备战高考之回归教材实践探索

摘" 要：备战高考回归教材不同于首次学习新知，是在经历了使用教材上所学的概念、定理、公式和思想方法去解决具体问题等学习活动之后，对教材进行更深层次的二次认知. 在这一过程中，学生不仅积累了丰富的实践经验，还遇到了新的挑战，这些实践和问题成为了重新深度学习教材的契机. 深挖教材内涵，从而实现高效、系统的学习效果，不仅加深了学生对教材的深入理解，更显著提高了学生的解题能力，为学生掌握数学知识奠定了坚实的基础.

关键词：回归教材；结构化；变式训练；深度思维

中图分类号：G633.6" " "文献标识码：A" " "文章编号：1673-8284（2024）04-0052-07

引用格式：李忠良，张培强. 备战高考之回归教材实践探索：以“概率与统计”为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（4）：52-58.

一、问题提出的背景

笔者所在地区使用的是苏教版《普通高中教科书·数学》（以下统称“苏教版教材”）. 在备战高考的过程中，尝试跳出自身使用的教材，故详细翻阅人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“人教A版教材”）. 在人教A版教材选择性必修第三册第139页有一道题，笔者感觉与苏教版教材上的题目的风格略有差异，于是把人教A版教材中的这道题放置在一次测验中.

题目1" 根据分类变量[x]与[y]的成对样本数据，计算得到[χ2=2.974]，依据[α=0.05]的独立性检验，结论为（" ）.

（A）变量[x]与[y]不独立

（B）变量[x]与[y]不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

（C）变量[x]与[y]独立

（D）变量[x]与[y]独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

该题答案选C. 阅卷结果令笔者大跌眼镜，四个选项的选择率分别为20%，36%，22%，22%. 这至少说明了两个问题：一是学生对这道题目的问法感到陌生且无所适从；二是相对来说，学生倾向于选择选项B，与教材之间的差异性有一定关系. 于是，笔者进一步比较分析了两版教材在这个知识点上的描述，寻找存在的差异.

人教A版教材选择性必修第三册第131页的原文描述如下.

表1给出了[χ2]独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值.

例如，对于小概率值[α=0.05]，我们有如下的具体检验规则：

（1）当[χ2≥x0.05=3.841]时，我们推断[H0]不成立，即认为[X]和[Y]不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05；

（2）当[χ2lt;x0.05=3.841]时，我们没有充分证据推断[H0]不成立，可以认为[X]和[Y]独立.

苏教版教材选择性必修第二册第177页的原文描述如下.

（1）若[χ2gt;10.828]，则有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；

（2）若[χ2gt;6.635]，则有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；

（3）若[χ2gt;2.706]，则有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；

（4）若[χ2≤2.706]，则认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能得出结论“[H0]成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系.

对于独立性检验的结论，两个版本的教材的描述角度有明显不同：苏教版教材倾向于把结论描述为“根据检验结果，有多大把握拒绝零假设[H0]”，而人教A版教材则倾向于把结论描述为“基于[α=α0]的小概率值，是否接受零假设[H0]，若不接受，犯错概率有多大”.

在一线教学中，很多教师会简化甚至忽略教材中这部分内容的推导过程，而选择让学生直接记住结论，即计算卡方值，对比[α0]，模仿教材模板下结论. 这样做的弊端是：一旦出现背景的转换或者提问角度的变化，学生就很容易无所适从，进而出现理解误区，导致出错. 因为学生并没有真正理解假设检验的内涵. 要解决这个问题，就需要回归教材，甚至对比学习不同版本的教材，研读知识生成的详细过程，深度理解其内涵. 以该知识点为例，从教材中读出[α0]的意义为一种决策出错的概率，即“[H0]为真却被拒绝”，简称“弃真”的概率. 只有吃透教材，才能确保在不同背景下均不出现理解错误.

上面这道题目的尝试虽然过程有点“尴尬”，但带给我们的思考却是深远的.

另有一个案例. 2021年笔者所在省份首次加入新高考，使用新高考Ⅰ卷. 在高三考前回归教材时，笔者发现学生往往借助生活常识来判断事件是否相互独立，忽略或者没有真正理解教材所给公式的内涵. 于是，笔者设计了如下一道题目，以加深学生对教材概念的理解.

题目2" 投掷一枚骰子，向上点数共有1，2，3，4，5，6六种可能，每一种情况的发生是等可能的，则下列说法正确的是" " " " ".

① 事件“点数为1或2”和事件“点数为偶数”是相互独立事件；

② 事件“点数为1或2或3”和事件“点数为偶数”是相互独立事件.

通过这道题目，学生体验了“反常识”的结果，意识到了“现实生活中的独立”和“数据结构上的独立”的差别，加深了对教材中公式的理解，掌握了独立性的内涵，在当年高考的第8题中取得了较好的效果. 这也印证了充分重视教材、挖掘教材的重要意义.

二、备战高考之回归教材的意义

1. 教材反映教育理念和目标的变迁

教材的内容和结构是教育理念和目标变化的直接反映. 随着社会的发展、科技的进步和教育目标的更新，教育理念也随之发生变化，这些变化必然会体现在教材的编写和更新上. 例如，从知识传授向能力培养的转变，从记忆和重复向批判性思维和创造性思维的发展等，教材的编写是一个充满思考和选择的过程，涉及对教育价值、社会需求和学生发展的深度考量.

2. 教材是培养核心素养的支撑点

教材是实现教育目标、传授知识技能的主要工具，在培养核心素养的过程中，教材通过内容的选择、组织和呈现方式，引导学生发展所需的思维方式和行为模式，促进思维的发展，帮助学生构建知识体系，提高问题解决能力. 教材通过整合学科知识、生活实践和社会需求，为学生提供一个学习和探索的平台，从而促进他们的全面发展. 教材通过案例研究、实验活动、项目学习等方法，将理论知识与实际应用相结合，帮助学生将学到的知识运用到实际生活和未来的职业发展中. 教材通过提供丰富、多元、实践性强的学习内容和活动，帮助学生在学习知识的同时，发展综合能力和人格品质.

以数学教学为例，回归数学的学科本质，回归数学教学的本来面目，通过注重教学质量，帮助学生在夯实“四基”、提升“四能”的过程中发展数学核心素养，在学懂、学通、学透数学的过程中提高数学水平.

3. 教材是高考命题的落脚点

高考命题改革已经走向了“依标命题”，所以课堂教学的重心须转变到“依标施教”上来. 具体而言就是要重视教材，不仅在新课教学中要用好教材，而且在复习备考中也要回归教材. 教材不仅是学习的起点，也是复习的依据，教材中覆盖的知识点、理论和概念是高考题目设置的基础和出发点，教材中的重点、难点很可能成为高考关注的焦点. 高考前的复习，学生和教师要以教材为主线，围绕教材的结构和内容进行. 因此，教材在高考内容的选择、学生复习的指导，以及教育评估和发展中发挥着核心作用，这不仅确保了考试内容的标准化和公平性，也保证了教育内容与评价标准之间的一致性和连续性.

三、回归教材的实践探索

1. 吃透教材中的基本概念

为了更好地陈述该观点，笔者设计了一道概念辨析多选题.

题目3" 下列说法中错误的有（" " ）.

（A）具有相关关系的两个变量之间的相关系数越大，说明其相关性越高

（B）在独立性检验中，卡方值的大小代表两个变量的相关程度，卡方值越大，其相关性越高

（C）事件A，B，C两两互斥，则[PA+B+C=PA+]

[PB+PC]

（D）事件A，B，C两两独立，则[PABC=PA ·]

[PBPC]

该题的答案选ABD.

关于选项A，这里涉及正相关和负相关的概念，教材有明确表述，辨析难度不大.

关于选项B，卡方值只体现我们对假设的置信水平，并不是形容零假设的真假程度. 例如，在独立性假设检验中，这一组分类变量相关性不高，但是由于根据数据算出来的卡方值很大，我们选择拒绝零假设，但是造成了错误决策，即“弃真”，也有可能其本身相关性很高，但是由于样本的随机性，我们算出来的卡方值比较小，于是选择相信零假设，这也是假设检验中有可能出现的另一种错误，即“取伪”. 我们只是根据检验结果结合显著性水平[α]去选择相信零假设[H0]，或拒绝零假设[H0]，即选择相信备择假设. 我们使用“接受零假设”或“拒绝零假设”这样的术语，并不意味着确信它是真的，只是意味着根据目前的数据计算结果，我愿意相信它或拒绝它，检验统计量只帮助我们做出相信和拒绝的决定，而不是形容被检验数据本身的关联程度.

关于选项C和选项D：苏教版教材给出的多事件“相互独立”的公式为[PA1A2…An=PA1PA2…PAn]，

但没有辨析“相互独立”和“两两独立”概念的区别.人教A版教材必修第二册第250页正文中以方框的形式加以备注说明“三个事件两两互斥和两两独立的区别”，留下了一个开放性问题，教师若能带领学生继续探究并尝试举出反例，学生会获得更深刻的学习体验和概念认知. 若不深究教材而“欲言又止”，这里很容易形成知识盲点.

综合来说，在高考前重新回归教材，吃透教材中的基本概念，在巩固基础知识、提高思维系统性、拓展理解的深度和广度、减少误解和偏差、适应高考命题趋势、提高答题的准确性和效率、建立信心和心理准备等方面都有着重要意义.

2. 对教材中的公式进行二次认知

以人教A版教材为例，必修第二册第243页有性质6：[PA⋃B=PA+PB-PAB]（公式1）. 首次学习时掌握这个公式难度不大，但在二次认知时对这个公式可以有更深度的理解. 这个公式描述的是“事件A，B至少有一个发生的概率”，那么很自然地就可以进一步想到：“事件A，B恰有一个发生的概率”的计算公式是什么呢？有了想法，结果就容易得到了，即[PAB+AB=PA+PB-2PAB]（公式2）.

人教A版教材选择性必修第三册第45页的条件概率公式为：[PBA=PABPA]（公式3），紧接着第46页又给出了该公式的变形[PAB=PBAPA]（公式4）. 这就给了我们一个重要启示：对于由三个量组成的公式，基于“知二求一”的理念，对公式进行变形，是实现深度认知公式的必经之路.

人教A版教材必修第二册第250页出现这样一个公式，[PA=][PAB+PAB]（公式5）. 因为事件[B]和[B]构成了一个完备事件组，所以这个公式描述的是对事件[A]的分类，也是后面学习全概率公式的预备知识. 此时根据从公式3到公式4的启示，基于“知二求一”的认知角度，公式5也可以变形为[PAB=PA-PAB]（公式6）. 笔者曾在课堂上同时展示过这两个公式，从学生的第一反应来看，明显对公式6更感陌生，相对来说对公式5感觉更亲切. 然而，这完全是同一组关系式基于“知二求一”作出的变形而已，若没有经过这种深刻的挖掘和认知，学生则很容易在解题中出现“卡壳”的现象.

为了加深对公式1、公式3和公式4的理解，我们可以设计题目4.

题目4" 事件A，B满足[PA=14]，[PBA=15]，[PAB=12]，求[PA⋃B].

解析：由[PBA=PABPA=15]，得[PAB=120].

由[PAB=PABPB=12]，得[PB=110].

故[PA⋃B=PA+PB-PAB=14+110-120=310].

为了加深对公式5和公式6的理解，我们可以设计题目5和题目6.

题目5" [PAB=PAB]是事件[A，B]相互独立的（" ）条件.

（A）充分不必要

（B）必要不充分

（C）充分必要

（D）既不充分也不必要

解析：由[PAB=PAB]，得[PABPB=PABPB].

所以[PABPB=PA-PAB1-PB]，

即[PAB=PAPB].

故答案选C.

题目6" 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且[PA=12]，[PB=1124]，[PAB+AB=724]，则下列结论正确的是（ " ）.

（A）[PAB=18] （B）[PA+B=56]

（C）[PAB=911] （D）[PAB=PBA]

该题答案选AB. 考虑到考试中的时间和压力等因素，大多数学生想在几分钟之内熟练计算完四个选项难度是很大的，甚至刚开始审题便感到陌生. 这道题目可以充分体现学生对教材中的公式及其变形的熟练掌握程度.

解析：第一步：由公式2，得[PAB+AB=PA+]

[PB-2PAB]. 所以[PAB=13].

第二步：由公式6，得[PAB=PB-PAB=1124-]

[13=18]. 所以选项A正确.

第三步：由公式1，得[PA+B=PA+PB-PAB=]

[12+1124-18=56]. 所以选项B正确.

第四步：由公式3，得[PAB=PABPB=131124=811.]

所以选项C错误.

第五步：由公式3，得[PAB=PABPB=181124=311]（或[PAB=1-PAB=311]）.

第六步：由公式3和公式6，得[PBA=PABPA=]

[PA-PABPA=12-1312=13]. 所以选项D错误.

如果把题目6所考查的知识看作一个整体结构，那么题目4和题目5都是这个结构中不同方位的支撑点. 当通过题目4和题目5把相应知识模块都构建完成，题目6的结构化构建也就水到渠成了. 如此解题，对公式的使用有一种信手拈来的美感，同时在一定程度上建立了知识体系的结构化.

3. 重读教材中的探究问题

教材正文中有穿插的“思考”“探究”，有方框形式的“特别提醒”，课后习题中有“拓广探究”，章末复习有“问题串梳理”，这些都是教材知识的总结或延伸，对这些问题的深入探讨，对于培养学生的高级思维能力、增强学生的理解和记忆、提高学生解题的灵活性和广度、激发学生的学习兴趣和主动性、培养学生面对不确定性问题的解决能力及适应高考命题趋势等多个方面都有重要价值.

以人教A版教材选择性必修第三册第136页的“拓广探究”为例：对例1列联表8.3-2中的数据，依据[α=0.1]的独立性检验，我们已经知道独立性检验的结论是学校与成绩无关，如果8.3-2中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因.

解析：经过计算会发现，样本增大时，若数据结构没有发生改变，卡方值也会变大. 原例题计算出的[χ2≈0.837lt;2.706]，结论为两所学校的数学成绩优秀率没有差异，但是样本数据都扩大为原来的10倍后，计算得[χ2≈8.365]，卡方值也扩大为原来的10倍. 因为[8.365gt;][2.706]，同样依据[α=0.1]的独立性检验，结论为两所学校的数学成绩优秀率存在差异，样本量的增大导致了结论发生变化.

探究：教学参考书没有再往下详细说明，这时我们可以抓住契机继续探究，做到学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟，引导教学讲透课程重点内容，从而在深刻理解的基础上融会贯通.

事实上，在假设检验中，由于样本的随机性，当零假设[H0]为真时，检验统计量的观察值也会落入拒绝域，致使我们做出拒绝[H0]的错误决策. 反之，当零假设[H0]不真时，检验统计量的观察值也会未落入拒绝域，致使我们做出接受[H0]的错误决策. 我们用[α，β]表示这两类可能发生的错误，记[α=P]（拒绝[H0H0]为真），[β=P]（接受[H0H0]为不真），当样本容量[n]固定时，[α]越小，[β]就越大. 一般采用的原则是：固定[α]，通过增加样本容量[n]降低[β]. 也就是说，即便发生了决策的改变，也不是因为学校和数学成绩之间的关联性本身变高或者变低，而只是基于控制决策犯错的概率. 对这个问题的探究，恰恰深度认知了题目3中的选项B，如果对教材上的这个探究问题有过深刻的理解，那么在判断题目3的选项B时就不会存在疑惑了.

4. 指向深度思维的课后经典习题变式训练

根据教材上的经典习题，设计指向深度思维的变式训练，不仅能够帮助学生巩固和深化知识，还能够培养他们的创新能力、逻辑推理能力和解决问题的能力.

例如，人教A版教材必修第二册第253页习题10.2第3题：若[PAgt;0]，[PBgt;0]，证明事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立.

解析：若A，B相互独立，

则[PAB=PAPBgt;0].

若A，B互斥，则[PAB=0].

所以两者不能同时成立.

互斥和独立都是概率学中的基础概念，但将它们混合在一起进行考查时，对学生的基本功就有较高的要求了. 为了帮助学生从不同的角度理解同一个概念或原理，促进知识的迁移和应用，我们可以设计如下两道变式题.

变式1：事件A，B互斥，事件A，C相互独立，[PA=PB=PC=13]. 下列结论中正确的是（ " ）.

（A）[PA⋃B=23] （B）[PA⋃C=59]

（C）[PB⋃C=0] （D）[PB⋃CA⋃C=35]

解析：对于选项A，[PA⋃B=PA+PB=23]；对于选项B，[PA⋃C][=PA+PC-PAC=59]；对于选项C，事件B，C关系不确定；对于选项D，[PB⋃CA⋃C=PCPA⋃C=35]. 故答案选ABD.

再如，人教A版教材必修第二册第253页习题10.2的第5题：如图1，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间[Ω=1，2，3，4，] [5，6，7，8]，构造适当的事件A，B，C，使[PABC=][PAPBPC]成立，但不满足A，B，C两两独立.

解析：记[A=1，2，3，4]， [B=1，2，3，5]， [C=]

[1，6，7，8]. 此时[PA=PB=PC=12]， [PABC=][18]，满足[PABC=PAPBPC]，但是[PAB=38≠]

[PAPB].

这道题目恰恰解释了题目3中选项D所辨析的知识点，而且此时出现了一个深化思维的最佳时机. 既然由[PABC=PAPBPC]不能推出A，B，C两两独立，那么反向呢？由A，B，C两两独立能否推出[PABC=PAPBPC]呢？

变式2：构造一个反例，使得事件A，B，C两两独立，但不满足[PABC=PAPBPC].

解析：在概率学中，这正是经典的“伯恩斯坦反例”. 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色，分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下为事件A，B，C，则此时[PA=][PB=PC=12]，且[PAB=PBC=PAC=14，] 满足A，B，C两两独立，但[PABC=14≠PAPBPC].

通过正反两个角度的变式训练，学生在构造事件的过程中实现了从“知其然”到“知其所以然”的进阶.

变式3：已知事件A，B，C两两独立，且[PA=]

[12]，[PB=13]，[PC=14].

（1）若[PCAB=13]，求[PABC]；

（2）若[PABC=16]，求证[A]与[BC]相互独立；

（3）若[PABC=16]，求证[A]与[B⋃C]相互独立.

解析：（1）因为A，B独立，

所以[PAB=12×13=16].

所以[PABC=PABPCAB=118].

此处应避免[PABC=PAPBPC]的错误做法.

（2）因为[PABC=PCPABC=124]，

而[PBC=13×14=112]， [PA=12]，

所以[PABC=][PAPBC].

所以[A]与[BC]相互独立.

（3）因为[PB⋃C=13+14-112=12]，

[PAB⋃C=][PAB⋃AC]

[=PAB+PAC-PABC=16+18-124=14，]

所以[PAB⋃C=PAPB⋃C].

所以[A]与[B⋃C]相互独立.

这种深度变式，可以作为优等生个性化辅导的良好素材.

随着教育评价方式的变化，越来越多的考试和评估重视学生的深度思维和创新能力，通过变式习题的训练，可以帮助学生适应这些变化，加深和扩展他们对教材知识的理解. 这种深入的理解能使学生在遇到类似问题时，灵活运用所学知识，而不仅仅是机械地记忆和应用，这种训练有助于培养学生的创新思维，提高他们的综合素质和能力.

四、教师拓展阅读高等数学教材

此任务专为教师设计，而非学生. 教师在研究概率与统计模块的过程中，研读高等数学教材，从更高的视角深入理解知识内涵，不仅对教学本身有重要意义，还对学生的学习成效、教师的专业发展及教育方法的创新都有深远的影响.

以本文所涉假设检验知识为例，在统计学中，假设检验应用范围既包括高中所学的对分类变量独立性的检验，也包括对随机变量是否服从某一分布的检验，以及对正态分布中均值和方差的检验等，高等数学往往涵盖更为详细的推理过程. 若能把高等数学教材中的统计学内容研读一遍，教师会更容易理解检验假设方法的精髓和内涵，便能够在教学中更准确、更深入地解释相关概念，从而有能力引导学生获得更深层次的数学知识和理解，增强学生的数学思维能力和问题解决能力.

以本文中的概率问题为例，高中所学的概率模型通常是概率学中经典模型的退化版，如“伯恩斯坦反例”“波利亚罐模型”等. 作为教师，阅读高等数学教材，了解知识全貌，理解更深层次的逻辑和推理过程，有助于构建一个更加完整和连贯的数学知识框架.

以全概率公式为例，掌握高等数学知识使教师能够从更广阔的视角理解高中数学知识，为了帮助学生深度理解全概率公式的精髓，即“化整为零”“各个击破”“分而食之”，我们可以设计有不同划分角度的问题模型. 例如，问题“送检的两批灯管在运输中各打碎一支，若每批10支，而第一批中有1支次品，第二批中有2支次品，现从剩下的灯管中任取一支，问抽得次品的概率是多少？”可以按照所抽灯管来自第一批还是第二批两种情况进行分类，也可以按照打碎的两支灯管分别是正品还是次品的分布情况，即[正品，正品]、[正品，次品]、[次品，正品]、[次品，次品]四种情况来分类. 如此设计，能够帮助学生建立更加扎实和系统的数学知识结构.

了解高等数学的知识点和思维方式，教师可以设计出更具挑战性和创新性的教学活动和习题，有助于激发学生的学习兴趣和思维活力，促进学生的深度学习和主动探索. 这对于优等生的培养或创新人才选拔，尤为重要.

五、展望

创新不是一蹴而就的，本文中用到的多道原创题，恰恰是建立在深入而系统地学习教材知识和经验积累的基础上，基于对教材知识的深度思考、理解和再创造，使之转化为自己的思维方式、解决问题的策略或创新思想. 创新需要长期、系统的准备和努力.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界. 在当代社会，数据的应用日益广泛，概率与统计学的重要性随之提升，新课改中强化概率与统计的地位，旨在配合现代社会的需求，提升学生的综合素质和未来竞争力. 相对于其他模块，概率与统计模块与生活中的各种情景与决策关联度更高，概率与统计可以帮助我们理解和分析各种情况下事件发生的可能性，以及如何做出基于数据的决策. 对于这一模块的学习和研究，我们更要紧扣课程标准的要求，平衡好做题和系统学习教材的关系，确保对教材的内容有深入的理解，这意味着不仅要读懂每个章节的理论知识，还要理解知识点之间的联系，以及它们在实际中的应用.

影响学生素养提升最根本的还是在于学生的数学功底. 良好的数学功底的含义：一是系统掌握数学基础知识、基本技能和基本方法，“知其然”且“知其所以然”；二是融会贯通，能灵活运用知识与方法解决问题. 做到始于教材、贯穿教材、回归教材、融入教材，这对于学生来讲，无论是提升其考试应变能力，还是提升其综合素养都具有重要意义.

参考文献：

［1］章建跃. 高三复习备考如何回归教材（之一）［J］. 中小学数学（高中版），2023（12）：65.

［2］盛骤，谢式千，潘承毅. 概率论与数理统计：第五版［M］. 北京：高等教育出版社，2019.

［3］李贤平. 基础概率论：第三版［M］. 北京：高等教育出版社，2010.

［4］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.