例析两类与菱形有关的动点问题的解决策略

石宏丹

摘要：菱形中的动点问题时常出现，是学生学习与菱形有关的知识点的一道关卡.本文中主要介绍两类与菱形有关的动点问题，并以例题分析的形式探讨这两类问题的解决策略.

关键词：菱形；动点问题；面积；策略

在与菱形有关的动点问题中，求图形的面积、根据图形的形状求时间是两大主要类型.求图形的面积是以动态的视角讨论面积变化趋势，而根据图形的形状求动点运动的时间则比较多见，是动点问题中比较有代表性的类型[1].无论是哪种类型，难度都较大，多数学生不容易掌握.所以，教师积极探究其解决策略显得尤为必要.基于此，本文中特选此两类问题进行解决策略的探讨，即根据点的运动情况求面积、根据点的运动情况求时间，一方面为一线教师解决教学难点提供广泛的素材，另一方面，帮助学生扫除学习障碍.

1 根据点的运动情况求面积

例1  如图1，在等腰三角形ABC中，BC=AB=5 cm，AC=6 cm.现将△ABC向右平移，使得点B与点C重合，点D与点C、点E与点A分别是对应点.连接BE和AC并交于点O.

（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；

（2）如图2，在线段BC上有一个动点P（在运动时不与点B，C重合），连接PO并延长，使之与线段AE相交于点Q.过点Q作BD的垂线，垂足为R.试分析在点P运动的过程中，四边形PQED的面积的特点.

分析：（1）首先，根据图形的平移可证得四边形ABCE是平行四边形；然后，结合AB=BC，利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”证得它为菱形.（2）四边形PQED的面积不变，始终是24 cm2.

解：（1）四边形ABCE是菱形．

∵将△ABC向右平移，使得点B与点C

重合，点D与点C、点E与点A分别是对应点，

∴EC AB.

∴四边形ABCE是平行四边形.

∵BC=AB，

∴四边形ABCE是菱形.

（2）在点P运动的过程中，四边形PQED的面积不变，始终是24 cm2.

理由如下：

由（1）可知，四边形ABCE是菱形.

∴BE⊥AC，OC=12AC.

∵AC=6 cm，

∴OC=3 cm.

∵BC=5 cm，

根据勾股定理，易得BO=4 cm.

如图3所示，过A作BC的垂线，垂足为H.

∵S△ABC=12BC·AH=12AC·BO，

∴AH=245 cm．

∵四边形ABCE是菱形，

∴易证得△PBO≌△QEO.

∴BP=QE.

∴S四边形PQED=12（QE+PD）·QR

=12（BP+PD）·AH

=12BD·AH

=12×10×245

=24（cm2）．

方法总结：根据点的运动情况求图形的面积，首先需分析点的运动特点，将其中几种运动的情况分析出来，然后从整体上把握图形形状的变化及面积的变化过程[2].在分析出图形的形状之后，可利用如下两种方法求图形的面积：

（1）根据面积公式求.如果是规则图形，则按照规则图形的面积公式直接求出即可.

（2）利用若干个面积之间的关系求.如果图形的形状不规则，则利用若干个面积之间的关系求，即把不规则的图形分割成若干个规则图形，然后求出若干个小规则图形的面积，再将它们的面积相加或相减.

2 根据点的运动情况求时间

例2  如图4，在△ABC中，AB⊥BC，∠C=30°，BC=53.在CA和AB上分别有两个动点D，E，它们的速度分别是每秒2个单位长度和每秒1个单位长度，且运动方向如图示.过点D作DF⊥BC，垂足为F，并连接DE和EF．现规定：D，E两点都进行匀速运动，且当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设兩个动点的运动时间是t秒（t＞0）．

（1）试判断：四边形AEFD可能是菱形吗？如果可能，请求出相应的t值.

（2）试判断：△DEF可能是直角三角形吗？如果可能，请求出相应的t值.

分析：（1）证明一个四边形为菱形，通常先证明该四边形为平行四边形，然后结合邻边或对角线的特点，利用相关的判定定理就可以证得该四边形为菱形.

（2）先从结论出发逆推，根据分类讨论思想进行分析，最后总结即可.

解：（1）四边形AEFD可能是菱形．

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴DF∥AE．

∵AE=t，CD=2t，且∠C=30°，

∴AE=DF=t.

∴四边形AEFD是平行四边形．

∵AB=BC·tan 30°=5，

∴AC=10.

∴AD=AC-DC=10-2t．

∴t=10-2t．

故t=103.

（2）△DEF可能是直角三角形.

①当∠EDF为直角，四边形EBFD就是矩形．

∵∠ADE=∠C=30°，

∴10-2t=2t.

故t=52．

②当∠DEF为直角时，∠ADE=∠DEF=90°．

∵∠A=90°-∠C=90°-30°=60°.

∴AD=AE·cos 60°=12t.

∴10-2t=12t.

故t=4.

③当∠EFD为直角时，该情况不存在．

综上所述，当t=52或4时，△DEF是直角

三角形．

方法总结：根据图形求运动时间最关键之处在于找准图形的特点，然后据此列方程并求解.在此过程中，可能会因为图形的形状发生变化而需要分类讨论.对于这类问题，可按如下过程解决：

首先，针对每种类型画出相应的图形，并利用图形分析相应的情况；

然后，将分析的情况进行总结，便得到了符合题意的解决过程.

综上所述，求图形面积通常会在菱形中有运动点的情况下讨论图形面积的变化特点，而图形的面积变化主要是由点的运动造成的.根据图形的形状求运动时间，是菱形中动点问题的典型代表，需根据这些图形的性质找到等量关系，然后利用等量关系列方程并求解.这些都是转化思想、数形结合思想或分类讨论思想的体现，教学中教师不应仅局限于问题的分析，而应该充分发展学生的数学思想.

参考文献：

[1]钱华.菱形何时有？——菱形动点问题品赏[J].中学生数理化（八年级数学）（配合人教社教材），2022（Z2）：30-31.

[2]仇玉祥.“动中求静，处变不惊”——与函数有关的动点问题解题策略[J].新高考（升学考试），2017（5）：30-31，61.