基于稚化思维的“错中措”式教学实践与思考

摘" 要：以“函数奇偶性”的教学为例，以稚化思维为引导，探讨了“错中措”模式在高中数学教学中的应用.

关键词：稚化思维；错中措；奇偶性

中图分类号：G633.6" " "文献标识码：A" " "文章编号：1673-8284（2024）04-0046-06

引用格式：陈民. 基于稚化思维的“错中措”式教学实践与思考：以“奇偶性”教学为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（4）：46-51.

一、问题提出

《〈普通高中数学课程标准（2017年版）〉解读》中指出，当今的教育高度关注课程民主，在哲学认识论上体现出对人的交互主体性地位的确认，反对教育中的控制和支配，提倡相互尊重、平等交流的对话式教育，构建和谐、共生的数学学习共同体. 因此，教师的教学要从学生的角度出发考虑问题，站到学生一边. 稚化思维指教师在教学中推己及人地揣摩学生的学习心理、认知状况、知识储备、经验背景和学习状态，有意识地将自己的认知水平“退化”到与学生相当的程度，把熟悉的当成陌生的，与学生共同探讨问题、克服困难，完成教学任务. 笔者成立课题团队，致力于稚化思维引领下的深度教学研究，创建了一种新型教学模式，称为“错中措”模式，具体包含“三错八措”.“三错”指课始纠错、课中究错、课后揪错，对应的“八措”分别为展示旧错、调研学情、设置目标、创设情境、问题探究、体验探究、深度评价、整理归错，具体教学模式架构如图1所示.

下文以人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册“3.2.2 奇偶性”一课的教学为例，探讨“错中措”模式在高中数学教学中的应用，供广大数学教师参考.

二、教学过程

1. 课始纠错

课始纠错是指新课教学前针对学生在上一节课学习中出现的旧错进行梳理、归纳和解释，对学生在学习中产生的错误进行实时监测并予以校正. 依据学情设置新课教学目标，提高学生对知识的掌握程度和学习效果.

（1）展示旧错.

函数的单调性和奇偶性是函数性质的重要组成部分，单调性是局部性质，奇偶性是整体性质. 从特殊到一般的推理方式，数形结合的思想培养，两者学习模式相同，通过对函数的单调性的学习，学生掌握了知识的学习方法，类比推理，能够更加自如地掌握函数的奇偶性. 因此，对于函数的单调性的学习，学生必须过关. 课程伊始，教师及时展示学生在函数的单调性学习中出现的错误，使学生坦诚、勇敢地面对错误，及时发现函数的单调性学习中的盲点和误区，为函数的奇偶性的学习积累经验.

① 对函数单调性的认识存在误区，它是局部属性，而非整体性质，学生对[x1]，[x2]的任意性和同区间性的理解仍然存在问题，部分学生在用符号语言刻画单调性时表述含糊不清.

② 在学生作业中讨论[fx=ax+ax]的单调性时，对[fx1-fx2]的化简不彻底，只化简到[fx1-fx2=][ax1-x21-1x1x2.] 虽然有的学生化简彻底了，但对单调性判断时忘记对参数[a]进行分类讨论.

③ 作业：若函数[fx=x2-2ax-9]在区间[2，+∞]上单调递增，则实数[a]的取值范围为" " " . 学生答案有两类错误：一类是[alt;2]，说明学生没有对端点2处的取值进行特殊分析；二是[a≥2]，说明学生误把直线[x=2]当作对称轴了.

【设计意图】课前展示学生过往的错误实例，有助于实时校正，强化既有知识，增强记忆效果，使得易错、频错和误错情况得以凸显，避免学生重蹈覆辙，消除学生遗憾.

（2）调研学情.

本节课内容的教学对象是高一学生，他们刚开始高中阶段的学习，对高中数学的知识深度、难度仍在适应当中. 函数的奇偶性是继函数的单调性之后学习的函数的又一重要性质，结合函数的单调性学习中学生出现的错误，可以知道对于学生来说，函数的奇偶性的学习是有一定难度的. 初中阶段，学生已经对图象的对称性有所了解，让学生借助“形”来判断函数的奇偶性并不难，难点在于让学生利用“数”来判断函数的奇偶性. 教学中，如果直接给出定义，学生没经过自主探究及错误的尝试，则会印象肤浅，学习不深刻. 因此，教师要激发学生的探索热情，就要设置学生感兴趣的问题情境.

（3）设置目标.

① 学生通过观察、讨论，借助图象理解对称性的概念，从具体实例升华至一般抽象概念.

② 基于对称性原理掌握函数的奇偶性的概念.

③ 从“数”的角度掌握函数的奇偶性的概念.

④ 体验数学概念的建立过程，在构建函数的奇偶性概念的过程中体会研究数学问题的通性通法.

⑤ 从错误的问题中强化对数学概念的认知.

2. 课中究错

课中究错是指在课堂教学过程中对预设和未知中产生的错误进行深入探究和学习的一种教学方法. 本方法强调教师和学生共同参与，通过分析错误的原因和影响因素，提出相应的改进策略，提高学生的学习效率.

（1）创设情境.

情境：函数[fx=x2]的图象如图2所示，该图象是否具有对称性？

生：有对称性，关于[y]轴对称.

师：在高中数学课程中，部分函数的图象有着令人着迷的对称之美. 本节课我们将一起走进函数世界，领略函数的对称之美.

【设计意图】用学生比较熟悉的函数图象进行导入，会使学生学习新知前的紧张情绪得到有效缓解，进而在轻松的氛围中学习知识. 此外，具有对称美的图象能够激发学生对课堂知识的学习热情，从而点燃他们学习的激情.

（2）问题探究.

问题1：在已经学过的函数中，图象具有对称性的有哪些？

生：二次函数、正比例函数、反比例函数的图象都具有对称性，还有前面学过的函数[y=x]的图象.

师：可以具体说说这些函数的图象属于你们学过的哪类对称吗？

生1：二次函数和函数[y=x]的图象都是轴对称图形，反比例函数是中心对称图形.

师：画出函数[fx=2-x]的图象（如图3），观察其是否为轴对称图形.

生1：函数[fx=2-x]的图象是轴对称图形，对称轴是[y]轴.

师：函数[fx=2-x][x≠0]的图象仍然是轴对称图形吗？

生1：是的.

师：函数[fx=2-x][x≠1]的图象呢？

生1：仍然是轴对称图形.

生2：错误，不对称了，因为[x=-1]时对应的函数值在图象上找不到对称点. 要保证对称必须保证图象上的所有点都能找到对称点.

问题2：类比函数单调性的定义过程，你能用符号语言精确描述“函数图象关于[y]轴对称”这一特征吗？

师：试以[fx=2-x]的图象为例，从数的角度解释函数图象关于[y]轴对称的原因.

生3：当函数[fx=2-x]的自变量取相反的两个数时，对应的函数值相等，即有[f-x=fx]，如表1所示.

师：是只有特殊的[x]的取值满足这一关系吗？

生3：不是，对于无数个[x]都有[f-x=fx].

生4：无数个[x]不可以说明[f-x=fx]，必须是定义域内的一切[x]都满足[f-x=fx]才可以.

师：如何证明呢？

生4：[f-x=2--x=2-x=fx].

师：漂亮！依据大家的理解，若对于定义域内的任意[x]都有[f-x=fx]，则可知函数[fx]的图象关于[y]轴对称，反之呢？

生5：若函数[y=fx]的图象关于[y]轴对称，则图象上任意点[Px，y]关于[y]轴的对称点[P-x，y]仍在函数图象上，因而可以得到[f-x=fx].

师：很好！大家探究了函数[fx=2-x]的图象的对称性. 下面请大家对反比函数[fx=1x]的图象（如图4）进行类比探究，探讨反比例函数的图象为何关于原点对称.

生6：反比例函数满足[f-x=-fx]. 当点[x，y]在反比例函数的图象上时，关于原点的对称点[-x，-y]仍然在该函数图象上，因此可以得到反比例函数的图象关于原点对称.

师：是对所有的[x]吗？

生6：是对定义域内的任意[x]，因为反比例函数的定义域是[x≠0]，所以要强调[x≠0].

【设计意图】教学过程中，采用问题引导的方式进行探索，而非直接用符号语言描述函数图象的对称特性. 鼓励学生自主发现、猜想并证明，逐步构建函数奇偶性的概念，体现了从特殊到一般的思维方式. 图象的对称性不难理解，但如何运用符号语言对其进行描述却具有一定的挑战性. 为了培养学生的数形结合思想，让学生类比函数单调性的学习过程逐步从定性描述过渡到定量刻画，这是抽象数学概念的一个重要环节.

（3）体验探究.

练习：判断下列函数的奇偶性，并说明理由.

①[fx=x4+2x2，x∈-2，2].

②[fx=2x2+4xx+2].

③[fx=4-x2x+3-3].

④[fx=x2-16+16-x2].

教师让4名学生在黑板上板演对这4道题目中函数奇偶性的判断过程. 学生的解题过程摘录如下.

① 因为[f-x=-x4+2-x2=x4+2x2]，

所以[f-x=fx].

所以函数[fx=x4+2x2]是偶函数.

② 因为[f-x=2-x2+4-x-x+2=2x2-4x-x+2≠fx]，且[f-x≠-fx]，

所以函数[fx=2x2+4xx+2]既不是偶函数也不是奇函数.

③ 因为[f-x=4--x2-x+3-3=4-x23-x-3≠fx]，且[f-x≠-fx]，

所以函数[fx=4-x2x+3-3]既不是偶函数也不是奇函数.

④ 因为[f-x=-x2-16+16--x2=x2-16+]

[16-x2=fx]，

所以函数[fx=x2-16+16-x2]是偶函数.

师：请大家对4名同学的解题过程一一进行评判，并说说自己的理由.

生7：第①题做错了，不需要判断[f-x]与[fx]的关系，因为表示定义域的区间是左开右闭区间，[f2]有意义但[f-2]无意义，所以所求函数既不是奇函数，也不是偶函数.

师：不错，[f2=24]而[f-2]无意义，一个反例就可以说明该函数不具备奇偶性，求解错误的原因是什么？

生7：在未考虑函数定义域的情况下，急于寻求[f-x]与[fx]之间的关系.

师：说得非常正确.

生8：第②题也错了，将[fx=2x2+4xx+2]化简为[fx=2x]，可知函数[fx]是奇函数.

生9：老师，生8的评价是错误的. 对于函数[fx=][2x2+4xx+2]而言，[f-2]无意义但[f2]有意义，因此没必要对[fx]进行约分化简了，该函数仍然不具备奇偶性，错因仍然是没事先考虑定义域关于原点的对称性.

问题3：函数具有奇偶性的前提条件是什么？

生：按照函数奇偶性的定义，[x]和[-x]的取值必须同时有意义，也就是定义域本身要关于原点对称.

师：对，判断函数是否具有奇偶性，首先应该考查定义域，若定义域关于原点对称，再考查[f-x]与[fx]的关系. 继续探究③和④.

生10：第③题正确，可以先由[4-x2≥0，x+3-3≠0]解得该函数的定义域为[x∈-2，0⋃0，2]，进而确定[f-x]与[fx]既不相等也不相反，因此该函数不具备奇偶性.

生11：我反对，既然求出了函数的定义域[x∈-2，0⋃][0，2]，则可知[1≤x+3≤5]且[x+3≠3]，那么[fx]就可以等价化简为[fx=4-x2x+3-3=4-x2x]，因此[f-x=][-fx]，故函数[fx]是奇函数.

师：嗯，很好！在确定函数的定义域关于原点对称后，要注意对函数[fx]的解析式进行化简.

生12：第④题正确，函数的定义域为[-4，4]，关于原点对称，且[f-x=fx]，所以该函数是偶函数.

师：你的观察是否具体？

生13：生12的表述不完整，这个函数的图象仅由[-4，0， 4，0]这两个点构成，其不仅关于原点对称，而且关于[y]轴对称，所以该函数既是奇函数又是偶函数.

师：分析问题要看问题的本质，不能生搬硬套.

【设计意图】对于学生解题中出现的错误，教师适当指导学生究错而不是直接指出. 与学生的思维紧密契合，设法引导学生体验挖掘解题疏漏中的成就感，从而提升学生的质疑精神和自主探究能力.

3. 课后揪错

课后揪错是指在课后把课堂评价或作业评价中积累的错误进行总结、提炼，建立错误档案，以便在以后的学习中拓展思维，防止复错.

（1）深度评价.

随着教育改革的深入推进，高中数学深度评价已经成为衡量学生学习成果的重要手段，常见的评价方法主要包括书面测试、课堂表现评估、小组交流、课后任务和考试评测等. 书面测试可以检验学生对知识的掌握程度，可以采用定性的评价方式，利用观察、访谈、建立档案袋等方式调节学生学习上的错误行为，通过积极整改，确保深度学习的顺利进行；课堂表现可以反映学生的参与度和思维活跃度，从学生的面部表情也能观察出学生的学习效果；小组交流可以评估学生的合作能力和沟通能力；课后作业有助于检验学生对所学知识的运用能力；考试评测能够评价学生的接受能力和综合反应能力. 通过课后深度评价可以发现学生在数学理解能力方面的优势和不足，进而有针对性地改进教学.

课后作业：（1）判断下列函数的奇偶性.

①[fx=3x3-9x2x-3].

②[fx=ax+1x2].

③[fx=x+3+3-x].

（2）已知函数[fx]，[x∈R]，若对于任意[a，b∈R]都有[fa+b=fa+fb]，求证：[fx]是奇函数.

（3）若函数[fx=2x+1x+ax]是奇函数，则[a]的值为" " " " "；

（4）设函数[fx=x+12x2+1]的最大值为[M]，最小值为[N]，则[M+N]的值为" " " " "；

（5）已知函数[y=fx]是定义域为[-1，1]的奇函数，在[0，1]上单调递减，若[f1-a2+f1-alt;0]，则实数[a]的值为" " " " ".

【设计意图】通过作业可以掌握学生对所学知识的理解深度，从数学认知、解题策略、思维品质等方面评判是否需要对学生进行二次指导. 深度评价注重对学生数学领悟、思维过程和逻辑推理能力的评价，而不局限于对学生知识掌握程度的评价.

（2）整理归错.

奇偶性是函数的基本特性之一，绝大多数学生在学习这个概念后会觉得比较容易理解，但是在实际应用过程中却非常容易出错. 因此，有必要对函数奇偶性的判断误区进行分类整理，归纳错误.

① 忽视定义域对称. 判断函数的奇偶性，应该先确定函数的定义域，函数定义域要关于原点对称，否则函数不具备奇偶性. 要树立定义域优先意识.

② 忽视函数解析式化简. 若函数的解析式能化简则要先化简，转化意识要强，可以提高解题效率，避免出错.

③ 忽视函数本质. 函数本质可以理解为由定义域经过一种对应法则对应到值域的变化关系，定义域必须是非空数集，哪怕定义域只有一个数仍符合函数概念. 有的学生认为一系列孤立的点不是函数图象，这种认识错误产生的原因是对函数本质的不理解.

④ 忽视特殊值. 对应已告知函数具备奇偶性的复杂题型，可以采用特殊值快速处理. 例如，若奇函数在[x=0]处有定义，则满足[f0=0]；在[x=a]处有定义，则可用[f-a=-fa]进行求解. 特殊值的运用能够简化运算.

⑤ 忽视分段函数的奇偶性. 部分学生对分段函数奇偶性的判断感到迷茫，主要原因在于对分段函数的意义理解不透彻.

【设计意图】对作业、测验、答疑等过程中学生易错的、频错的、模糊不清的问题进行归类整理，以便在下节课中有针对性地纠错，提高学生的学习效率. 同时，有助于教师发现学生在知识掌握上的薄弱环节，为教学策略的调整提供依据.

三、教学思考

1. 教学内容要甄选

运用“三错八措”模式进行教学，能够实现深度教学目标，从而取得较为满意的教学效果. 需要注意的是，并不是所有的教学内容都适用“错中措”模式，教师需要甄选教学内容. 例如，对数学核心概念、数学史的讲授不宜设置“错误”，而对于概念、定理的应用及解题方法的探索等内容，则适宜采用该模式实施教学. 教学时，教师稚化思维，切身感受学生对基本概念、原理的理解和掌握情况，引导学生通过自主探索、实例分析等方式深入理解数学知识.

2. 教师“表演”要到位

在课堂究错过程中，遇到错误，教师要稚化思维，佯装不知，沿着学生的错误思路行进，让学生经历错误、发现错误，进而解决错误，此时教师的“表演”要到位. 在教学“表演”中，教师的语言直接影响着信息的传递效果，教师要注意对声音的掌握，包括音量、语速、语气等. 适当提高音量可以吸引学生的注意力，恰当的语速可以保持课堂教学进度的紧凑性，多变的语调可以使语言更具感染力. 教师在进行语言表达的同时，还要注意运用肢体语言，可以通过手部动作、面部表情、眼神交流等与学生建立更紧密的联系，增强课堂表现力，激发学生参与课堂教学的热情.

3. 教学“错误”要适度

“适度”是万事之道，部分教师主张错误展示愈多愈有益，但事实并非如此，过多的错误不仅无法促进学生发展，反而会带来一些负面影响. 具体而言，过多的错误会使学生感到教师知识水平低下，削弱教师在学生心目中的知识权威地位. 择善守中，过犹不及，教师在呈现错误时，要综合考虑学生的学习状态，以及知识教学的重点和难点，在恰当之处留下宝贵的错误.

总之，运用稚化思维理念教学即设身处地站在学生的角度实施教学，要抓住学生的易错点，设计与课堂教学紧密联系的有梯度的纠错、究错、揪错环节. 因此，教师在利用“错中措”模式进行教学时，需要以学生的实际情况为依据，把学生思维的最近发展区作为关注重点，以确保呈现的错误有质量，应对的措施有效果.

参考文献：

［1］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2018.

［2］张建良.“稚化思维”教学策略的理论与实践研究［J］. 教学研究与评论（中学教育教学），2016（3）：21-24.