平行线分线段成比例定理及其推论在解题中的应用

王雄

摘要：平行线分线段成比例是学习相似的基础，学好平行线分线段成比例可以帮助学生更好地学习相似及相似三角形.基于此，本文中先分别叙述平行线分线段成比例定理与推论的内容，然后分析二者之间的联系，最后通过几道例题说明平行线分线段成比例定理及其推论在解题中的应用.

关键词：平行线分线段成比例；推论；解题

平行线分线段成比例定理一直是学生初学与相似有关内容的一道关卡，在没有充分理解定理与推论的情况下，解题是非常困难的[1].因此，理解平行线分线段成比例定理及其推论，是应用它们解题的重要前提[2].作为一线教师有必要认清这一点，且要想方设法改变教学方式，让学生更深入理解这一内容.基于此，本文中先分别叙述定理与推论的内容，然后分析二者之间的联系，最后通过例题分析展示如何将其应用于解题中.

1 平行线分线段成比例定理及推论

1.1 定理

平行线分线段成比例指的是“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”.如图1所示，直线l1，l2，l3截直线a，b，且l1∥l2∥l3，则可得到：

ABBC=DEEF，

ABAC=DEDF，

BCAC=EFDF.

在应用过程中，应注意以下几个方面：

（1）这里的一组平行线指的是三条两两平行的直线，如图1中的l1，l2，l3.

（2）截线和被截直线不一样.截线通常指两两平行的直线，如图1中的三条l1，l2，l3；被截线通常是指两条直线，如图1中的直线a，b，这两条直线可能平行，也可能不平行.

（3）所有的成比例线段都是指被截直线上的线段，如图1中的AB，BC，AC，DE，EF，DF，与平行线上的线段无关，例如不是图1中的AD，BE，CF.

（4）利用平行线分线段成比例写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上.教学时，可按照如下方法指导学生找准对应的位置：将ABBC=DEEF，ABAC=DEDF，BCAC=EFDF中的AB，DE的位置看成“上”，将BC，EF的位置看成“下”，将AC，DF的位置看成“全”，所以比例式转化为上下=上下，上全=上全，下全=下全.这样一来，学生在遇到这类问题时，只需利用“上下=上下，上全=上全，下全=下全”就可迅速找到对应线段之比.

1.2 推论

所谓平行线分线段成比例的推论，指的是“平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例”.如图2所示，在△ACF中，如果BE∥CF，那么可得到：

ABBC=AEEF，

ABAC=AEAF，

BCAC=EFAF.

在应用推论的过程中，

应注意以下几个方面：

（1）推论中包括和“两边的延长线”相交，

“两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线.

（2）成比例线段不涉及平行线上的线段，即

不包括图2中的BE，CF.

（3）当两条被截直线相交时，其交点处可看作含一条隐形的平行线.

2 定理和推论之间的关系

对比图1和图2，不难发现，定理和推论之间存在一定的联系.可以确定的是，推论是在定理的基础上进一步推导、演变而来.所以，定理是基础，推论是拓展.那么如何理解这种演变，是教师引导学生在三角形中进一步认识定理的关键.

为此，笔者将从“当两条被截直线相交时，其交点处可看作含一条隐形的平行线”出发，着力体现这一变化过程.

现对图1做如下处理：

如图3所示，过点D作AC的平行线，分别交l2，l3于点H，N，此时就出现了如图2的△DNF.

在图3中，易证得四边形ABHD和四边形BCNH是平行四边形，所以AB=DH，BC=HN.于是，可将图3中的比例式变式为图4中的比例式.简而言之，只要按照这种方法，将A和D两个点通过平移的方法形成一个点，继而就可将图1中的比例式转化成图2中的比例式，这就是定理向推论的转变.

3 例题分析及反思

3.1 例题分析

例  如圖5，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（  ）.

A.AEEC=EFCD

B.EFCD=EGAB

C.AFFD=BGGC

D.CGBC=AFAD

解析：在△ABC中，GE∥AB，根据平行线分线段成比例的推论，按照“上下=上下，上全=上全，下全=下全”的思路，可得CEAE=CGBG，CEAC=CGBC，AEAC=BGBC.同理，在△ADC中，也可得AFDF=AEEC，AFAD=AEAC，DFAD=ECAC.

于是AFDF=AEEC，CEAE=CGBG.

即AFDF=AEEC，AEEC=BGGC.

所以AFFD=BGGC

故选答案：C.

3.2 反思

从例题的解法中不难看出，利用平行线分线段成比例定理是基础，且在两个不同三角形中应用推论，从而找到“AFDF=AEEC，AEEC=BGGC”中的“桥梁”——AEEC，继而得到AFFD=BGGC.解题思路比较灵活，如果学生没有学会平行线分线段成比例定理及其推论，将很难解决本题.

另外，学生在根据平行线分线段成比例定理列比例式时很容易犯“未对应”的错误.“对应”是学习与应用平行线分线段成比例定理时非常重要的前提，是逻辑思维与几何直观在该知识点上的体现.其实，这一点与全等三角形类似，全等三角形也需要找准对应点和对应边.因此，教师不妨根据纠正全等三角形中对应错误的思路去纠正列比例式时出现的错误，从而帮助学生找准对应边，逐步解决逻辑思维混乱的问题.

由此说明，作为一线教师，在讲授新知识时一定要体现新旧知识之间的联系[3].只有在旧知识上不断启发学生的思维，才能让学生更容易理解新知，才能将新知理解和应用得更好[4].

总而言之，平行线分线段成比例定理及其推论可以是原型与变式之间的关系，也可以是基础与拓展之间的关系，同时也可以看成是新旧知识相互衔接和渗透的关系.这就要求一线教师在日常教学中，要注重新旧知识间的联系，以此让学生不断深化对知识的理解，为日后的应用奠定基础.

参考文献：

[1]谢裕宏.重视教材“探究活动”，专业自主增设课时——李庾南老师“平行线分线段成比例”课例赏析[J].中学数学，2015（8）：32-33.

[2]陈建均.微话题研讨：寻找素材，追求和谐——以“平行线分线段成比例的基本事实”的探究为例[J].中学数学，2016（6）：21-23.

[3]胡孟.让学生体会“基本事实”的合理性——以“平行线分线段成比例”基本事实的探究为例[J].湖南教育（C版），2019（3）：46-47.

[4]蔡凤玲.利用“三同一不同”法巧记《平行线分线段成比例定理及推论》[J].数学学习与研究：初中，2002（7）：16-17.