概率的直观性和严谨性

摘" 要：对概率直观性和严谨性的考量体现在新版教材的改革中. 用质疑促进更深的严谨，用严谨促进理性的直观，用直观服务现实的生活. 数字化时代下概率统计的重要性不言而喻. 用辩证与质疑的眼光看待概率的直观性和严谨性，既是教师专业素养的体现，也是学生学习应有的态度.

关键词：直观性；严谨性；概率；质疑

中图分类号：G633.6" " "文献标识码：A" " "文章编号：1673-8284（2024）04-0031-05

引用格式：杨磊. 概率的直观性和严谨性：由教材上的一道概率例题谈起［J］. 中国数学教育（高中版），2024（4）：31-35.

一、例题呈现

在苏教版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）选择性必修第二册中，有这样一道例题.

题目" 在一个人数很多的地区普查某种疾病，由以往经验知道，该地区居民得此病的概率为[0.1%]，现有1 000人去验血，给出下面两种化验方法.

方法1：对1 000人逐一进行化验.

方法2：将1 000人分为100组，每组10人. 对于每个组，先将10人的血各取出部分，并混合在一起进行一次化验. 如果结果呈阴性，那么可断定这10人均无此疾病；如果结果呈阳性，那么再逐一化验.

试问：哪种方法较好？

教材通过比较两种方法化验次数的均值来衡量化验方法的优劣. 具体解答中，用如下方式得到了方法2的化验次数均值：先求出每组化验次数[X]的均值[EX]，再说100组化验次数的均值为[100EX]. 由[100EX≈110]远小于方法1的化验次数1 000，得出方法2远好于方法1的结论.

二、疑问探讨

在分析方法2的解答的过程中，有学生提出疑问：“为什么求出每组化验次数的均值，再乘以100就是1 000人化验次数的均值？”

课后，笔者询问多名教师. 有些教师觉得这是“显然”的. 有些教师深思之后说：“感觉应该是这样，想想似乎又不够严谨，觉得还需要点理由，但暂时又想不到用什么知识来解释较为合适.”

囿于学生阶段性的认知水平和思维特点，高中阶段对许多概率内容的处理采用的是基于直观经验、从特殊到一般的归纳推理方式，而不是大学阶段的公理化体系，这使得有些问题的解决很难做到非常严谨. 这是可以理解的，也常常是不可避免的.

学生提出这个疑问，是件好事. 笔者认为有必要深究一下，但是发现以学生的认知水平和视角解释这个“显然”并非易事. 例题在教材中被安排在“离散型随机变量的均值”内容之后，之前学习的条件概率、全概率公式和离散型随机变量的概率分布，都很难作为解释这个疑点的依据.

思来想去，笔者认为可以用以解释这个疑点的知识是此后要学习的二项分布：将100组化验看成100重伯努利试验. 设[X]表示100组中只需要化验1次的组数，[Y]表示100组中需要化验11次的组数，令[p=][1-0.00110]，则[X ～ B100，p]，[Y ～ B100，1-p]. 根据二项分布的数学期望公式[EX=np]，可以得到[EX=100p]，[EY=][1001-p]，从而得到100组化验的总次数为[1×EX+11×EY=100p+11001-p=1100-][1 000p≈110].

遗憾的是，上述解释依赖后面的学习内容，作为新授课的探讨内容并不适合.

当然，如果对上面用[1×EX+11×EY]表示100组的化验总次数的严谨性表示质疑，也可以对上述解法作如下改进：将两种化验方法的优劣标准定为“人均化验次数的数学期望最小”，即比较两种化验方法中每个人的平均化验次数，这是一个求数学期望的过程. 对于方法1，人均化验次数为1. 对于方法2，由于每个人得病的概率是[0.1%]，所以每组混合血液化验不出此病的概率为[1-0.00110]，化验出此病的概率为[1-1-0.00110]. 化验不出此病时，每个人的平均化验次数为[110]. 化验出此病时，需要对此组每个人再进行一次化验，则每个人的平均化验次数为[1110]. 由此得方法2的人均化验次数[ξ]的分布列如表1所示.

所以，方法2的人均化验次数的数学期望为[110×1-0.00110+11101-1-0.00110≈0.11]. 由[0.11lt;1]知，方法2的化验方法更好.

如果使用上述改进的方法考查1 000人化验次数的数学期望，对于检验方法2，每个人的化验次数[ξ]的数学期望为[Eξ≈0.11]，则1 000人需化验次数的数学期望即为[E1 000ξ=1 000Eξ≈110]. 再看教材例题中对检验方法2的分析：每组化验次数[X]的均值[EX≈1.1]，则100组的化验次数的均值为[E100X=100EX≈110.]

对比后发现这两种方式本质上是一样的，都是用一个随机变量表示另一个随机变量，然后用数学期望的简单性质求解. 只是改进的方法换了一种衡量“方法好”的标准，避免了进一步利用性质求解（此性质在教材例题前并未给出）.

事实上，对于离散型随机变量的数学期望，有一个基本的性质：对任意一个二维离散型随机变量[ξ，η]，若[Eξ，Eη]存在，则对任意的实数[k1，k2]，[Ek1ξ+k2η]存在且[Ek1ξ+k2η=k1Eξ+k2Eη]. 这个性质可以推广到[n]维随机变量的场合. 这个结论虽然比较符合经验直观，但作为性质还是需要推导的. 高中数学教科书上并没有关于这个性质的论述，能否直接使用值得商榷.

三、直观与严谨的融合教学

对比高中数学新旧版本的教科书就会发现，新版教科书概率部分的变化非常大：引进集合语言，用以表达概率研究的数学对象、问题和结果，在概率教学中渗透公理化思想，使得高中数学的概率内容更具严谨性. 教师需要跟上这种变化，教学时多引导学生思考“为什么”，将直观性和严谨性结合起来.

1. 用质疑促进更深的严谨

理性培养必然建立在严谨的科学态度之上，而质疑是走向深层次严谨的催化剂，更是创造和创新的源泉.

旧版教科书更多地用自然语言引领学生理解和辨析概率问题，并试图以此增强概率的直观性，这种“跟着感觉走”的做法，使得对许多问题的探究和解决缺乏严谨性. 新版教科书则将概率扎根于集合论，用样本空间的子集定义随机事件，进而运用集合的思想和语言探讨随机事件之间的关系和运算，最终引出相关性质. 类似于用函数的性质解决函数问题，我们可以利用概率的性质简化概率的求解，解决概率问题. 这样的处理方式便是基于数学的严谨性.

教师带领学生探讨概率问题时，需要带着质疑的精神和眼光看待问题，将学生的思维引向深入与缜密. 例如，对于独立事件，教材必修第二册有如下结论：[A，B]相互独立[⇔][PAB=PAPB]. 这个结论是否可以推广到[n][n∈N，ngt;2]个事件的情形呢？也就是说，如果事件[A1，A2，…，An]相互独立，那么[PA1A2…An=][PA1PA2…PAn]. 这个结论从何而来呢？很多教师往往不会过多地质疑，也不会去追问原因. 这个结论从经验直观上似乎很容易判定——相互独立就是互不影响，既然[A，B，C]相互独立，那么[A，B，C]之间就互不影响，所以[PABC=PABPC=PAPBPC.]

以上分析看似合情合理，实则需要仔细斟酌辨析：上述结论是建立在多个事件相互独立的定义的基础上的，没有多个事件相互独立的定义就不能判断上述结论正确与否. 实际上，对于多个事件的独立性，相互独立与两两独立并不等同：事件[A1，A2，…，An]相互独立[⇒]事件[A1，A2，…，An]两两独立，反之则不然. 在人教[A]版《普通高中教科书·数学》必修第二册中有相关叙述：当三个事件[A，B，C]两两独立时，等式[PABC=PAPBPC]一般不成立. 并在之后的习题中给出了例证：设样本空间[Ω=a，b，c，d]含有等可能的样本点，且[A=a，b，B=a，c，C=a，d]，请验证[A，B，C]三个事件两两独立，但[PABC≠][PAPBPC].

如果教师不质疑、不辨析，怎么能发现这个结论的确切内涵呢？更重要的是，教师可以用这个例子来鼓励学生大胆质疑，使他们拥有更多的自我意识和独立思考的精神，为创新、创造、变革提供基础和保障.

2. 用严谨促进理性的直观

学习概率的目的是在现实生活中进行理性决策，进而避免因盲目的直观决策带来的风险和损失. 相对其他知识，概率更贴近学生的生活体验，也就更容易引起直观的冲突.

例如，初次接触问题“抛掷两枚硬币，出现一正一反算甲赢，出现两个正面算乙赢，你觉得这个规则合理吗？”时，学生很难辨识其是否合理. 只有当明确什么是等可能的样本点，以及如何正确使用古典概型解决问题时，才能认清这个问题的本质. 这个过程就是用严谨促进理性的直观的过程.

又如，在抽签中，要不要争取先抽，即先抽与后抽的概率一致吗？抛10次硬币，前5次均出现正面，那么是不是后5次出现反面的概率会更大一些？这些问题往往具有一定的“反直觉性”，它们与生活密切相关，能够很好地激发学生的探索欲. 教师带领学生用严谨、审慎的态度和眼光进行分析，就能够很好地修正学生的经验直观，优化学生的感性认知，并促使学生将感性认知上升至理性认知.

3. 用直观服务现实的生活

概率是什么？概率从哪里来？到哪里去？需要对概率进行这样的“哲学三问”. 只有经过这样的追问和探索，才能明确教育教学的方向.

概率研究的是现实生活中随机现象“变中不变”的性质. 在变化中寻求不变是人类探索的永恒主题，掌握和运用变化中的规律，就能做出更科学和理性的决策. 上至国家下到个人，时刻都在进行选择，而选择本身就蕴含着对概率的认知和理解. 理性的选择离不开对概率知识的科学运用.

概率起源于生活，也必将作用和影响生活. 如果一个人懂得在抽签中先抽与后抽的概率的一致性，就会在这种情形下坦然面对；如果一个人懂得已经发生的事实与之后要发生的事件间存在独立性，就不会失去理性沉迷于赌博；如果一个人懂得生活中每时每刻都在进行着选择，我们能做的就是接受确定性的事实，努力放大有益事件出现的概率，减小不利事件出现的概率，那么，这个人就不会轻易出现过度焦虑；如果一个人懂得“智能推送”“智慧城市”等本身就是概率生活化的体现，就会更深一步体会概率的魅力和理性知识的力量.

总之，建立起理性的概率直观，有益于增强理性认知，从而更好地服务现实生活.

四、几点想法

1. 基于直观性和严谨性的随机现象

具体的就是直观的，抽象的就是一般的，两者相辅相成. 将具体与抽象结合起来可以更好地理解随机性（随机现象）. 学习概率的过程就是逐步认识随机现象的过程，对随机现象的理解是学习概率的核心.

知识源于经验和直观. 认识和理解随机现象，伴随着直观与理性的交织影响和提升. 首先，概率源自生活中的直观感性经验，观察分析生活中的现象，发现除了确定性现象外，还充斥着随机现象. 认识和探索这些随机现象是概率的出发点. 其次，用数学理性严谨的眼光分析随机现象，就产生了科学的概率分支.

高中阶段，理解和分析随机现象主要从以下三个方面着手. 一是理解概率与统计的关系. 统计的基本思想是用样本估计总体，其首要步骤是科学合理的抽样，抽样的过程就是随机现象呈现的过程，随机思想就是反映“总体”与“样本”之间关系的核心思想，好的样本必须能够反映总体的特征和规律. 因此，严谨的统计必须建立在科学的概率之上. 二是用函数的眼光看待随机变量. 随机变量是数学中继常量和普通变量之后的又一个“量”，它的引入为用数学工具研究随机现象奠定了基础. 三是在集合观点的加持下用概率模型理解随机变量. 教材将随机事件定义为样本空间的子集，古典概型、两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布等均为常见的随机现象下的概率模型，对它们的理解有助于培养概率的直观性，深化理性严谨的概率思想.

2.“纯数学”的直观和严谨

概率隶属于高中数学的“概率与统计”主题. 概率为统计提供理论支撑，统计为概率提供应用场景. 数据分析主要以概率统计为理论基础，所以概率统计是提升学生的数据分析素养最重要的载体. 通过学习相关知识，使学生能够形成较强的数据意识，具有一定的数据处理能力，同时提升学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理和数学运算等素养.

从图1呈现的知识结构中，可以看出概率和统计的探究过程存在着本质上的联系. 随机变量是样本点的数量化，随机变量本身是一系列数据（个数可能有限也可能无限），为了能够掌握这些数据的规律，可以采用基于直观的图表法，也可以采用基于代数的数字特征法. 而在统计中，对抽取的样本数据的分析，同样采用了这两种方式. 这就是数据分析的基本思路和方法. 因此，概率中的期望与统计中的均值及概率中的方差与统计中的方差，本质上是一致的. 这一点也可以由频率稳定到概率的事实得到解释.

值得关注的是，务必要利用函数观点看待随机现象，深化对概率的理解. 主要集中在以下两点. 一是对函数性质与概率性质探究的对比. 在函数的探究中，从函数的共性及运算关系中提取函数的性质，再利用这些性质来探索未知函数；在概率的研究中，同样是从随机事件的共性及运算关系中得到概率的性质，再利用这些性质简化概率的求解. 二是明确随机变量的本质与函数是一致的，研究的对象都是“变量”，离散型随机变量与相应的概率之间是函数关系，连续型随机变量则是把区间看成自变量，把落在区间内的概率看成因变量（常用面积刻画），由此可以用函数这个强有力的工具去研究随机变量（研究表达过程同样可以借助形的直观和数的严谨）.

以上分析，可以认为是对概率“纯数学”内容联系的分析，是一种“纯数学”的直观. 对此理解得越透彻，越有助于严谨深刻的数学思维能力的提升.

3. 直观与严谨的教学平衡

数学教学离不开直观和严谨，但直观和严谨都有相对性. 高中阶段对概率内容的研究往往基于直观，即利用类比、猜想、验证等方式，辅以适当的演绎推理，得到一些结论或性质. 在实际问题中，我们经常借助直观判断事件的独立性，再用定义简化积事件的概率计算. 在有些问题中，则需要用独立性的定义来判断事件的独立性. 在概率教学中，教师要照顾到学生的认知能力，把握好教学中对直观性和严谨性呈现的“度”. 与此同时，教师还要提升自己的专业素养，善于思考，在严谨性上对自己提出更高的要求，以便随时应对学生的质疑.

例如，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中对正态分布的学习要求是通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，而教学参考书给出的教学建议中也提到要通过误差模型、借助直观（如直方图）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 但有些教科书中引出的正态分布的实例模型并不是严格意义上的“误差模型”，这就要求教师在使用教科书组织正态分布的教学时，要有自己独立的思考，要深入理解数学（正态分布的来源、意义）、理解学生（明确学生的认知基础）、理解教学（选择合适的教学策略）.

又如，教材中有下列表述：若[X∼Nμ，σ2]，则随机变量[X]在[μ]附近取值的概率很大，在离[μ]很远处取值的概率很小. 结合正态密度曲线，能够感受到这个表述传达的意思，但它并不严密，学生可能就此质疑：正态分布本身是连续型随机变量的概率分布模型，[X]任意具体取值的概率均为0，所以随机变量[X]在[μ]附近取值的概率都相等. 那么，教师就需要肯定学生的质疑行为，并对此探讨改进办法. 可以选择用区间更严谨地表述：若[X∼Nμ，σ2]，则随机变量[X]落在[μ]附近的等距区间[x-ε，x+ε]（[ε]为大于0的常数）内的概率相对较大，落在离[μ]很远处的等距区间[x-ε，x+ε]内的概率相对较小，落在区间[μ-ε，μ+ε]内的概率最大.

总之，在教学中，教师要根据知识和学情对概率教学的直观性和严谨性予以权衡. 同时，在自己敢于质疑的同时，也要鼓励学生合理的质疑行为. 要知道，只有敢于质疑和鼓励质疑的教师，才能培养出善于思考且具有严谨求实的科学精神和创新意识的学生.

参考文献：

［1］魏宗舒. 概率论与数理统计教程：第二版［M］. 北京：高等教育出版社，2008.

［2］王尚志，吕世虎，胡凤娟. 普通高中课程标准（2017年版2020年修订）教师指导：数学［M］.上海：上海教育出版社，2020.

［3］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.