几何构造法在初中数学解题过程中的妙用

李琴霞

摘要：针对初中数学解题过程中常见的数学问题，巧妙利用几何构造法突破并巧解几种特殊角的三角函数值、线段比例问题、三角形角与线段关系、代数最值问题、几何最值问题，提升学生数学解题能力与综合素养.

关键词：几何构造；初中数学；解题过程；巧妙运用

构造法是一种富有创造性的解题方法，它很好地体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、试验、探索、归纳、概括、特殊化等重要的数学方法.

利用构造法解题的思维模式是建立在灵活运用数学思想方法的基础之上的，效果独特，思维跨度之大，有时出乎意料，但构造不是轻而易举之事，只有对数学知识有深刻的理解，把握其内在联系，这样才会从“山重水复”至“柳暗花明”.特别是在构造一些特殊几何图形的过程中，能更加巧妙地突破难点，解决相关问题.本文中归纳了初中数学解题过程中几种几何构造法的巧妙运用.

1 构造直角三角形巧解特殊角的三角函数值

例1  求sin 15°，cos 15°，tan 15°的值.

针对此类问题，我们一般都是利用相关工具书来解答，直接求出它们具体值的大小有些困难，但如果考虑到构造直角三角形则可以巧妙破解这类问题.

如图1，先构造Rt△ABC，令∠BAC=30°，∠C=90°，再延长CA至点D，使得AD=AB，连接BD，这样再次构造了直角三角形BCD，从中可以计算得到∠D=15°，从而利用线段之间的关系可求解sin 15°，cos 15°，tan 15°的值.

同样地，根据上述构造方法，也可以求出75°和22.5°的三角函数值.

2 构造最短路径模型巧解代数最值问题

例2  已知x为实数，则x2－4x+13+x2+2x+2的最小值为.

遇到此类问题，很难一下子找到解题思路.但是根据题意发现，x2－4x+13与x2+2x+2可以转化为（x－2）2+32与（x+1）2+12.根据式子结构特点可以看作点P（x，0）到点A（2，3）和点B（-1，1）的距离之和.

于是，建立平面直角坐标系xOy，如图2，点P在x轴上，[KF（]（x-2）2+3+（x+1）2+1

即表示点P到点A，B的距离和，求其最小值，符合最短路径问题，从而建立将军饮马模型，巧妙解答此题.

3 构造相似三角形巧解线段比例问题

在解答求长度、比值、乘积的问题时，常要借助相似三角形的性质，这就需要在问题情景所体现的图形中找到相似三角形.如果没有明显的相似三角形模型，则需要根据条件构造相似三角形[1].

例3  如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2.D为边AB上的一点，连接CD，且tan ∠BCD=12，E为BC的中点，连接AE交CD于点F，求EFAE的值.

遇到此类问题，很难一下子找到求EF和AE的值的思路.如图4，根据E是BC的中点，按常规思路可以延长中线构造全等三角形.故延长AE至点K，使EK=AE，连接CK，得到△ABE≌△KCE，则∠BAE=∠CKE，从而得到AB∥CK.于是得到△ADF与△KCF是相似三角形，则AFFK=ADCK，再结合tan ∠BCD=12设出EF的长度，构造方程求出相应线段的大小，从而问题得解.

4 构造三角形中位线巧解角的有关问题

当问题条件中出现两个或两个以上的中点条件时，常常可将它们分别看成是三角形两边的中点构造第三边或者搭建具有公共边的两个三角形，使其能构造出两个三角形的中位线，并转化为相等的两条边，从而转化为等腰三角形，进而解决角的有关问题[2].

例4  如图5，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME=∠CNE.

看到这个问题，我们发现∠BME和∠CNE没有直接联系，故不好直接比较两个角的大小，但我们看到题干中多次提到了中点，而点E，F又不能直接连在一起形成中位线，所以此时可以根据它们所在的位置，重新构造线段.如图6，连接BD，取BD的中点为H，连接HE，HF，从而构造了两个三角形的中位线，很容易根据AB=CD得到HE=HF，从而得到∠HFE=∠HEF.又∠HFE=∠BME，∠HEF=∠CNE，所以∠BME=∠CNE，问题得证.

5 构造全等三角形巧解线段问题

如图7，四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与点A重合，将此三角板绕点A旋转时，两边分别交线段BC，CD于点M，N，试判断BM，MN，DN长度的关系.

对于几条线段长度之间的关系，解题时不可能采用测量的办法，这就需要通过线段的位置进行转化，将它们放在一条线段上或者一个三角形中，故需要重新构造三角形才能突破难点，将问题化繁为简.于是过点A作AG⊥AN交CB的延长线于点G（如图8），证明△ABG≌△ADN（ASA），由全等三角形的性質得出AG＝AN，BG＝DN．再证明△AMG≌△AMN（SAS）．由全等三角形的性质得出MN＝MG＝MB+BG＝MB+DN.

6 构造圆巧解几何最值问题

例5  如图9，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为1，试求线段DH长度的最小值．

几何动态最值问题，最好的解决办法就是根据题意化动为静，确定取得最小值时的静态问题，从而借助相关条件可以得到解答[3].根据条件很容易证明△ABE和△DCF全等，△ADG和△CDG全等，从而可得∠ABE=∠DCG，∠DCG＝∠DAG，则∠ABE＝∠DAG，然后求出∠AHB＝90°.这样不管EF如何运动，H都是以AB为斜边的直角三角形的顶点，故可以考虑构造圆.如图10，以AB的中点O为圆心，以AB为直径在正方形内部作半圆，连接OD交半圆于点H′，此时DH′即为DH的为最小值，再利用相关条件即可求解.

综上所述，可以看出构造法在解决一些问题过程中的巧妙之处，这就需要教师在教学中要特别注意构造几何图形，再借助数形结合突破问题难点，让学生从疑难之中解脱出来，提高分析解题的能力，从而更好地借助训练提升综合素养.

参考文献：

［1］王春凤.挖掘题目信息 构造几何模型——例谈直观想象素养的培养[J].中学数学教学参考，2020（Z3）：3-4.

[2]宋亚洲.构造几何模型 巧解竞赛难题[J].中学生数学，2021（17）：33-34.

[3]铁馨.“构造法”在数学解题中的运用[J].中学生数理化（学习研究），2016（10）：13.