结构化视角下解析几何的教学方法建议

摘" 要：结构化视角下解析几何的教学方法要注重教学目标的明确性；以核心问题展开内容教学；注意体现从简单到复杂、从单一到综合的教学逻辑；对每类圆锥曲线的研究要形成研究路径的一致性；对曲线方程的核心概念要给予学生足够多的递进式学习机会，遵循螺旋上升的原则；开展综合性、复杂性、现实性的教学活动，进一步深化理解解析几何的思想方法，提高学生的数学核心素养.

关键词：结构化；解析几何；教学建议

中图分类号：G633.6" " "文献标识码：A" " "文章编号：1673-8284（2024）04-0026-05

引用格式：虞涛，时杰. 结构化视角下解析几何的教学方法建议［J］. 中国数学教育（高中版），2024（4）：26-30.

结构化视角下的教学应遵循联系入手、整体思考和发展演绎三个基本阶段. 基于这三个阶段，笔者曾系统分析了结构化视角下解析几何的教学内容. 解析几何的创立源于笛卡儿希望把“数”与“形”结合的设想，为此引入坐标系，构建了点与有序数对之间的对应关系，由此奠定了解析几何产生与发展的基础. 解析几何的方法精髓是数形结合，解析几何的教学内容具有丰富的教育价值，对促进学生数学思维和数学核心素养的发展具有重要作用. 具体来说，解析几何的研究重点包含坐标法和代数法等核心思想方法，梳理解析几何的知识体系和知识脉络，螺旋式引导学生认识曲线方程的概念，等等. 在分析沪教版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册（以下统称“新教材”）中的解析几何教学内容的基础上，本文进一步探究解析几何的教学方法，以便更好地促进解析几何教学内容和教育价值的落实.

一、教学目标的明确性

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）指出，关于解析几何的知识内容包括直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程，主张在知识构建的过程中领会解析几何的思想方法，掌握用平面解析几何知识解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；对代数结论给出合理的几何解释，解决几何问题. 从现实世界到数学世界切换，能够根据不同的情境，建立平面直线和圆的方程，建立椭圆、抛物线和双曲线的标准方程；在数学世界中，能够运用代数方法研究上述曲线之间的基本关系；从数学世界到现实世界切换，能够运用平面解析几何思想解决一些简单的实际问题. 重点提升数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模和逻辑推理素养，通过对轨迹问题的探究体会坐标法的应用及其创新价值，通过了解解析几何的发展简史感受数学背后的人文精神.

解析几何的教学应该以数形结合为主要思想方法，即以坐标法为主导观念，以用代数方法解决几何问题为行动目标，围绕“曲线方程”这一主题，以直线为起点、圆为基础、椭圆为重点，类比研究双曲线、抛物线，以及它们之间的位置关系，在教学过程中逐步发展数学核心素养. 教学重点是解析几何的思想方法，即用代数方法研究几何问题. 教学难点是几何推理和代数运算的灵活转换.

二、教学问题的核心性

教学过程的推进，应该以问题为引导，促进学生展开数学思考，围绕核心概念和核心思想方法梳理知识内容，建立“大单元核心问题—小单元中心问题—章节问题—课时教学内容”的问题串教学路径，形成提问的宏观逻辑. 对解析几何教学内容中的教学问题设计如下.

以“如何用坐标法研究直线？”为核心问题开启“平面直角坐标系中的直线”一章的教学. 以三个子问题引领三个方面的思考：如何用代数方法描述平面直角坐标系中的直线？如何用直线的方程研究两条直线的位置关系？如何应用坐标法研究与距离有关的问题？再分解章节问题：如何对确定直线的几何要素进行代数表述？如何根据已知直线的几何特征用代数方法表示直线？如何从代数视角将直线的各种方程一般化？如何利用二元一次方程组研究两条直线的位置关系？如何运用直线的斜率研究两条直线的位置关系？如何求点到直线的距离？如何求两条平行直线间的距离？

以“如何用代数方法认识、理解和研究圆锥曲线？”为核心问题开启“圆锥曲线”一章的教学. 以三个子问题引领三个方面的思考：如何理解各类圆锥曲线（包含椭圆、双曲线和抛物线的几何定义，如何建立适当的平面直角坐标系推导各类圆锥曲线的标准方程）？如何通过方程研究各类圆锥曲线的性质？如何运用圆锥曲线的方程和性质解决一些简单的数学问题和实际问题，从而进一步理解用代数方法研究几何问题的思想？再分解章节问题：如何从具体情境和数学实验中抽象出各类圆锥曲线的定义？如何建立适当的平面直角坐标系推导各类圆锥曲线的标准方程？如何通过方程研究各类圆锥曲线的性质？如何运用各类圆锥曲线的方程和性质解决一些简单的数学问题和实际问题？

三、教学思路的逻辑性

在解析几何思想的引导下，我们可以更好地认识将几何问题代数化和用代数运算解决几何问题的过程，在经历核心概念、重要概念、基本概念和数学事实等知识产生和发展的同时，不断感悟数形结合思想在解析几何中的应用思路：用代数语言描述几何要素及其关系—将几何问题转化为代数问题—处理代数问题—分析代数运算结果的几何意义—解决几何问题.

考虑到学生的认知心理，对坐标法、数形结合思想、运动变化思想等默会知识的理解和吸收需要逐步由感悟到提升，对此可以采取渗透、明确和应用的教学过程. 核心概念和重要概念尽量运用归纳推理的方式进行推演. 注意从简单到复杂、从单一到综合地组织内容，按照从具体到抽象、从特殊到一般的方式形成概念. 强调先行组织者的使用，先把握对象的基本几何特征、明确面临的几何问题，然后才是用代数方法研究. 不要忽视对几何要素的分析过程，要适当进行代数关系的几何意义训练，处理好代数求解与几何直观之间的关系. 解较复杂的解析几何问题时要掌握“先几何观察，再利用坐标进行推理论证与求解”的基本思路，掌握用坐标法研究几何问题的基本方法.

四、教学环节的一致性

在解析几何中，从直线、圆、椭圆、双曲线到抛物线，每一种曲线的研究过程都遵循“从几何直观（曲线的几何定义）到代数表示（建立曲线的方程）再到几何直观（通过方程研究曲线的几何性质、位置关系、距离度量等问题）”的过程，有利于形成系统的研究几何对象的可靠经验.

由曲线和方程的关系的整体性考察知识内容，并关注知识内容之间有意义的联结，同时关注单元之间互相协调配合，可以梳理出解析几何“曲线—方程—性质”学习的知识内容，如图1所示.

五、核心概念的反复性

《标准》在“教材编写建议”部分指出，数学内容的展开应循序渐进，螺旋上升，使教材成为一个有机的整体. 可见，“螺旋上升”是教材编写的重要原则. 要落实“螺旋上升”的原则，关键在于要处理好教学内容中那些核心概念的重现问题，要确保学生有足够多的递进式学习机会.

如前所述，解析几何的核心概念是“曲线方程”，新教材在“直线的点斜式方程”“圆的标准方程”“椭圆的标准方程”“双曲线的标准方程”“抛物线的标准方程”“求轨迹的方程”“简单的参数方程”“极坐标系与极坐标方程”及章复习题等内容多次重现曲线方程的概念. 但是对核心概念的重现不能是单一再现和简单重复，而应该从简单到复杂，由具体到抽象，使后面的内容作为前面内容的扩展和深化，交叉递进地重现核心概念，同时应该兼顾学生的认知水平. 新教材中“曲线方程”概念的建立经历了“具体直线方程—各类直线方程—直线方程的一般式—直线方程的概念—曲线方程的概念—参数方程—极坐标方程”等阶段，循环往复，层层递进. 具体来说，新教材最初从特殊的方程引入直线方程的概念，是在学生初中学习过的一次函数及知道一次函数的图象是直线的认知基础上，初步建立“数”与“形”的联系，而后将确定直线位置的几何要素放入直角坐标系，从而引入包括直线的点斜式方程在内的各种直线方程，在此基础上去除直线的几何要素特征，建立一般直线方程的概念，并顺势准确阐述直线和二元一次方程的联系，总结直线方程的严格定义. 至此，从二元一次方程的角度认识了直线这一几何图形. 为了考虑更一般的平面曲线，推而广之定义了曲线方程的一般概念，主要目的是为后续二元二次方程的学习建立起严格的理论基础，这加深了“曲线方程”概念的思维深度. 随后，新教材改变“曲线方程”学习素材的载体，以圆、椭圆、双曲线、抛物线等二元二次方程为研究对象，进一步深化对“曲线方程”概念的理解. 最后，再次给出“曲线方程”的概念，并将普通直角坐标方程拓展到参数方程，将平面直角坐标系拓展到极坐标系，这增加了坐标法和曲线方程学习内容的广度，实现了“数”与“形”的最终统一. 此外，从解析几何内容的编排顺序来看，新教材十分注重“从特殊到一般，再用一般指导特殊”的认识规律，与学生的认知水平更加适应，从而能让学生经历较长的认识“曲线方程”概念的过程，逐步理解和掌握解析几何的重要思想方法.

六、教学路径的循环性

《标准》指出，在解析几何的教学中，应引导学生经历完整的解析几何思想指引下的问题解决过程. 首先，通过具体实例了解几何图形的背景，知道圆锥曲线的背景与应用价值；其次，在情境中清晰地描述图形的几何特征，提出需要研究的几何问题；再次，结合具体问题建立恰当的坐标系，用坐标语言描述这些几何特征并研究问题；最后，借助图形的几何特征，形成问题解决的思路，通过直观想象、数学推理和数学运算得到代数结果，并从几何角度予以解释，最终解决问题. 解析几何教学从直线、圆、椭圆、双曲线一直到抛物线，针对每个数学对象，都可以按照“背景引入—几何定义—几何要素—曲线方程—曲线性质—位置关系—实践应用”的方式展开教学，具体如表1所示. 不同曲线的研究遵循着同样的研究规律，有利于构建知识网络、深化理解知识和灵活迁移知识. 同时，积累解析几何的学习经验，掌握研究数学对象的一种通用路径.

七、教学内容的统一性

追求知识的统一性有利于在更高层面认识知识. 我们分别在椭圆、双曲线、抛物线这三节内容的学习中得知它们都是具有某种到定点和定直线距离和或差的特征的动点的轨迹，这是从运动变化的观念认识曲线. 在研究椭圆时，还特别指出当椭圆的两个焦点重合于椭圆的中心，椭圆就变成圆. 这四种曲线还可以在圆锥曲线的定义中统一认识，即可以看作由不同的平面截同一个圆锥得到，这就是新教材章名“圆锥曲线”的由来. 椭圆、双曲线和抛物线还可以统一为到定点和定直线距离之比为常数的点的轨迹. 在极坐标系中，可以给出简洁、统一的极坐标方程. 事实上，从高等数学层面来看，圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为二次曲线，它们的方程都是二元二次方程. 在教学中，通过具体例子来沟通它们之间的联系，通过研究曲线[y=1x]的焦点和准线方程来说明反比例函数与双曲线之间的关系，研究二次函数[y=x2-2x+1]的焦点和准线方程来说明二次函数图象与抛物线之间的关系，研究函数[y=x+1x]的焦点和准线方程来说明其图象与双曲线之间的关系；还可以通过探究与两给定圆均相切的圆的圆心轨迹，认识圆、椭圆、双曲线、相交直线之间的关系，圆锥曲线被统一到具有某种规则的动点的轨迹中.

八、教学活动的丰富性

1. 数学阅读活动

《标准》建议将平面解析几何的形成与发展作为数学学习内容之一. 组织学生开展检索、阅读和整理平面解析几何的形成与发展的历史文献，撰写研究性报告，论述平面解析几何的发展历程、重要成果、突出人物和关键事件. 数学简史阅读能拓宽知识视野和统领知识体系，阅读、写作和论述都是锻炼学生表达能力的良好机会. 另外，离心率也是一个很好的研究课题. 可以了解恒星的运转：如何由运转速度的不同产生扁平程度不一的椭圆？能用适当的量刻画椭圆的扁平程度吗？怎样从定义偏心率到定义离心率？椭圆的离心率的定义的合理性、科学性体现在哪里？

2. 数学探究活动

抛物线的焦点弦具有丰富的、重要的性质和几何意义，它们是构建较复杂解析几何问题的知识基础. 可以开展收集、整理这些重要性质和几何意义的活动，熟悉性质的运算思路，理解知识的结构性，运用知识的逻辑性，将对探寻思路和优化算法具有积极作用. 卡西尼曲线，即到两定点距离之积为定值的动点轨迹，也是一个锻炼用代数方法探究曲线的几何特征的素材. 从曲线的范围、对称性、封闭性和极点，以及随着参数的变化如何形成双纽线或卵形线等多个角度探究曲线的性质.

3. 数学实验活动

在生活中学数学和用数学：用一张纸能折出椭圆吗？可以开展用折纸法画椭圆或抛物线的数学实验活动，理解和运用圆锥曲线的知识核心. 夜晚，用手电筒在墙面上打出一束光，该光束在墙面上的投影就是圆锥曲线. 理解圆锥曲线的统一知识体系，了解射影几何学的学习意义. 还可以利用数学软件或图形计算器进行数学实验. 探究一条线段的两个端点分别在x轴和y轴的正半轴上运动时，原点在线段上的射影的轨迹及其方程. 这种曲线（玫瑰曲线）有什么特征？如何形成更美丽的多叶玫瑰曲线？还可以让学生了解笛卡儿研究心形曲线的一段浪漫故事，并借助数学软件自主创造和验证，探寻最浪漫的心形曲线，与笛卡儿的成果媲美. 将信息技术与解析几何学习充分融合，让学生真实感受解析几何的魅力.

参考文献：

［1］虞涛，时杰. 结构化视角下解析几何的教学内容分析［J］. 中国数学教育（高中版）：2024（3）：14-18.

［2］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020．

［3］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［4］章建跃. 章建跃数学教育随想录［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［5］章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］. 上海：华东师范大学出版社，2021.

［6］李刚，吕立杰. 大概念课程设计：指向学科核心素养落实的课程架构［J］. 教育发展研究，2018，38（15 / 16）：35-42.

［7］张丹，于国文. 大观念的研究评介——以数学学科为例［J］. 比较教育学报，2020（2）：137-149.

［8］张丹，于国文.“观念统领”的单元教学：促进学生的理解与迁移［J］. 课程·教材·教法，2020，40（5）：112-118.