巧用瓜豆原理，破解初中数学路径问题

许志强

摘要：本文中以常见的动态问题为例归纳了瓜豆原理的简单运用，主要从动态变化过程中出现的全等型、位似型和旋转型等几种变化形式进行分析，问题研究符合初中学生思维发展要求，借助此原理的研究，提高解决动态压轴问题的能力，提升数学综合素养.

关键词：瓜豆原理；压轴难题；模型特征；双动点问题；动态问题

1 瓜豆原理

我们所说的“瓜豆原理”是数学问题中的一个动态问题——主从联动.这类问题涉及到路径问题，因此利用本模型解题，首先要明确“主动点”的路径，再结合具体的问题分析“主动点”和“从动点”之间的关系，之后确定“从动点”运动路径的形状，最终达到顺利解题的目的.

1.1 模型特征

瓜豆原理实际上就是数学中的轨迹问题，它所涉及到的动点有两个，一个看作是“瓜”，一个看作是“豆”，“主动点”是“瓜”，“从动点”是“豆”，根据瓜运动的情况来判断豆的变化轨迹，从而根据主动点运动过程中的特殊位置变化，突破从动点运动的路线，将动态问题转化为静态问题进行解答.

1.2 模型思路

利用瓜豆原理解题，一般要做好以下五步：第一，根据问题情境确定主动点，并简单作出主动点的运动轨迹；第二，确定从动点，判断其与主动点之间的变化关系；第三，根据运动情况确定主动点的特殊位置，一般是起点或者终点位置；第四，根据问题要求确定主动点的变化特点，从而明确从动点的运动情况，再确定从动点的轨迹；第五，根据从动点运动的轨迹利用相关知识进行解答，往往涉及长度、最值等问题.

2 原理应用

这类模型在应用过程中往往涉及到全等、位似及其旋转的知识，故笔者从这三种模型分析瓜豆原理在初中数学压轴问题中的破解方法.

2.1 全等模型

模型探究：如图1，P为△ABC边AC上的一点，以BP为边长向一侧作特殊三角形BPE（一般为等边三角形或等腰直角三角形等），当点P由点A运动到点C时，判断点E的运动路径.

结论：根据上述图示2，首先确定点P运动的起点和终点，确定好相对应的点E的位置，分别记为点M，N，则MN即为点E的运动轨迹.连接BM和BN，根据特殊三角形的性质，可以判定△ABC与△BMN全等，进而得到MN=AC.

典型例题1  如图3，在等边三角形ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边三角形DPF，当点P从点E运动到点A时，试求点F运动的路径长．

分析：如图4，连接DE，作FH⊥BC于点H，根据等边三角形的性质得∠B＝60°.过点D作DE′⊥AB，则BE′＝12BD＝2，则点E′与点E重合，所以∠BDE＝30°，DE＝3BE＝23.接着证明△DPE≌△FDH，得到FH＝DE＝23，于是可判断点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为23.当点P在E点时，作等边三角形DEF1，则DF1⊥BC；当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于点Q，则△DF2Q≌△ADE.所以DQ＝AE＝8，从而F1F2＝DQ＝8.于是得到，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．

2.2 位似模型

模型探究：如图5，P为线段BC上一动点，A为定点，连接AP，取AP上一点Q，当点P在BC上运动时，如图6，线段EF即为点Q的运动路径．

结论：根据上述图示6，可以进一步得到EF∥BC，从而可以确定△AEF与△ABC相似，进而得到AQAP=EFBC.

拓展探究：点P若在一圆（或弧线）上运动时，点Q的运动轨迹也是成为圆（或弧线）.

典型例题2  如图7，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，求PB的最小值．

分析：如图8，根据中位线定理可得点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可知当BP⊥P1P2时，PB取得最小值.由矩形的性质及已知数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为线段BP1的长，由勾股定理求解即可．

典型例题3  如图9，在平面直角坐标系中，点P（3，4），⊙P的半径为2，A（2.6，0），B（5.2，0），M是⊙P上的动点，C是MB的中点，试求AC的最小值．

分析：如图10，连接OP交⊙P于M′，连接OM．因为OA＝AB，CM＝CB，所以AC∥OM，于是AC＝12OM.故当OM最小时，AC最小.因此当点M运动到点M′时，OM最小.由此即可解决问题．

2.3 旋转模型

模型探究：如图11所示，A为定点，∠PAQ为定值，APAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，则点Q的运动路径也是直线.

结论：如图12，当∠PAQ<90°时，直线BC与MN的夹角等于∠PAQ.

拓展探究：如图13，A为定点，∠PAQ为定值，APAQ为定值，当点P在⊙O上运动时，则点Q的运动路径也是圆（如图14虚线所画⊙M）.

结论：∠PAQ=∠OAM；APAQ=AOAM=OPMQ.

典型例题4  如图15，已知扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120°，C是AB〖TX（〗上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，求点D经过的路径长．

分析：如图16，延长BO交⊙O于点F，取BF〖TX（〗的中点H，连接FH，HB，BD．易知△FHB是等腰直角三角形，则HF＝HB，∠FHB＝90°.由∠FDB＝45°＝12∠FHB，推出点D在⊙H上的运动路径是GB〖TX（〗，易知∠HFG＝∠HGF＝15°，推出∠FHG＝150°，进而得到∠GHB＝120°，易知HB＝32，利用弧长公式即可解决问题．

3 模型反思

上述模型问题的研究，实际上考查了学生对问题的操作经历的体验，既考查了学生的观察力和思考力，更重要的是对学生应用能力的檢验，又要结合问题情景，对号入座，灵活应用.根据问题所展示的相关内容，对瓜豆原理进行如下总结：其一，两动点之间的变化关系一致；其二，两动点运动路径的比例关系一致；其三，运动过程中路径的形状与大小的变化及其特殊位置的确定.

综上所述，瓜豆原理在形式上和解法上给我们提供了简单而又易操作的解题方法，可谓是“种瓜得瓜，种豆得豆”.但是，仅仅掌握这些还不够的，还需要我们在数学学习中深入研究，不断积累数学经验，能从问题情境中获得直观感受，从而构建数学认知结构，获得模型意识和模型思想，并在解题训练过程中不断进行迁移拓展，形成数学思维，提升数学综合素养.

参考文献：

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