学情观察：让课堂对话更有效

摘" 要：创设合乎学情的课堂教学情境，有助于推动课堂教学形态的转变，提升课堂教学效果. 以“找垂线”复习课设计为例，提出课堂对话的展开应从学情观察出发，基于认知，让对话更有精度；尊重情感，让对话更有温度；提升能力，让对话更有深度. 优化课堂对话结构，从而达到共识、共情、共进，实现共同成长.

关键词：课堂对话；学情分析；课堂生成；教学转型

中图分类号：G633.6" " "文献标识码：A" " "文章编号：1673-8284（2024）04-0041-05

引用格式：杨洁. 学情观察：让课堂对话更有效：基于空间垂直关系再认识谈单元复习课教学［J］. 中国数学教育（高中版），2024（4）：41-45.

随着课程改革的推进，生本教学、以学定教等以促进学生有效学习为宗旨的教学形态得到了广大研究者和一线教师的广泛认同. 以学情为起点的教学是课程改革重视学生主体地位的突出表现之一. 在课堂对话中，学生的互动状态、生成状态和发展状态也会因为学情的不同而呈现出不确定的变化，教师需要基于学情观察，动态把握对话过程中学生表现出来的各种状态，有效掌控对话的方向和节奏.

2024年1月，浙江省宁波市开展了高中数学课堂教学评审活动，内容选自人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册（以下统称“教材”）“8.6 空间直线、平面的垂直”，课型是单元复习课. 复习课切忌拖沓冗长的知识重复，也忌讳高难度综合性的选题讲解，而是要高效地帮助学生构建知识框架，掌握思想方法，整体把握单元内容. 跨校借班赛课是教学比赛的常态，赛课教师常常因为不熟悉学情而产生如下担忧：课堂提问中学生是否会兴致不高？师生对话是否会难以持续，进而陷入尴尬？对话是否会止于表面，无法触及问题的本质或达到一定的深度？相对于其他课型，单元复习课更考验教师对学情的洞察力，有效的学情观察是师生课堂对话的起点，也是推进课堂教学效果的关键要素. 下面，笔者结合磨课经历，从认知、情感和能力三个维度来分享如何基于学情观察改进课堂教学，创设符合学情的教学情境，促使师生对话有效进行.

一、基于认知，让对话更有精度

笔者设计的是一节以“找垂线”的作图操作为主线的单元复习课. 为了唤醒学生的原有认知，需要引领学生对已学的空间垂直关系的相关概念与定理进行梳理. 最初尝试设计了以下两个问题作为课堂对话的起点.

问题1：请看几组照片（结合实事新闻展示照片），其中蕴含着很多空间中的垂直关系，请大家回顾本章的学习内容，说一说空间垂直关系中主要包括哪些内容.

追问1：对于线线垂直、线面垂直、面面垂直，学习的一般路径是什么？

追问2：以上三种垂直关系如何相互转化？

问题2：结合教材章末的知识框架图，谈一谈有哪些“找垂线”的方法.

根据磨课时的学情观察，笔者发现如此精心设计的课堂对话却暴露了三个明显的问题.

第一，学生看到新闻中震撼的照片时确实会眼前一亮，也很想对照片发表评论，但是他们真实想讲的内容显然与“垂直”这一空间位置关系无关. 学生看似感兴趣了，看似与素未谋面的教师拉近了距离，实则很清楚教师即将提问的是“无聊”的概念和定理，短暂兴奋后又扫兴地低下了头.

第二，学生对于线线垂直、线面垂直、面面垂直这三种垂直关系定义、判定、性质的记忆与理解混淆不清，教师极有可能要花费较长时间去纠正学生的错误表述，导致课堂对话枯燥冗长，学生的自信心颇受打击. 同时，追问1和追问2所引发的课堂对话效果取决于赛课抽到的班级的学生水平，未必能高效完成知识温故.

第三，学生虽然能结合垂直关系转化图回答问题2，但是不理解为什么要学习找垂线的方法. 一旦学生缺少对所学知识的探究欲望，课堂教学便容易呈现被教师“赶着走”的现象，不利于发展学生的数学核心素养.

美国著名认知教育心理学家奥苏贝尔认为，影响学习的最重要的因素是学生已经知道了什么，教师应该根据学生原有知识状况进行教学. 只有充分把握学生的知识结构状况，才能判断其与新知识之间的差距，进而设置更合乎学情的问题，提高课堂教学对话的精度. 笔者在赛课前了解到该班级学生的基础不够扎实，如果直接让学生陈述定理，其在表达上很可能会出现各种错误. 同时，学生学习的内驱力不足. 对此，应该在课堂开头明确“何由要找垂线”. 于是，基于学生认知，笔者从整体构建的角度出发重新调整课堂问题和师生对话如下.

师：从联系的角度来看，平行和垂直不仅在研究路径上具有一致性，即都经历了“定义—判定—性质—应用”的研究过程，而且在知识内容上也很一致，图1是教材章末的知识框架图. 请边看边回忆它们之间的转化，有哪些共同点？

生：都可以相互转化，有定义、判定定理、性质定理.

问题1：无论是平行还是垂直，除了可以从线到面或从面到线依次升维、降维转化之外，你能发现知识回路中的不同吗？

生1：在垂直关系中，没有直接从面面垂直到线线垂直的转化定理.

师：非常好，这就意味着线面垂直的地位上升了，成为了中转站. 而找垂线正是中转站运行的关键.

师：从发展的角度来看，根据从特殊到一般的思想，有了垂直之后，我们学习了一般情形下的线面角和二面角.

问题2：大家谈谈线面角、二面角的作图中是否用到了找垂线.

生2：在线面角的作图中，要先找到面的垂线从而确定斜线的射影，才能作出线面角；二面角作图是从棱上的一点出发，在两个半平面内分别作垂线，从而找到二面角的平面角.（也有学生提到用垂线法、垂面法作图等.）

【评析】问题1和问题2分别从横向和纵向角度切入课题，既从联系的角度突出了找垂线的作图操作在整个单元中的地位，又从发展的角度在对话中明确了找垂线是几何法作图的出发点，是立体几何“作—证—算”中的第一步. 可见，基于认知，重新调整课堂设问，能使对话的目标指向更加精确.

二、尊重情感，让对话更有温度

将学生的认知活动与情感活动结合起来研究是深化教学改革的一个着力点. 心理学研究表明：人的积极情感具有强烈的内驱力，人在心情愉悦的情况下，思维更活跃，主动对话的意识更强烈. 学情是最不该被遗忘的教学资源，课堂中教师要充分观察学生的情感变化，挖掘和利用好学生身上的错误性资源和差异性资源. 因为其在暴露学生真实的理解方式和学习需求的同时，也为教学提供了合适的切入点和目标定位.把握错误性资源和差异性资源是降低教学损耗、提升对话温度的绝佳路径. 以下是本节课抓住这两点后的课堂教学片断.

1. 再现错误性资源

例1" 如图2，在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[∠ABC=]

[90°]，[AB=BC=BB1=2]，[M，N]分别为[A1B1，AC]的中点. 求直线[AB]与平面[BMN]所成角的正弦值.

此题是课前作业题，教师投屏学生的解题思路，有利于在借班上课时吸引学生的注意力，更贴近学生心理. 相对于现场提问“你们在解题中有什么不会的？”这样的问题，不妨直接暴露问题并加以讨论，这样能在课堂教学中快速为师生对话找到核心话题. 学生暴露的错误性资源如下.

错误性资源1：由于[AN⊥BN]，故认为[∠ABN]是直线[AB]与平面[BMN]所成角.

错误性资源2：如图3，过点A作线段[BM]的垂线[AH1]，认为[AH1]是平面[BMN]的垂线，而得到[∠ABH1]是直线[AB]与平面[BMN]所成角.

错误性资源3：如图4，过点A作线段[MN]的垂线[AH2]，认为[AH2]是平面[BMN]的垂线，而得到[∠ABH2]是直线[AB]与平面[BMN]所成角.

【评析】在陌生课堂抓住学生的已有错误，化问题为话题是一种能力，更是课堂对话的一种艺术. 以上错误归根于学生不会找面的垂线. 在一个平面内作线的垂线是学生在初中阶段获得的基本作图能力，然而在三维空间中，并不是随便作线的垂线就会成为面的垂线. 暴露的三个错误的本质在于误把直线[BN，BM，][MN]的垂线[AN，AH1，AH2]当作了平面[BMN]的垂线. 那么面的垂线如何找？由此可以自然聚焦到课堂的关键话题. 再现错误性资源，不是为了泼冷水，而是使其成为拉近师生距离的催化剂，是对学生情感的一种回温.

2. 捕捉差异性资源

例2" 在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中.

（1）如图5，[E，F]分别为棱[DD1，AA1]的中点，过点[D]，你能找到平面[BCEF]的垂线吗？

（2）如图6，[P]为棱[D1C1]的中点，过点[C]，你能找到平面[BDP]的垂线吗？若能，试确定垂足的位置.

（3）在图6中，求直线[DC]与平面[BDP]所成角的正弦值.

第（1）小题较简单，但若能用好简单的差异性资源，则有利于对单元复习课知识点的整体构建. 由学生口述或在黑板上作图，根据学生的表述会产生两种不同的作图方法，即差异性资源.

差异性资源1：先取[D1C1]的中点[M]，连接[DM]，证明[DM⊥CE，DM⊥CB].

差异性资源2：过点[D]作[CE]的垂线，证明平面[BCEF⊥]平面[DCC1D1].

两种作法看似差异不大，实则是两种不同的思维方式：一种是升维，即由线线垂直得线面垂直；另一种是降维，即由面面垂直得线面垂直. 在教学中，不能因为“时间危机”而放弃捕捉差异. 实践表明，相比生硬地让学生背线面垂直的判定定理和性质定理，抓住课堂对话中的差异性资源，边对话边完善板书，会使得知识框架的生成更加自然.

对于第（2）小题，通过差异性资源1和差异性资源2的课堂对话捕捉，有学生发出了“欲作垂线，先找垂面”的作图经验感叹，此时的课堂对话是自然生成且带有温度的. 在接下来的小组作图活动中，我们可以惊喜地发现，差异性资源继续涌现，学生小组内自主对话的意识强烈，具体如下.

差异性资源3：如图7，构造平面[ACC1A1]，设平面[ACC1A1⋂]平面[BDP=O1O2]，过点[C]作交线[O1O2]的垂线[CH]，则[CH]是平面[BDP]的垂线.

差异性资源4：如图8，构造平面[BCEF]，设平面[BCEF⋂]平面[BDP=BT]，过点[C]作交线[BT]的垂线[CH]，则[CH]是平面[BDP]的垂线.

由学生自主总结产生作图操作差异的原因，即虽然过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直，但是过平面外一点可以作无数个平面与已知平面垂直. 因此，虽然构造垂面的方式不唯一，但是最终确定的垂线是同一条.

在课堂实践中，想到构造垂面[ACC1A1]的小组比较多，而想到构造垂面[BCEF]的小组很少. 教师引导学生联系第（1）小题思考：既然找到了平面[BCEF]的垂线[PD]，自然地，线段[PD]的垂面就是平面[BCEF]，而[PD⊂]平面[BDP]，所以平面[BCEF⊥]平面[BDP]. 基于问题解决的路径分析，学生完善了“欲作垂线，先找垂面；欲找垂面，由线到面”的口诀，兴致盎然，课堂教学至此达到高潮.

【评析】可见，课堂对话并非一帆风顺，出现错误和差异乃是常情，教师要尊重学生独立思考的过程，只要学生表现出积极的态度，就应该予以关注和肯定，让学生热爱对话、敢于对话，提升对话的温度.

三、提升能力，让对话更有深度

对话的深度应该体现在学生的课堂思维互动中，学生突有所感、忽有所悟，这便是生成、创造和能力的提升. 那么，在本节课中，怎样在原有素材的基础上继续深入对话呢？

将例2中的正方体沿着体对角面[ACC1A1]切割，即是例1中的数学情境，具有连贯性. 然而再回看例1，基本没有学生能想到添加多条辅助线，将其“补形”到正方体中去求解. 不补形到正方体，又如何完成找垂线的任务？这对学生的能力提出了更高要求，也是本节课学生在旧题中再次检验知识应用程度的收官环节.

有学生延长[BM]和[AA1]交于点K，并连接NK，形成特殊的三棱锥[K-ABN]（如图9）；也有学生在图形内部找到AB的中点Q，并添加辅助线，构造了特殊的三棱锥[M-QBN]（如图10）. 无论最后的求解结果是否正确，从过程来看，绝大多数学生的作图中出现了如图11所示的两个三棱锥之一.

基于学情，从提升学生能力和拓展知识的角度，呈现课堂对话如下.

问题3：观察图11中的两个三棱锥，你能说说它们的特殊之处吗？（提示：从垂直关系角度观察.）

生：这两个三棱锥的底面都是直角三角形，且棱[KA，MQ]都分别垂直于底面. 不同的是，点[A]是Rt[△ABN]的非直角顶点，而点[Q]是Rt[△QBN]的直角顶点.

师：可以注意到三棱锥[K-ABN]的四个面都是直角三角形，在《九章算术》中，把这样的三棱锥称为“鳖臑”；三棱锥[M-QBN]的三条棱[QM，QB，QN]两两垂直，像墙角，我们可以简称它为“墙角模型”.

师生互动：如图12，学生根据独创的口诀“欲作垂线，先找垂面”，发现在“鳖臑模型”中，[△KAN]是现成的垂直于平面[BKN]的垂面，过点[A]作交线[KN]的垂线交KN于点H，则[∠ABH]就是所求角；如图13，在“墙角模型”中，没有现成的平面与平面[BMN]垂直，则根据口诀“为找垂面，由线到面”，很快就有学生选择直线[MN]，直线[QB]已然是[MN]的垂线，再在[△QMN]内作[QG⊥MN]，交MN于点G，即可找到直线[MN]的垂面[QBG]，进而确定[∠QBG]是所求角.

师：这里又“切割”出了新的三棱锥[H-BNA]，[G-BNQ]，它们又是怎样特殊的几何体？对，也是鳖臑！在《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵. 斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑……合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”

课堂尾声，播放折叠“三连体鳖臑”的视频，布置课后的折纸作业.

【评析】在找垂线的过程中，学生边做边学，再次经历“直观感知—操作确认—推理论证—度量计算”的一般过程，不仅重温了空间垂直关系的转化，掌握了作图的方法，而且在切割和拼接的过程中，经历了经典几何模型的作图生成过程. 这在增强学生数学文化意识的同时，还促使学生在课后自主交流为什么可以这样折叠，课堂对话从课内延伸到了课外，提高了数学文化的深度.

四、几点思考

高效的课堂对话离不开教师在课前对学情的把握，也离不开在教师在课堂教学过程中基于学情观察灵活调整对话. 下面是笔者的三点思考.

1. 课堂对话的展开需要以学生的个体经验为基础

学情是基于学习的主体（即学生）提出来的，它只属于特定的学习者，所以具有学习者的个性特征. 这就意味着以学情为起点设计课堂教学，不应该是任务式地“满堂灌”，而要顺从学生经验生长的个性需要，充分关注新旧知识的连接点，以主动建构知识的方式让学生学. 就本节课而言，立足学生的已有经验是活动设计的出发点，由两个问题引入，把“找垂线”活动探究的理由交还给了学生，让学生意识到线面垂直是空间垂直关系转化的中转站，作垂线是找线面角和二面角的起点. 只有让学生意识到“找垂线”的作图操作在整个大单元知识框架中的价值和地位，其才会主动地学，这样才能使后续的新知探究成为可能.

2. 有效捕捉课堂生成资源，引燃对话的情感场

对于师生对话中出现的即兴火花，教师应该敏锐地捕捉住，并予以引燃，使不同的学生有一个交流和争辩的机会，从而超越预先设定的目标. 本节课中，笔者始终将自己定位在听者的角色，把解决问题的机会留给学生，即使有学生错把线的垂线当成了面的垂线，也鼓励学生大胆表达自己的错误操作，反思错误经历，并尝试将学到的新知识运用到新的情境中，从而收获成功的情感体验. 学生的作图顺序表现出了差异，但正因为在课堂中给了学生展示差异的时间和空间，才能使学生自然生成了独创的解题口诀，课堂教学情感得以快速升温. 教师要善于引燃一种积极和谐的对话感情场，以自己的教学智慧去支持课堂对话的持续展开和不断优化，建构动态生成的课堂.

3. 会应用是检验课堂对话是否深入、有效的标准

正如朱德全教授所说：应用意识的生成是知识经验形成的标志. 因此，要抓住时机结合教学内容、高考试题、生活实例等设计变式情境，让学生真正获得应用经验解决新问题的机会. 也只有不断在不同的情境中进行应用，学生的数学应用能力才会有效提升. 因此，笔者为学生布置了与找垂线有关的高考试题作为课后作业，以检验课堂教学效果.

总之，基于学情观察开展课堂对话，能弥补教师一厢情愿地根据自己对教学内容的理解单向组织教学的缺失，有精度、有温度、有深度的课堂对话能换来学生主体性的凸显、心态的开放、个性的张扬和创造性思维的发展，这就是对有效对话的最丰厚回报.

参考文献：

［1］王晴. 让学情分析成为教育起点［J］. 福建教育学院学报，2023（4）：15-21，88.

［2］陈隆升. 基于学情分析视角的课堂教学转型［J］. 教育发展研究，2016，36（6）：69-76.