感悟等号意义 提高运算能力

于莎

摘要：学生在等式的计算中常常容易出错，因此在教学中要引导学生理解运算的算理，寻求合理简洁的解决问题的途径.学生对等号的意义有了深刻的理解和感悟，才能够提高运算能力，培养严谨的学习品质.

关键词：等号的性质；运算能力

等号是数学中常见的运算符号，与等号相关的计算是代数学习的基础.等号是用来表示左右相等关系的，如果等号两边的数字、字母或者式子不对等，学生往往会因为对等号的理解不深刻，导致解题出现错误.

等号的对等性是数值大小的相等，计算的关键在于不改变数值的对等性.围绕这一对等性，进行移项、去括号、添括号、配方、约分等运算是代数运算的法则和基础.

1 学生计算中常出现的问题以及解决策略

1.1 运用配方法时只对等号一边进行运算

例1  解方程：3x2+8x－3=0.

常见错解：原方程可变形为3x2+8x=3，则

x2+83x=3，

x2+83x+169=3，

x+432=3.

于是x+43=3，x+43=－3.

所以x1=3－43，x2=－3－43.

错解分析：学生解一元二次方程时，通常比较注重配方，但往往忽视了与等式性质的结合.在将二次项系数化为1进行配方时，容易忽略等号的右边也要进行同样的运算，计算过程中等号应两边始终保持相等.配方运算是建立在等式的基本性质之上.

在教授配方法解一元二次方程时，教师要强调等式的性质.将二次项系数化为1，不是仅仅对二次项系数化为1，而是要运用等式的性质2，将等式中的每一项都除以二次项系数，这一过程没有改變等号两边的平衡.运用完全平方公式进行配方时，配方的过程运用的是等式的性质1，方程两边要同时加上一次项系数一半的平方.教学中要让学生明白算理，展现前后两个算式的形和大小是如何变化的.

正解：将方程二次项系数化1，得x2+83x－1=0.

移项，得x2+83x=1.

配方，得x2+83x+432=1+432.

即x+432=532.

所以x+43=53，或x+43=－53.

故x1=13，x2=－3.

分析：等式的性质是等式固有的运算规律，代数中的很多运算都要用到等式的性质.灵活运用等式的性质是解决方程问题的关键，也是一些化简求值题的关键.

例1中将方程两边同时除以3把二次项系数化为1，运用的是等式的性质2，要让学生明白等号的右边不是没有除以3，只不过0除以任何数都是0.配方运用的是等式的性质1，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，学生经常出现的错误是左边加了而右边没加.

例2  求二次函数y=－12x2+x－52的顶点坐标和对称轴，并画出函数图象.

无论是人教版还是鲁教版，课本中的例题都没有呈现如何将二次函数一般式转化为顶点式.实际教学中，转化运算是难点，也是易错点.由于这部分内容是在学生学完利用配方法解一元二次方程后学习的，学生有了一定的基础，可类比计算，但两者有不同之处.一元二次方程等号一边是0，而二次函数等号一边是y，计算过程中，一元二次方程若不能直接配方，则将常数项移到等号的右边，而二次函数的一边是y，学生不知如何运算.将二次函数一般式化为顶点式有如下三种方法.

方法1：y=－12x2+x－52=－12（x2－2x）－52

=－12（x2－2x+1）+12－52

=－12（x－1）2－2.

方法2：y=－12x2+x－52=－12（x2－2x+5）

=－12（x2－2x+1－1+5）

=－12（x2－2x+1）－2

=－12（x－1）2－2.

方法3：将二次项系数化为1（等式两边同时乘-2），得－2y=x2－2x+5.

移项，得－2y－5=x2－2x.

配方，得－2y－5+1=x2－2x+1，则－2y－4=（x－1）2，即－2y=（x－1）2+4.

两边同时除以-2，得y=－12（x－1）2－2.

分析：方法3与用配方法解一元二次方程类似，可类比学习，这样学生更易理解.方法1和方法2的不同之处在常数项的处理上面，两种方法区别不大，用的都比较多.学生类比配方法解二次函数的相关问题时，常常出现的问题是等号右边二次项系数化为1，而等号左边的y保持不变.究其根本原因是没有深刻理解等式的性质.提取二次项系数后，括号里面要配方，还要把多余的数字再与二次项系数相乘后放到括号外面，这里十分容易出错.教学中要让学生明白等号之所以成立，是因为两边的变形改变的只是形式，没有改变大小.二次函数一般式化为顶点式后，教师可再次引导学生将顶点式通过去括号化为一般式，让学生感受其中的变化，深刻理解等号的意义.

1.2 解一元一次方程去分母常出现的问题

例3  解方程：3x－14－1=5x－76.

例3是解分式方程常出现的习题类型，学生在解这个方程时，常常忘记1也要乘最小公倍数12.很多学生以为去分母只是去掉3x－14和5x－76这两项的分母.教学时应让学生明白为何去分母以及去分母的依据，只有深刻理解等号的意义，才能避免计算错误.

例4  解方程：x－30.4－x+20.5=2.5.

学生解例4时，与例3混淆了，将分式的分子分母同时乘10时，等号的右边2.5也乘了10.学生看到分母中有数字，就认为要找最小公倍数，而之前并没有学习过两个分数之间的最小公倍数，因此这个题学生无从入手.例4课本中的做法是首先通过分数的基本性质，将等式中的小数转化为整数.学生出现的问题是将等号左边分式的分子、分母乘10时，等号的右边2.5也乘了10，错误地得到10x－304－10x+205=25.分数的基本性质也是等号意义的体现，解这个题时，可先以0.20.5=25=410=615=0.4是如何进行等量转化的来引导学生，让学生感受分子、分母同时变化，分数的值是不改变的.x－30.4和x+20.5运用分数的基本性质整理后，没有改变大小，讲解时，可将二者上下对比，得到如下方法一.

方法一：

x-30.4  -  x+20.5=2.5

10x-304-10x+205=2.5

针对这个题，也可以拓展一下，由两个分母0.4，0.5的最小公倍数为2，得到如下方法二.

方法二：将方程x－30.4－x+20.5=2.5

去分母（分母乘最小公倍数2），可得5（x－3）－4（x+2）=5，解得x=28.

方法三：分别对x－30.4和x+20.5进行如下化简，得

x－30.4=（x－3）÷0.4=（x－3）÷25=5（x－3）2，

x+20.5=（x+2）÷0.5=（x+2）÷12=2（x+2）.

整理，得5（x－3）2－2（x+2）=2.5.

例4的三种方法可以使学生充分理解等号的意义，等号之所以相等，体现在数值的不变性上.运用等式的基本性质对式子左右两边进行整体运算，运用分数的基本性质对式子进行局部化简.

1.3 解分式方程与分式的运算中出现的问题

例5  （1）计算：4x2－4－1x－2.

（2）解方程：1x－2=3x.

学生进行分式的加减时，常与解分式方程发生混淆，根源还在于没有理解等号的意义以及运算法则.学生学完解分式方程后进行异分母分式的加减，会按照解分式方程的步骤乘最简公分母去掉分式的分母.分式方程是等式，解分式方程与例3解一元一次方程方程是类似的，运用的都是等式的性质;而分式的加减不是等式，运用等式的性质显然是错误的，应该运用分式的基本性质.

2 教学中要多角度理解等号的意义

2.1 等式的运算只是形的改变，是等量转化

例6  若3x+5y－3=0，求8x·32y的值.

可将8和32转化为23和25，改变了形，将数字转化为幂的形式，进行等量转化，运用的是转化思想，没有改变数值的大小.

8x·32y=（23）x·（25）y=23x·25y=23x+5y=23=8.

2.2 等号的左右相等可进行互逆运算

例8  已知x－2y=3，求代数式3－2x+4y的值.

分析：去括号与添括号、整式的乘除与因式分解等等都可看做互逆运算.学生对于去括号的运算学习容易理解，添括号就难一点.例8这个习题在六年级的习题中经常考查，包含了添括号和整体思想.3－2x+4y=3－（2x－4y）=3－2（x－2y）=3－2×3=－3.

計算过程中，虽然出现了括号，形式发生了改变，但大小没有改变，教学中可进行互逆转化，让学生深刻感受等号的意义.

2.2 借助等号的意义实现简便运算

例7  解方程：（1）96 000x=102 000x+500；

（2）1 400x－14002.8x=9.

实际问题中方程的数值都比较大，学生计算容易出现错误.运用等式的性质或者分数的基本性质可使运算更加简便.

（1）对于方程96 000x=102 000x+500，等式两边同时除以2 000，可化简为48x=51x+500.

（2）对于方程1 400x－1 4002.8x=9，可运用分数的基本性质将其化简为1 400x－500x=9，从而使计算量大大减少.

等号的意义不仅仅在于表示运算的结果，更要让学生理解其中的算理.学生虽然已经有一定的抽象运算能力，但很大程度上还停留在具体数字的运算层面，初中学生的思维正处在从具体到抽象的过渡期.因此，教师在授课时，要注意借助具体、形象的模型或事物帮助学生理解问题，促进其数学推理能力的发展.

运算能力是初中数学核心素养之一，提升运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的途径解决问题.学生对等号的意义有了深刻的理解和感悟，才能够提高运算能力，培养严谨的学习品质.