一题多解 发散思维

张长青

摘要：新课程改革要求课堂教学不能停留在知识传授层面，而应该深入到学生素养的培养、发展与提升上.初中数学是一门逻辑性非常强的学科，对学生的数学思维具有一定的要求.为了让学生的思维常学常新，教师需想方设法培养学生的发散性思维.本文中从一道菱形试题的一题多解出发，尝试在渗透数形转化的过程中让学生的思维得到发散.

关键词：思维；数形转化；一题多解；菱形

在课堂教学时，笔者经常有这样的经验：如果学生的思维受限严重，那么数学课堂氛围将会异常沉闷，而如果学生的思维比较灵活，那么课堂教学效果也会得到提升.由此可见，课堂教学不应只是传授知识，而更应该培养学生的发散性思维.本文中从一道菱形试题出发，尝试研究通过渗透数形转化、一题多解的方式提升学生的思维能力.

1 数形转化与思维发散之间的关系

数形转化是解决数学问题非常重要的一种思想或方法，也就是将“数”与“形”进行转化，借助直观图形对抽象的问题进行分析并最终解决问题.发散思维强调多角度分析问题及多方法解决问题，而当分析的问题比较抽象、复杂时，往往需要利用数形转化思想具体化或简化问题.

因此，笔者认为数形转化是思维发散的过程，而思维发散是数形转化的结果.

下面，借一道例题进行分析和说明：

例题  如图1所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.

求证：四边形EFGH是菱形.

本题需要证明四边形EFGH

是菱形，而所给的条件只有菱形ABCD和四条线段的中点.很显然，需要仅仅抓住“中点”这一“数”的特点，并与“菱形”这一“形”结合起来分析问题.那么，此题如何体现出数形转化与思维发散之间的关系？

首先，应明确各条件所能得到的结论有哪些，如由“菱形ABCD”可得四边形ABCD的四条边都相等、对角线互相平分且垂直、两组对边分别平行且相等、对角线平分一组对角等.“菱形ABCD”是“形”，而边相等、角相等都是“数”量关系，是通过“形”推理出“数”.

然后，由“点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点”可证得EF，FG，GH，HE分别是△AOB，△BOC，△COD，△DOA的中位线，再结合三角形中位线定理即可证得四边形EFGH是菱形．“点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点”是“数”，而证得“四边形EFGH是菱形”是“形”，是通过“数”推理出“形”.

发散思维是一种不依常规、寻求变异、从多方面寻求答案的思维方式.

那么，如何发散学生的数学思维与渗透数学转化思想呢？由于菱形的判定定理非常多，因此可从多种思路出发，尝试一题多解，最终让问题得到解决.

2 一题多解及评析

根据上述分析，本题的解法非常多.在实际课堂教学中，主要出现了以下三种解法.

证法一：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA.

∵E是OA的中点，F是OB的中点，

∴EF是△AOB的中位线.

∴EF∥AB，EF=12AB.

同理，可得GF∥BC，GF=12BC；

HG∥DC，HG=12DC；

HE∥AD，HE=12AD.

∴EF=GF=HG=HE.

∴四边形EFGH是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）.

证法一紧紧抓住“点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点”这个条件，积极利用三角形中位线定理和菱形的性质，通过证明四条边都相等得到四边形EFGH是菱形.可以说，靶向定位准确、思路清晰明了，过程层次分明，内容通俗易懂，是这种解法最大的特点.

证法二：∵E是OA的中点，F是OB的中点，

∴EF是△AOB的中位线.

∴EF∥AB，EF=12AB.

同理，可得HG∥DC，HG=12DC.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥DC，AB=DC.

∴EF=HG，EF∥HG.

∴四边形EFGH是平行四边形.

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC.

∴四边形EFGH是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.

证法二先根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形EFGH是平行四边形，然后结合菱形ABCD的性质“菱形的对角线互相垂直”得到BD⊥AC，最后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证得四边形EFGH是菱形.其中，菱形的性质与判定的灵活使用是重要前提，如果性质与判定搞混淆了，将会给解题带来极大的困扰[1].

证法三：∵E是OA的中点，F是OB的中点，

∴EF是△AOB的中位线.

∴EF∥AB，EF=12AB.

同理，可得HE∥AD，HE=12AD.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD.

∴HE=EF.

∵H是OD的中点，G是OC的中点，

∴HG=12DC，HG∥DC.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=DC，AB∥DC.

∴EF=HG，EF∥HG.

∴四边形EFGH是平行四边形.

∴四边形EFGH是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

证法三先结合菱形的性质、三角形的中位线定理证得一组邻边相等，即HE=EF，

然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形EFGH是平行四边形，

最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”证得四边形EFGH是菱形.该判定方法与前两种判定都不同，抓住菱形与平行四边形之间的区别是解决这类问题的关键.

3 总结与启示

首先，从题目要证明的结论出发，引导学生思考具体能根据哪些判定进行证明.如本题的结论是“四边形EFGH是菱形”，那么让学生思考菱形的判定方法有哪些，这样就给学生解决问题提供了重要启示.

然后，结合菱形的判定寻找条件.如果根据“四条边都相等的四边形是菱形”来证明，那么需要证明四条边都相等.如果根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”来证明，那么需要证明四边形是平行四边形且对角线互相垂直.如果根据“一組邻边相等的平行四边形是菱形”来证明，那么需要证明四边形是平行四边形且一组邻边相等.

最后，继续探究如何根据已知条件证明所需条件.例如，如果根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”来证明，那么题中有哪些已知条件可证明一组邻边相等，又有哪些条件可证明四边形是平行四边形.如此下去，将每个所需条件根据已知条件全部证得即可.

需注意的是，在以上三种不同的解法中，菱形的性质和判定都有体现，注意区分菱形的性质和判定是正确解决该问题的关键.因此，在讲完性质和判定之后，笔者认为应将性质与判定之间的区别讲清、讲透，让学生将性质与判定完全区分开，否则在解题时极易混用[2].

总之，像本文展示的例题一样，有些题目的思维突破口非常多，但因其综合程度较高，其中包含了许多其他的知识点，所以无形中提高了解题难度，学生解答的准确性也随之降低.因此，在日常教学中注重基础知识的夯实与借助变式、一题多解等训练学生的思维非常有必要.

参考文献：

[1]张静，张晗煜，贺媛.数学习题教学策略之“一题多解”[J].新教育时代电子杂志（学生版），2019（31）：257-258.

[2]苏猛.从一道课本例题谈“一题多解”对学生数学思想方法的培养[J].内蒙古教育（职教版），2013（10）：67-68.