善用数形结合 提升思维品质

摘" 要：数形结合思想包含以形助数和以数辅形两个方面：将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义；将形的问题借助数来思考，分析其代数含义. 将数量关系和空间形式相结合，通过形的直观性和数的精确性寻找解题思路. 在高中数学学习中，数形结合的策略被广泛采用，其核心在于精确构建图形、辨识数量关系，以及运用恰当的逻辑推理方法. 这种策略能够拓展数学思维的深度与广度，是数学学习中不可或缺的思维方式.

关键词：数形结合；直观理解；逻辑推理

中图分类号：G633.6" " "文献标识码：A" " "文章编号：1673-8284（2024）04-0059-06

引用格式：柏任俊，李铮铮，贾春花. 善用数形结合" 提升思维品质［J］. 中国数学教育（高中版），2024（4）：59-64.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：“通过高中数学课程的学习，学生能够提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力.” 鉴于数学学科固有的抽象本质，数形结合思想在数学教学中显得举足轻重——它如同一座桥梁，将那些看似遥远与复杂的数学问题巧妙地转化为直观明了、富有生气的画面，不仅照亮了理解的路径，也激发了学生对数学之美的感知与追求. 通过数形结合思想的引领，我们能够更加全面、深入地理解数学的本质，从而更好地应用数学知识解决实际问题. 本文主要从“形”的多姿、“形”的直观、“形”的深化、“数”的表征这四个方面阐述数形结合思想在高中数学教学中的应用.

一、“形”的多姿

数形结合的根基在于精确作图，而非随意勾画. 随意作图可能导致错误的判断. 因此，准确作图是进行逻辑推理的关键. 在数形结合的过程中，重要的是深入挖掘图形的几何特征，观察图形的变化趋势和增长速度. 同时，要平衡对数量关系和位置关系的关注，确保从数到形和从形到数的双向思考，避免因图形不准确而导致解题错误.

例1" 方程[2x=x2]的解的个数是（" " ）.

（A）[0]" " " " " （B）[1]

（C）[2] " " " （D）[3]

解析：此题所给方程是超越方程，只需要判断解的个数而不需要求出具体的根，故而画出函数[y=x2]和[y=2x]的图象，确定两个函数图象交点的个数即可. 关键在于两个图象间的关系要准确地体现出指数函数几何增长的特点. 在同一坐标系下，画出函数[y=x2]和[y=2x]的图象，如图1所示，可以确定答案选D.

此题的易错点在于学生只看到当[x=2]时，指数函数[y=2x]的图象与二次函数[y=x2]的图象的第二次相遇，没有注意到当[x=4]时，指数函数[y=2x]的图象与二次函数[y=x2]的图象的第三次相遇，画图如图2所示，最终错选选项C.

变式：方程[ex=x2]的解的个数是（" " ）.

（A）0 （B）1

（C）2 （D）3

解析：此题与例1类似，只是想说明量变引起质变. 学生求解的难点在于不易判断两个函数的图象在第一象限内是否有交点. 数形结合思想体现在当形不易判断时，便需要借助数的逻辑力量. 我们可以从平均变化率的角度分析：在区间[0，1]上，[y=ex]的平均变化率为[e1-e01-0=e-1]，[y=x2]的平均变化率为[12-01-0=1]，故[y=ex]的增长速度比[y=x2]的增长速度快；在区间[1，2]上，[y=ex]的平均变化率为[e2-e12-1=e2-e]，[y=x2]的平均变化率为[22-122-1=3]，故[y=ex]的增长速度比[y=x2]的增长速度快；在区间[2，3]上，[y=ex]的平均变化率为[e3-e23-2=e3-e2]，[y=x2]的平均变化率为[32-223-2=5]，故[y=ex]的增长速度比[y=x2]的增长速度快，并且[y=ex]的增幅越来越大. 由于指数函数[y=ex]最后呈爆炸式增长，故我们可以判断指数函数[y=ex]在第一象限内的增长速度一直比[y=x2]的增长速度快，由此可以判断函数[y=ex]和[y=x2]在第一象限内没有交点，结合图3，可以判断方程[ex=x2]的解的个数是[1]. 故答案选B.

例2" 方程[lgx+4=10x]的根的情况是（" " ）.

（A）仅有一个根

（B）有一个正根和一个负根

（C）有两个负根

（D）没有实数根

解析：此题仍然需要将问题转化为两个函数图象的交点问题求解，关键在于对交点位置的判断，判断的依据是对相关数值大小的比较. 如图4，在同一坐标系下，画出函数[y=lgx+4]和[y=10x]的图象，可以确定答案选C.

此题的易错点之一是作图不准确. 如图5，在图象与[y]轴交点的作图处出现错误，错选选项B. 正确的思路是要考虑当[x=0]时两个函数值的大小，得到一个是[y=lg4]，另一个是[y=100=1]，且容易判断出[lg4lt;1]，从而确定函数[y=10x]的图象与[y]轴的交点在函数[y=lgx+4]的图象与y轴的交点的上方.

此题的易错点之二是认为函数[y=lgx+4]的图象完全在指数函数[y=10x]的下方，错误作图如图6所示，进而错选选项D. 学生要体会到“指数函数不仅增得快，降得也快”. 当[x=-1]时，两个函数值一个是[y=lg3]，另一个是[y=10-1=0.1]，且能够通过指数、对数的运算，确定这两个数的大小关系，将[0.1]写成同底的对数，[110=lg10110]，易判断[10110lt;3]，通过比较真数的大小，判断出两个函数在区间[-1，0]内必存在一个交点.

此类问题的本质在于考查函数的图象和性质，求解过程中要关注函数值的变化幅度，判断函数图象的位置关系，通过数的运算、不等关系的确定，比较一些数值的大小，判断出交点存在的区间，本质是变化率和数的级别问题.

二、“形”的直观

在数学学习中，有许多看似普通的题目，但实际上却是我们熟悉的图形的代数表达. 挖掘并识别这些图形的几何特征，对于解决问题、适应问题的变化，以及深入理解数学的本质，都具有极大的促进作用，我们先看下面两道例题.

例3" 证明：[lnx≤x-1].

证明：设[hx=lnx-x+1][xgt;0]，

则[hx=1x-1].

令[hx=0]，得[x=1].

当0 lt; x lt; 1时，[hx]gt; 0；当x gt; 1时，[hx]lt; 0，

所以函数[hx]在区间[0，1]单调递增，在区间[1，+∞]单调递减.

所以当x = 1时，[hx]取得最大值[h1=0].

所以[hx≤0]，

即[lnx≤x-1].

例4" 设函数[fx=ex-lnx+2]，证明：[fxgt;0].

证明：由题意，得[fx=ex-1x+2].

显然[fx=ex-1x+2]在区间[-2，+∞]上单调递增.

因为[f-1=e-1-1lt;0]，[f0=12gt;0]，

所以[fx]在[-2，+∞]上有唯一零点[x0]，[x0∈][-1，0]，即[fx0=0].

当[-2lt;xlt;x0]时，[fxlt;0]，

所以[fx]在区间[-2，x0]上单调递减.

当[xgt;x0]时，[fxgt;0]，

所以[fx]在区间[x0，+∞]上单调递增.

故[fxmin=fx0=ex0-lnx0+2].

因为[fx0=ex0-1x0+2=0]，

所以[ex0=1x0+2].

两边取以[e]为底的对数化简，得[x0=-lnx0+2].

所以[fx0=ex0-lnx0+2=1x0+2+x0=x0+12x0+2gt;0]，

即[fxmingt;0].

所以[fxgt;0].

显然，这种证法对学生逻辑推理和运算能力的要求比较高. 那么，有没有更简单的方法呢？例3和例4之间有没有关联呢？例3的结论对解决例4有何启示呢？下面我们对例3进行深入分析，充分挖掘其代数结论背后的几何背景，以此展现数形结合思想中蕴含的丰富价值和深刻内涵. 这样的探索不仅能提升解题能力，还能深化对数学概念的理解和应用.

拓展1：曲线间的位置关系.

[lnx≤x-1]表示的图象的含义是：除点[1，0]外，函数[y=lnx]图象上的点都在点[1，0]处的切线[y=x-1]的下方，如图7所示. 此外，还能得到如下一些相关不等式的结论.

结论1：[ex≥x+1].

推导过程：用[x+1]代替[lnx≤x-1]中的[x]，整理后得到[lnx+1≤x]，化为指数式后得到：[ex≥x+1]. 它表示的图象含义是：除点[0，1]外，函数[y=ex]图象上的点都在点[0，1]处的切线[y=x+1]的上方，如图8所示.

结论2：[lnx≥1-1x].

推导过程：用[1x]代替[lnx≤x-1]中的[x]，整理后得到[lnx≥1-1x]. 它表示的图象含义是：当[xgt;0]时，除点[1，0]外，函数[y=lnx]图象上的点都在曲线[y=1-1x]的上方，如图9所示.

拓展2：借助拓展1的结论，可以跨越指数函数与切线、对数函数与切线直接构成指数函数和对数函数之间的多个结论.

结论3：[exgt;lnx+2].

推导过程：用[x+2]代替[lnx≤x-1]中的[x]，整理后得到[lnx+2≤x+1]，由结论1可知[ex≥x+1]，故[ex≥x+1≥lnx+2]. 因为等号取得条件不一致，所以当[xgt;-2]时，[exgt;lnx+2]成立，对应图象如图10所示. 这正好就是例4要解决的问题.

类似地，我们还可以得到以下几个结论.

结论4：当[xgt;0]时，[ex-1gt;lnx+1]. 对应图象如图11所示.

结论5：当[xgt;0]时，[ex≥ex≥elnx+1]. 对应图象如图12所示.

综上所述，从例3这个简单的导数问题出发，通过拓展1，我们发现了一系列熟悉的函数图象关系，由拓展2，我们发现了例4实际上就是例3的变形. 借助这种思路，我们还可以开拓更加丰富的图形和代数命题. 这种探究方式，是数学发现的重要途径.

代数式背后可能隐藏着丰富的几何意义，而几何图形又能展现多样的代数结构. 这样的转换使得抽象问题变得具体，复杂问题变得简单. 正所谓“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合思想不仅能够深刻揭示数学问题的本质，还能构建一个充满变幻的数学世界. 灵活运用数形结合思想，不仅能够提升思维品质，还能增强数学技能.

三、“形”的深化

在处理图象和图形问题时，单一的属性通常不足以描绘完整的图象. 例如，根据角度，三角形可以细分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；直角三角形又可以进一步分为等腰直角三角形和非等腰直角三角形. 因此，在学习数学的过程中，我们不仅需要积累模型和经验，还应该敏锐地捕捉不同个体之间的细微差异.

在导数知识的应用中，对函数单调性的研究是十分重要的. 但是，仅研究单调性而忽略图形的差异，也有可能导致结论错误.

例5" 求函数[fx=xex]的图象与直线[y=1]交点的个数.

下面给出两名学生的不同解法.

生1的解法：由题意，得[fx=exx+1].

令[fx=0]，得[x=-1].

当[xlt;-1]时，[fxlt;0]；

当[xgt;-1]时，[fxgt;0.]

所以函数[fx]在区间[-∞，-1]上单调递减；在区间[-1，+∞]上单调递增.

所以函数[fx]的最小值是[f-1=-1elt;0]. 如图13，函数[fx=xex]的图象与直线[y=1]有两个交点.

生2的解法：令[xex=1]，解得[ex]=[1x]，问题转化为求函数[y=ex]和[y=1x]图象交点的个数. 由图14可知，函数[y=ex]和[y=1x]的图象只有一个交点.

以上得到了两种不同的结论，显然生2的答案是正确的. 其实，生1得到的函数单调性和函数最小值是正确的，只是在画函数图象的示意图时想当然地认为函数图象的单调递减就是“从天而降”，单调递增就是“一怒冲天”，而忽略了指数函数[y=ex]在[x→-∞]时[ex→0]的特点，导致答案错误.

实际上，[fx=xex]只在x = 0处存在一个零点. 当[xgt;0]时，函数[fx=xexgt;0]恒成立，且函数无最大值，其图象与直线[y=1]必有一个交点；当[xlt;0]时，函数[fx=xexlt;0]恒成立，其图象与直线[y=1]无交点. 也就是说，图13中[y]轴左侧的图象是错误的，[fx=xex]的图象不能够穿过[x]轴，即其在[y]轴左侧的图象表现为“上不来”“不穿轴”，函数[fx=xex]正确的示意图应该如图15所示，所以函数[fx=xex]的图象与直线[y=1]只有一个交点.

对于函数的图象和性质，仅研究单调性是不够的，还需要增加关于函数变化趋势的研究，尤其是与指数函数、对数函数、反比例函数相关的初等函数，[y=ex]，[y=lnx]，[y=1x]等函数的图象受渐近线的影响，会改变走势，故不能够仿照二次函数、三次函数的图象画示意图.

在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制订解题方案，养成数形结合思考的习惯. 解题时先想图，再以图辅助解题. 用好数形结合思想，能收到事半功倍的效果.

四、“数”的表征

数学以其公理化和形式化的特性而著称，我们有必要理解那些抽象符号和多样的代数表达式所蕴含的几何意义，这样才能利用图形和图象有效地解决问题.

例6" 某棵果树前[n]年的总产量[Sn]与[n]之间的关系如图16所示，从目前记录的结果来看，前[m]年的年平均产量最高，则[m]的值为（" " ）.

（A）[5] （B）[7]

（C）[9] （D）[11]

解析：年平均产量即[Snn]，也就是图形中的点和原点连线的斜率. 明确了这一点，对此题的求解就只需要由原点出发作直线（如图17），在图上各点之中找到斜率最大的点即可. 故答案选C.

此题背景简单，叙述简洁，既是应用题，又是创新题，考查的知识与数列的和密切相关，虽然没有数值运算，但是考查了最值的发生时刻. 解题时可以代入[n=1，2，3]求解，以理解年平均产量[Snn]的概念；也可以借助数的特征快速求解. 解题方法比较灵活，较好地体现了数学本质.

例7" 已知函数[fx=log2x+1]，且[agt;bgt;cgt;0]，则（" " ）.

（A）[faagt;fbbgt;fcc]

（B）[fccgt;fbbgt;faa]

（C）[fbbgt;faagt;fcc]

（D）[faagt;fccgt;fbb]

解析1：构建函数[gx=fxx=log2x+1x]，利用函数的单调性比较大小，这样做的缺点是运算量较大.

解析2：我们可以将[faa， fbb， fcc]分别看成[fa-0a-0， fb-0b-0， fc-0c-0]，它们分别表示函数图象上的点[Aa，fa，Bb，fb，Cc，fc]与原点连线的斜率. 如图18，通过作图定性分析可以发现[kOCgt;kOBgt;kOA]，所以[fccgt;fbbgt;faa]. 故答案选B.

通过对比容易看出，利用数形结合求解直观且容易接受，避免了复杂的求导变形，也减少了计算量，更容易让学生接受.

用函数解析式、函数方程、函数不等式来表达图象的性质，进而利用这些性质对问题进行转化和解答，可以避免直译和直接代入进行运算. 数形结合对数学问题求解具有重要价值，需要认真作图、识图，掌握数学的基本特征，寻找运动变化的关键时刻位置.

解决数学问题通常是一个多层次、多角度的思维过程，每个人对问题的理解都有差异. 数形结合不仅是一种数学思想方法，更是一种重要的思维方式，它能够让抽象的问题变得直观，让复杂的问题变得简单. 因此，在未来的数学学习和研究中，我们应该恰当地运用数形结合思想，提升数学思维的深度与广度，享受数学带来的乐趣.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.