关注问题梯度，提升解题能力

秦哲

摘要：面积问题一直是中考的重点和难点，本文中以“一次函数面积问题”的教学设计为例，从学生已有的知识出发，对面积问题进行变式拓展.由简至难，层层递进，引导学生从不同角度思考并解决问题，帮助学生总结方法与策略，深化解决面积问题常用的“割补法”“铅垂法”和“平行面积转化法”.

关键词：一次函数；面积问题；变式教学；一题多解

面积问题一直是中考的重点和难点，平面直角坐标系中的面积问题往往是几何与函数的综合问题，一般考查学生逻辑思维能力和数学知识的综合应用.学生遇到这类问题，通常无法将面积问题进行有效转化.本文中以八年级“一次函数面积问题”复习课的教学设计为例，阐述如何通过优化问题结构，以问题驱动课堂，以问题变化提高学生解题的热情，引导学生从多角度和全方位进行思考，形成解题策略，深化解决平面直角坐标系中面积问题常用的方法.

1 问题引入，方法归纳

在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+2与y轴相交于点A，l1上点B的纵坐标为5.（文中的变式都使用此条件.）

问题1  如图1，连接OB求点B的坐标和△OAB的面积.

解略.

简解：将点B的纵坐标代入直线l1的解析式，求出点B的横坐标为3，此为△OAB底边OA上的高.点A的坐标为（0，2），即OA的长度为2，此作为△OAB的底.所以S△OAB=12×2×3=3，点B的坐标为（3，5）.

点评：在平面直角坐标系中，若三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴（通常称之为“横平竖直三角形”），则可以直接利用三角形面积公式求出其面积.如问题1中△OAB的边OA在y轴上，它是一个“横平竖直三角形”.“横平竖直三角形”是解决一次函数面积问题的突破口.

问题2  如图2，若点C（1，0），连接AC和BC，求△ABC的面积.

方法1：如图3，过点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为F，E，从而把△ABC的面积转化为矩形的面积与三个三角形的面积之差，即

[JZ]S△ABC=S矩形BFOE-S△AOC-S△BCF-S△EAB.

△ABC的面积由矩形的面积减去三个三角形的面积求得，这种方法称之为“割补法”.

方法2：如图4，过点C作y轴的平行线交AB于点D，则

S△ABC=S△ADC+S△BDC

=12CD·xD+12CD·（xB-xD）

=12CD·xB.

由點C（1，0），得D（1，3），即CD=3.故S△ABC=12×3×3=92.

由方法2可以发现S△ABC=12CD·|xB-xA|，我们称CD为铅垂高，|xB-xA|为水平宽，三角形的面积等于水平宽和铅垂高之积的一半，这种方法称之为“铅垂法”.

方法3：如图5，过点C作直线AB的平行线交y轴于点E，连接BE.因为△ABC与△ABE同底，且它们的高为两条平行线之间的距离，因此S△ABC=S△ABE，△ABE为前面所说的“横平竖直三角形”.由于AB∥CE，因此直线AB和直线CE的斜率相等，可求出直线CE的解析式，进而求出△ABC的面积.

利用“平行线间的距离处处相等”，将△ABC的面积转化为△ABE（“横平竖直三角形”）的面积，此方法称之为“平行面积转化法”.

点评：问题2中的△ABC不是问题1中的“横平竖直三角形”，因此不能通过三角形的面积公式直接求解，需进行转化.问题2的解决引出解决面积问题的三种方法——“割补法”“铅垂法”和“平行面积转化法”，为解决后续复杂的面积问题提供了基本思路和出发点.

2 变式训练，巩固提升

变式1  如图6，第四象限内的点C在直线l2：y=-12x上，连接AC和BC，若△ABC的面积为152，求点C的坐标.

方法1：“铅垂法”.如图7，过点C作y轴的平行线交直线AB于点D，

设点Ca，-12a，则D（a，a+2），因此CD为△ABC的铅垂高，|xB-xA|为△ABC的水平宽.可列出方程152=12〖JB（［〗a+2--12a〖JB）］〗×3，解得a=2，即C（2，-1）.

方法2：“平行面积转化法”.如图8，过点C作线段AB的平行线交y轴于点D，连接BD.由于△ABD与△ABC同底等高，面积相等，因此S△ABD=S△ABC=152，并求得D（0，-3）.

由于AB∥CD，因此kCD=kAB=1，则直线CD的解析式为y=x-3.

因为点C为直线CD和直线l2的交点，所以联立方程得x-3=-12x，解得x=2，故C（2，-1）.

点评：变式1中的点C由“定点”变为直线上的“动点”，题目虽变复杂了，但仍可使用问题2提及的方法来解决，让学生体验方法应用的广泛性.方法1关注“方程思想”，使用“未知数”表示动点C的坐标，利用“铅垂法”表示三角形的面积并利用面积的等量关系构建方程求解；方法2关注“转化思想”，使用“平行线”将△ABC的面积转化为△ABD（“横平竖直三角形”）的面积，将点C看成是两条直线的交点.

变式2  如图9，在变式1的条件下，P是线段AB上的动点，若直线CP平分四边形OABC的面积，求点P的坐标.

方法1：“割补法”.由于O，A，B，C四个点是定点，因此四边形AOCB的面积是定值，通过四个点的坐标求出S四边形AOCB=192，则S△BPC=194.

如图10，过点C作x轴的平行线，交直线AB于点D.过点P作PE⊥CD，垂足为E.由“割补法”可求得

S△DPC=414.

且△DPC为“横平竖直三角形”，由CD=5，得PE=4110，则yP=3110，可求得P1110，3110.

方法2：“铅垂法”.如图11，由方法1，得S△BPC=194.过点C作y轴的平行线，交直线AB于点D.得D（2，4）.设点P（b，b+2），CD为△PBC的铅垂高，|xB-xp|为△PBC的水平宽，又CD=5，|xB-xp|=3-b，可列方程194=12（3-b）×5，解得b=1110，即P1110，3110.

方法3：“平行面积转化法”.如图12，过点O作AC的平行线，交AB于点D.由△ADC与△AOC同底等高，可得S△AOC=S△ADC.则S四边形AOCB=S△ABC+S△AOC=S△ABC+S△ADC=S△BDC.

将四边形AOCB的面积则转化为△BDC的面积，又直线CP平分四边形AOCB的面积，可知CP平分△BDC的面积，故P为线段BD的中点.

[JP3]由AC∥OD，易得OD的解析式为y=-32x，联立方程，得-32x=x+2，解得x=-[SX（]45[SX）]，则D-45，65，从而可得线段BD的中点P的坐标为1110，3110.

点评：变式2为动直线平分不规则四边形的面积问题，综合性和难度都有提升，学生通过分析问题情境，运用已有的学习经验将陌生的新问题转化为已知问题，精选方法进行解决.方法1以“分割法”为载体，经由“横平竖直三角形”求解；方法2利用“未知数”表示动点P的坐标，[JP+2]利用面积的等量关系构建方程；方法3“平行面积转化法”最巧妙，利用平行将四边形AOCB的面积转化为△BDC的面积，符合条件的点P即为线段BD的中点.将不规则图形的面积转化为我们熟悉的三角形面积，由“陌生”到“熟悉”，“一题多解”提高了学生思维的灵活性，拓宽了解题思路，更增加了学习数学的兴趣.

3 反思与小结

3.1 关注问题的设置

复习课常常以问题为导向，解题为驱动.有层次、有梯度、系统化的问题能激发学生的求知欲，引发学生深度思考.在“一次函数面积问题”的变式训练中，笔者利用相同的问题背景，对条件进行重新配置与组合，创设有层次的问题，这些问题虽各不相同，但相互联系.从“问题1”到“变式2”层层递进，由简单的“横平竖直三角形”求面积，到“动点”的面积问题，再到平分不规则四边形的面积问题，由“静”至“动”，从“简单”到“复杂”.学生深入思考，使用多种方法解决问题，体验成就感，不断加深对解题思路和技巧的理解，为后续二次函数面积问题的学习作铺垫.

3.2 关注数学思想的渗透

《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求“能够回顾解决问题的思考过程，反思解决问题的方法和结论，形成批判性思维和创新意识”.从“变化的”问题中提炼出“不变的”方法，促进数学思想的内化.“模型思想”：问题1促使学生关注“横平竖直三角形”，后续变式题中的三角形都可通过“分割”或“平行”转化为“横平竖直三角形”来求面积.“方程思想”：利用“未知量”表示动点，利用“等量关系”构建方程，这是解决动点问题的基本思路.“转化思想”：将“普通三角形”的面积转化为“横平竖直三角形”的面积；将“不规则四边形的面积”转化为“三角形的面积”，化“繁”为“简”，化“陌生”为“熟悉”.“转化思想”不僅是有效的思维方式，更在数学的学习过程中扮演着重要的角色.

3.3 关注有针对性的专题训练

“双减”政策对初中课后作业的设计与优化提出了更高的要求.我们要改变当前过量的、低效的、机械的作业训练，提高课后作业质量.笔者认为教师首先要“下题海”，“见识”更多的题目，而仅仅靠做题是不够的，还要对题目进行归纳和整理，将题目的技巧、方法和思路进行总结.课前精选例题，并对例题进行分析、整合、挖掘与拓展，让学生进行有针对性的专题训练，而非盲目地“多做题”;课堂中进行“变式教学”，用问题的多种变式组织课堂架构，将解题方法和数学思想作为贯穿课堂的主线，帮助学生巩固所学知识，提升解题技巧，内化数学思想.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.