往往存在教师讲完例题，学生练习的固化模式，对学生来说能力得不到培养，只是解题的工具。为此，教师要尊重学生的学习主体性，在课堂中要给学生独立、自主的时间与空间，让学生自己完成学习中的每个步骤，在教学过程中始终站在学生的角度思考问题，处理好教学中“错解”、“错因”与“练习”的关系，对典型错误加以剖析，帮助学生找到产生错误的原因和纠正错误的办法，掌握知识和培养能力。

关键词： 数学复习课 错解 错因 练习 作业

在数学复习教学中，尤其是在章节复习、阶段复习和总复习时，复习课的教法往往是：先由教师讲解一些典型例题，然后让学生练习。对学生来说，上课往往听得懂，但做起练习和作业来，又会出现这样那样的错误，能力得不到培养。

新课标指出，教学的改革重在教学过程的变化，而教学过程的变化强调的是教师教学方式的变化，要变学生被动接受知识为主动、自主学习知识的真正主人，变学生的被动发展为主动、自主发展。要把课堂还给学生，让课堂焕发生命力，在课堂中要还给学生独立、自主的时间与空间，让学生自己完成学习中的每个步骤，以学生的发展为本，充分调动他们学习的积极性、主动性和创造性。

为此，在初中数学复习阶段，有时把复习课设计成一堂错例剖析课，作为教学尝试，收效甚好。下面就以求一元二次方程中参数问题的复习课为例，过程如下。

一、出示“错解”

平时注意收集学生作业和考试中的典型题目和含有原则性错误的错解，写在小黑板上，也可以刻印成讲义发给每个学生阅读，让他们辨析会诊，并把错误之处简要记录下来，允许翻阅课本、资料，并可以与邻近的同学开展讨论，教师作巡视辅导。

由于初中学生都有好胜的心理特征，对找“岔子”很感兴趣，因而这一过程可使学生处于积极思维状态；只有人的思维处于开放的积极状态，才最具有活力和创造性。在教学中只有营造宽松、和谐、民主、合作的课堂氛围，学生才会产生好奇心，进而鼓励学生打开思维空间，大胆疑问。

题目及错解如下：

题1：m取何值时，关于x的方程（2-m）x■-11x-15=0是一元二次方程？（课本练习）

错解：由m■-2=2，得m=2或-2.

题2：已知关于x的方程kx■-2（k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.（2012绵阳）

错解：∵该方程有两个不相等的实数根，

∴△>0，而△=[-2（k+1）]■-4k（k-1）=12k+4，即12k+4>0，

解之得k>-■.

题3：已知x■、x■是关于x的一元二次方程x■-2kx+k■-k=0的两个实数根，是否存在常数k，使■+■=■成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。（2012菏泽）

错解：存在。

因为x■+x■=2k，x■x■=k■-k，

所以■+■=■=■=■=■=■，

即■=■，去分母得2（2k■+2k）=3（k■-k），

整理得：k■+7k=0，所以k■=0，k■=-7.

题4：n取何值时，关于x的方程（n■-2）x■-2（n+1）x+1=0有两个不相等实数根？

错解：△=4（n+1）■-4（n■-2）=4（2n+3）

令4（2n+3）>0

解之得n>-■.（答略）

题5：若关于x的方程x■+（m+2）x+3=0的两个根均大于1，求m的取值范围。

错解：设此方程的两根为x■、x■，则△=（m+2）■-4×3≥0x■>1x■>1

得到（m+2）■≥12x■+x■>2

所以m≥-2+2■或m≤-2-2■-（m+2）>2即m<-4

得m≤-2-2■

二、剖析“错因”

教师根据巡视的情况选择一些有代表性的学生发言，一般来说每题都请两位学生发言。第一位同学的发言存在一些问题，以利于其他学生再展开讨论，把思维过程充分暴露出来，第二位学生的发言基本上作出完整的回答。然后师生共同剖析产生错误的原因，找出预防的办法，并写出每道题的正确解答。

由于初中生一般都有乐于表现自己的心理特征，发言积极踊跃，因而这一过程可使学生中的困惑、错误得到及时解释和纠正，思维火花也能被及时点燃，学生就会有探索者的收获，发现者的欢乐，胜利者的喜悦……

剖析结果如下：

题1：对于“题1”，先让学生甲说说一元二次方程的概念，再让学生乙对照概念剖析“错因”：错解只考虑到x的次数是2次，得m=2或m=-2；但忽略了一元二次方程二次项系数不能为0这一必要条件；因此，二次项系数2-m≠0，即m≠2；最后师生共同写出正确答案，所以m=-2.

题2：漏掉了二次项的系数k≠0这个前提条件，事实上，当k=0时，原方程变成一次方程，不可能有两个实数根，故k=0应该舍去。

正解：∵该方程kx■-2（k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根，

∴二次项系数不为0且△>0，即k≠0且12k+4>0，∴k>-■且k≠0.

题3：①该一元二次方程x■-2kx+k■-k=0的两个实数根，所以△≥0

即（-2k）■-4（k■-k）=4k≥0，得到k≥0.

②去分母k■-k时，注意分母不为0，即k■-k≠0，知k■≠0且k■≠1。

∴综合①②两因素，k■=0且k■=-7都应该舍去，

∴本题中k的值不存在。

题4：漏掉了二次项的系数n■-2≠0这个前提条件。事实上，当n■-2=0时，即n=±■

原方程变为一次方程，不可能有两个实数根，故n=±■应舍去。正确答案是n>-■且n=±■。

题5：由x■>1，x■>1可得到x■+x■>2，但反过来不一定成立。如x■=-3，x■=6时虽有x■+x■=3>2，但x■=-3<1，其错误的原因是将必要条件当做充要条件。事实上，由x■>1，x■>1得x■-1>0，x■-1>0，则（x■-1）+（x■-1）>0且（x■-1）（x■-1）>0，故正确答案应是解下列不等式组的解。

△≥0（x■+x■）-2>0x■x■-（x■+x■）+1>0

解之得：-6

三、巩固练习

出示三道练习题：

1.若关于x一元二次方程（m-2）x■+3x+m■-4=0有一个根是0，你能求出m的值吗？（2012天水考题）

2.k取何值时，关于x的一元二次方程2x■+kx-2k+1=0两实根的平方和为■？

3.若关于x的一元二次方程7x■-（k+13）x+k■-k-2=0有两根x■、x■，且0

对以上三题，学生普遍能正确解答出来。

四、布置作业

这节复习课，不仅有效纠正了学生求一元二次方程的参数问题时的一些典型错误，而且启发我们：在复习时，有时注意精选一些学生解题中的典型错误加以剖析，不仅让学生“吃一堑长一智”，而且对于培养学生思维的严谨性、批判性和深刻性，帮助学生找到产生错误的原因和纠正错误的办法，进而使学生在解题时少犯错甚至不犯错误，是大有裨益的；能调动学生学习的好奇心，使学生处于积极思维状态中，对于强化课堂复习效果，是一种较好的教学尝试。

参考文献：

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）.

[2]义务教育教科书数学.