基于知识关系建构有意义学习

摘" 要：以“探索黄金分割比”为例，从学习机制、学习过程、学习目标三个方面探索如何在具体课程中加强知识关系建构教学.

关键词：知识关系；黄金分割；关联；学习

中图分类号：G633.6" " "文献标识码：A" " "文章编号：1673-8284（2024）04-0036-06

引用格式：叶春泉，祝敏芝. 基于知识关系建构有意义学习：以“探索黄金分割比”为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（4）：36-40，51.

知识关系建构一直是有意义学习、建构主义等众多学习理论和教育心理学关注的关键问题. 奥苏贝尔认为，在有意义学习过程中，学习材料本身应具有逻辑意义，学习者的已有认知结构应该存在可用以同化新知识的适当概念、命题或符号，学习者应该具有联系新知识和旧知识的主动心向. 因此，通过探究并掌握数学知识、问题、方法和思想间的关系结构，可以增强学生发现问题、提出问题和解决问题的能力. 本文以“探索黄金分割比”为例，从沉浸式学习机制、理解性学习过程、层进式学习目标等三个方面，探索如何在具体课程中加强知识关系建构教学.

一、以数学文化背景引发沉浸式学习机制

课前准备：关于斐波那契数列，我知道些什么？我如何定义？有哪些疑问？学习这节内容后，会有什么不同？我能改变什么？通过思考这些问题，学生从出处、相关现象和关联知识等方面自行探索、整理斐波那契数列的相关资料.

出处：1202年，意大利数学家斐波那契所著的《算盘书》中有一个有趣的兔子繁殖问题. 如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（假设也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生殖一对小兔子. 假定这些兔子都没有死亡现象，那么第一个月到第十二个月兔子的对数分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…. 后人为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波那契，将这个数列称为斐波那契数列. 第0项为0，第1项为1，数列从第2项开始每个数字都是前两项之和.

相关现象：在自然界中，似乎完全没有秩序的植物彼此相隔的距离或叶子的生长，都被斐波那契数列支持着. 例如，一株树在第一年长出一条新枝，新枝成长一年后变为老枝，老枝每年都长出一条新枝，每条树枝都按照这个规律成长，则每年的树枝总数正好构成斐波那契数列. 又如，一朵花的花瓣数量通常也是斐波那契数.

关联知识：随着数列数值的增加，前一项与后一项之比越来越接近黄金分割的数值0.618…. 因此，斐波那契数列也被称为黄金分割数列.

沉浸式学习机制包括两个方面：一是通过渗透数学文化知识激发富有情感意蕴的学习兴趣；二是深化数学学习意义认知，将目标定位在最能体现人类力量的思想与精神层面.

二、以知识关系建构理解性学习过程

1. 概念辨析

现行初中数学九年级教科书中，人教版、北师大版、华师大版、浙教版、苏教版等都是通过比例中项来定义黄金分割数的. 其中，北师大版教科书从五角星中的线段比例出发定义线段的黄金分割与黄金分割点，并说明黄金比例在艺术、建筑和自然界中无处不在；人教版、北师大版教科书都指出华罗庚倡导的 0.618优选法与黄金分割数紧密相关.

2. 知识的纵横联系

（1）五角星形与黄金分割比.

五角星是一种充满和谐之感的图形，这种和谐美的核心在于其五条边相互分割成黄金比例.

问题1：通过观察如图1所示的五角星的构成，你能画出五角星吗？（引导学生认识五角星中含36°角的等腰三角形.）

问题2：根据图1，能否求[FJAF， AJAB]的值？

解析：如图2，容易证明[△DJF∽△AJD].

由[AF=FD=DJ]，得[FJAF=AFAJ=k].

从而[k2+k-1=0]. 解得[k=5-12 kgt;0].

按照这样的思路，也可以求[AJAB]的值.

此外，要想求出[AJAB]的值，还可以通过[AJAB=][AF+FJAF+FJ+BJ=1+5-122+5-12=5+13+5=5-12]来实现.

发现：图3是一个含有36°角的等腰三角形，它的底与腰之比（或腰与底之比）为[5-12]，把这样的等腰三角形称为黄金三角形.

（2）黄金分割比的作法.

问题3：如何作出黄金分割比？有哪些方法？

① 利用含有36°角的等腰三角形构造黄金分割比.（实质上是因为[sin18°=5-14].）

如图4，在等腰三角形[ABC]中，[∠A=36°]，点[D，E]分别是线段[AC，AB]的黄金分割点. 如图5，在等腰三角形[ABC]中，[∠B=∠C=36°]，点[D]是线段[BC]的黄金分割点.

② 利用勾股定理，通过代数计算作出[5-12].

如图6，作[Rt△ABD]，使[∠B=90°]，[BD=12AB]. 由勾股定理，得[AD=52AB]. 截取[DE=DB]，计算得[AE=5-12AB]. 截取[AC=AE]，则[AC=5-12AB]，即[ACAB=5-12]. 所以点[C]是线段[AB]的黄金分割点.

如图7，点[E]是正方形[ABCD]的边[AD]的中点. 由勾股定理，得[EB=52AB]. 在[DA]的延长线上截取[EF=EB]，计算得[AF=5-12AB]. 以[AF]为边作正方形[AFGH]，可知[AH=5-12AB]，即[AHAB=5-12]. 所以点[H]是线段[AB]的黄金分割点.

（3）黄金角.

问题4：将线段类比到圆周，圆周有黄金分割和黄金分割点吗？你认为应该如何定义？

黄金角的构造如下：把长度为[c]的圆周分为两部分，各部分的长度分别为[a]和[b]，也就是说[c=a+b]，而它们的比例符合[ca=ab]，也就是将圆周长按黄金比例分割成两段，小弧长所对应的圆心角约为137.51°，称为黄金角.

3. 形成结构性理解

（1）自然现象与黄金分割紧密关联的数学内核.

植物的生长模式中隐藏着斐波那契数列. 例如，观察向日葵花冠的螺旋线（图8），由内向外看，逆时针方向的螺旋线有13条，顺时针方向的螺旋线有21条，恰为裴波那契数列的相邻两项. 又如，菠萝和松球的鳞片的排列也呈现出类似的规律.

问题1：植物生长规律与黄金分割有怎样的关联？

植物在上述旋转生长中体现出一些共性：每个花蕾都从一个中心点开始生长，新长的种子会从相对有空隙的地方钻出，而将原先的种子由内向外推挤. 法国晶体学家奥古斯特和勃拉维测量出每个新种子和前一个种子之间的角度为137.51°，这个角度约为黄金角.

我们用计算机模拟了种子的生长过程，让每个新种子与前一个种子之间的角度在[38×2π]至[513×2π]（其中，3，5，8为斐波那契数）之间变化.

下面的图9是角度为[135°]的情况，图10是角度为[135.5°]的情况，图11是角度为[137.5°]的情况，图12是角度为[138.5°]的情况.

因为[135°360°=38]，所以角度为[135°]时种子的位置每次转过[38]个周角，循环出现在以中心为端点的8条射线上. 角度为135.5°时，135.5°比135°增加0.5°，因偏移产生螺旋，呈现有间隙螺旋. 角度为137.5°时，大致呈现均匀螺旋，因为137.5°约等于黄金角，而黄金分割比是很难用固定的分数来近似的无理数，所以种子不会在同一个方向循环出现，从而呈现均匀分布. 因为[138.5°360°≈513]，所以角度为138.5°时，种子的位置每次大约转过[513]个周角，近似循环出现在以中心为端点的13条射线上.

如果植物花蕾按照黄金角模式排列，那么所有种子都被压缩得非常紧密，每个部分都有相同的结构，可以使种子得到最佳的堆集效果，彼此的生长空间相似，可以充分利用阳光和空气，有利于生长.

问题2：植物生长规律与斐波那契数列有怎样的关联？

莫纳什大学的Burkard Polster教授指出，仔细观察会看到顺时针螺旋线与逆时针螺旋线形成菱形的网格，第三种螺旋线穿过菱形网格的对角线，其条数恰为顺时针螺旋线和逆时针螺旋线条数的和.

我们用计算机模拟了图8的向日葵螺旋线，内层有13条逆时针螺旋线，21条顺时针螺旋线. 沿着顺时针螺旋线与逆时针螺旋线的交点作一个闭环，分别用实圆点与实三角形表示逆时针螺旋线与顺时针螺旋线，如图13所示.

闭环中，在同一条逆时针螺旋线上的每个实三角形表示一条顺时针螺旋线，在同一条顺时针螺旋线上的每个实圆点表示一条逆时针螺旋线，所以实圆点和实三角形的个数正好与逆时针螺旋线和顺时针螺旋线的条数一样多. 同时，一个闭环上的总点数恰好是对角线螺旋线总数，所以穿过顺时针螺旋线与逆时针螺旋线形成的菱形网格的对角线的条数正好是13与21的和34. 对角线螺旋线会成为外层的逆时针螺旋线，再到外层，21条顺时针螺旋线与34条逆时针螺旋线又会形成55条菱形网格对角线. 因此，植物生长的方式和斐波那契数列吻合.

大自然以其原始而朴素的表现形式完美地诠释了黄金分割与斐波那契数列之间的联系.

（2）黄金分割与斐波那契数列的内在逻辑关联.

斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…的后一项与前一项的比逐渐趋向于黄金分割比[5-12]. 用弧度表示黄金角137.51°的精确值为[2πα2]，这里[α=5+12]. 斐波那契数列的通项公式[Fn=151+52n-1-52n].

（3）感知黄金分割比的实践应用.

我国著名数学家华罗庚倡导0.618优选法，在生产企业中推广应用，取得了成效. 华罗庚在其著作《优选法平台及其补充》的第一章中详细介绍了用黄金比例分割取值区间来选择数据点的方法找单峰函数的极值，如图14所示.

对于相对平滑的单峰函数[f]，设[x1]和[x2]对应的函数值分别为[f1]和[f2]. 取中间两个点[x3，x4 x3lt;x4]，算出[f3，f4]. 对于单峰函数[f]，若[f4gt;f3]，则极小值点在区间[x1，x4]上；若[f4lt;f3]，则极小值点[x3，x2]上.

一般地，通过递缩区间找极值点通常遵循以下规则：无论上一步的结果如何，下一步要测试的取值区间长度都应该相等；每一步两次取值区间的长度比例应该相等. 据此可以得到[x4-x1=a+c=b=x2-x3]，且有[x2-x3x2-x1=ba+b=b-cb=x2-x4x2-x3]，所以[ba+b=ab]. 而[ab]正是黄金比，约等于0.618.

辨析1：三等分法与优选法哪个更优？

三等分法每次都需要新取两个点. 使用黄金分割法的时候，[x4]恰是区间[x3，x2]的黄金分割点，[x3]恰是区间[x1，x4]的黄金分割点，那么在区间[x1，x4]或[x3，x2]上再取两个点，原先的[x3]或[x4]在下一次实验中可以重复使用，如图15所示. 所以三等分法比黄金分割法的实验次数多1倍.

辨析2：能否用二分法？

对于单峰函数，无论二分点的取值如何，都无法确定极值点在左侧还是右侧，必须在中间取两个点才能确定极值点所在的区间. 二分法适用于单调函数找零点，其收敛速度每次缩小0.5倍.

当然，在现实中，大部分函数都不会只有一个极值，而且也不会像我们这里假设的函数那样平滑. 要想在这些复杂的情况中找到最优解的近似值，需要更复杂的计算和更多的步骤，但优选法的思路还是不变的：通过在现有区间中找数据点来不断缩小可能的取值区间，一直到足够精确（看不出上次和本次区别）或者次数已满，这时采集的所有数据点中的最小值就是我们近似求出的最优解.

三、以学科素养形成落实层进式学习目标

学习目标旨向是指学习的方向和意义，也是学习的评价和反思. 通过学习能够让学生掌握数学的核心内容，发展数学的关键能力，培养数学的积极情感. 以黄金分割比的学习为例，为了促进学生数学核心素养的形成，通过知识关系建构，要让学生学习和掌握黄金分割比的知识，体会和感受黄金分割比的美，发现和创造黄金分割比的应用，提高数学素养和创新能力. 同时，要让学生建立并加强黄金分割比与其他数学知识及跨学科知识之间的联系，拓宽学生的知识视野和学习兴趣.

1. 重视数学的核心概念和方法

通过学习黄金分割比的知识，让学生掌握数学的核心概念（如无理数、比例、分数、根号、数列、极限等），发展数学的关键能力（如观察、分析、归纳、推理、计算、作图等），提高数学的基本素养（如准确、规范、逻辑、严谨等）.

例如，学习黄金分割比[5-12=0.618 033 988 74…，]

既要关注它的由来，还要尝试求解，推导运算，感受它的独特.

设[φ=5-12]，可以得到[φ2+φ-1=0]，进一步推导，还可以得到如下结论.

① 因为[φ2+φ-1=0]，所以[1φ=φ+1]，即黄金分割比[5-12]的倒数等于它与1的和.

② 因为[φ2+φ-1=0]，所以[φ=1-φ]. 由此可得[φ=1-1-1-1-…].

③ 因为[φ2+φ-1=0]，所以[φ=11+φ]. 由此可得[φ=11+11+11+11+…].

2. 理解数学的核心价值和意义

黄金分割比在艺术、建筑、自然等领域有着广泛的应用和美学价值. 通过学习黄金分割比的应用，让学生理解数学的核心价值和意义（如美、和谐、秩序、规律等），培养数学的积极情感（如兴趣、好奇、欣赏、创造等），提高数学的高级素养（如跨学科、跨文化、跨时代等）. 例如，达·芬奇的作品《蒙娜丽莎》《最后的晚餐》中都集黄金分割、透视于一身；莫扎特的《D大调奏鸣曲》有意识地运用了黄金分割，数学上的比例之美通过乐声得到了传达；等等.

3. 建立与其他数学知识的联系

通过学习黄金分割比，让学生建立和加强黄金分割比与其他数学知识的联系（如比例、分数、根号、数列、极限等），建立和加强黄金分割比与跨学科知识的联系（如美学、生物学、物理学等），建立和加强黄金分割比与教师、同伴、社会等主体的联系，形成一个多元、跨界、互动的知识关系网络，促进知识的社会化和个性化.

例如，从斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即F1 = 1，F2 = 1，Fk + 1 = Fk + Fk - 1（k = 2，3，4，…）到与黄金分割比的关系[limk→∞FkFk+1=φ]，再到黄金分割比的自相似性与黄金矩形（图16）及黄金螺线（图17）.

知识的传递不再是教育的唯一目的. 通过深入研究知识间的关系，并以此为桥梁建构知识网络，能使学生更好地理解知识背后的逻辑，从而达到灵活应用知识的能力. 这一过程不仅注重知识的累积，更注重学生学习能力的培养和综合素质的提升，使学生在主动探索和问题解决的过程中构建知识体系，实现真正意义上的有意义学习.

参考文献：

［1］奥苏贝尔. 意义学习新论：获得与保持知识的认知观［M］. 毛伟，译. 杭州：浙江教育出版社，2018.

［2］袁亚湘. 黄金分割浅谈［R］. 北京：中国科学院高能物理研究所，2023.

［3］王钦敏，余明芳. 数学深度学习中的知识关系建构问题论析［J］. 课程·教材·教法，2022，42（7）：118-124.

［4］曹建军. 根据新旧知识关系选择概念学习类型：基于有意义学习理论的概念教学［J］. 中学数学教学参考（中旬），2022（5）：5-8.