一道与旋转有关的动点最值问题的探究

李幽兰

初中平面几何中，由图形运动而产生的最值问题历来是学生解题的难点，究其原因是图形一直在变化，学生无法捕捉到运动变化背后“不变”的元素，难以分析出取最值时变化元素的位置，也就无法根据具体图形分析求解[1]．其中，与旋转有关的动点求最值问题，热度一直高居不下，近几年常“驻”各地中考选填题和几何综合题的压轴位置，令莘莘学子头疼畏惧.下面笔者分享一道题目的解法和变式的深入探究，希望给读者一点启发.

题目  （武汉蔡甸2021＼5第10题）如图1，在平面直角坐标系中，Q是直线y=－12x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q′，连接OQ′，则OQ′的最小值为（  ）.

A．455

B．5

C．523

D．655

解法1：（坐标法）分别过点Q和Q′作x轴的垂线，垂足分别为点M和N，如图2.

于是∠QMP=∠PNQ′=90°，则

∠PQ′N+∠NPQ′=90°.

因为∠QPQ′=∠QPM+∠NPQ′=90°，则

∠PQ′N=∠QPM.

又PQ=Q′P，所以

△PMQ≌△Q′NP（AAS）.

故PM=Q′N，QM=PN.

设Qa，－12a+2.因为

P（1，0），所以

PM=Q′N=a－1，QM=PN=－12a+2.

于是ON=OP+PN=3－12a.

所以

Q′3－12a，1－a.

所以OQ′=ON2+Q′N2

=3－12a2+（1－a）2

=54（a－2）2+5

≥5.

故選答案：B.

点评：解法1抓住平面直角坐标系中的有利条件，构造了 “一线三垂直”模型证三角形全等.首先设未知数表示出动点Q的坐标，用坐标来表示线段长度进行转化，然后由勾股定理表示两点之间的距离，用含x的式子将OQ′表示出来，最后运用二次函数的知识求出最值.这种方法虽然很巧妙、简便，但是有一定的局限性，只能用于有坐标系且旋转角度特殊的题目.

解法2：（轨迹法）如图3，将△AOB绕点P顺时针旋转90°得到△A′O′B′，则Q′为直线A′B′上一动点，根据垂线段最短，OQ′的最小值为点O到直线A′B′的垂线段的长度d.

由直线AB的解析式为y=－12x+2，得

A（0，2），B（4，0），所以

OA=2，OB=4.

由题意，得O′（1，1），

A′（3，1），B′（1，－3）.

设直线A′B′的解析式为y=kx+b，

则有3k+b=1，k+b=－3，解得k=2，b=－5.

于是直线A′B′的解析式为

y=2x－5，则

E52，0，F（0，－5），故

OE=52，OF=5.

所以EF=OE2+OF2=522+52=552.

由S△OEF=12OE·OF=12EF·d，得OQ′的最小值为

OE·OFEF=52×5552=5.

点评：解法2由旋转的本质出发，直线AB绕点P顺时针旋转90°所得直线A′B′即为动点Q′的轨迹，但直接求直线A′B′的解析式不方便，因此旋转整个△AOB，先求出点A′和B′的坐标，再求直线A′B′的解析式，最后用面积法求出点O到直线A′B′的距离.当然，在求出了直线A′B′的解析式后，也可以由此设Q′的坐标，用解法1中的坐标法，运用勾股定理和二次函数来求最值.解法2适用于大部分的动点旋转求最值问题，即先确定动点轨迹.

解法3：（逆向轨迹法）OQ′的最小值其实是定点O到直线y=－12x+2绕点P顺时针旋转90°所得到直线的距离，问题可转化为O′（1，－1）（由点O绕点P逆时针旋转90°得到）到直线y=－12x+2的距离d.

如图4，过点O′（1，－1）作O′A垂直于x轴交直线y=－12x+2于点A，O′B垂直于y轴交直线y=－12x+2于点B.

于是A1，32，B（6，－1），所以

O′A=52，O′B=5.

故AB=O′A2+O′B2=522+52=552.

由S△AO′B=12O′A·O′B=12AB·d，得O′Q的最小值为

O′A·O′BAB=5，即为OQ′的最小值.

点评：解法3在求O′Q的最小值时同样可以用解法1的坐标法来求，在本质上它与解法2是一样的，都是将所求最值转化成定点到定直线的距离，但是解法3对解法2进行了简化，免去了求直线y=－12x+2旋转后的直线解析式，直接旋转定点O，思路新颖巧妙.

变式1  在Rt△AOB中，OA=2，AB=4，P是OB上一点，OP=1，Q是边AB上的一个动点，将Q绕点P逆时针旋转30°得到点Q′，连接OQ′，则OQ′的最小值为.

解析：点Q在AB上运动，即点Q的轨迹为AB，那么将AB绕点P旋转就能得到点Q′的轨迹.于是，将△AOB绕点P逆时针旋转30°得到△A′O′B′，如图5，则点O到A′B′的距离即为OQ′的最小值.

由旋转，得∠BPB′=30°.

在Rt△AOB中，OA=2，AB=4，

所以∠B=∠B′=∠BPB′=30°，

于是A′B′∥OB，则

∠AEB′=∠AOB=90°.

所以点O到A′B′的距离为OE的长度.

如图5，过点B′作B′F⊥OB于点F，则∠B′FP=90°，于是四边形OEB′F是矩形.

由OB=AB2－OA2=42－22=23，OP=1，得

BP=B′P=23－1.

∠B′FP=90°，∠BPB′=30°，所以

B′F=12B′P=23－12.

故OQ′的最小值为OE=23－12.

变式1没有坐标系背景，显然解法1不适用，而运用解法3，将点O绕点P顺时针旋转30°以后再求O′到AB的距离较为麻烦，经对比发现，此题解法2是最简便的.

类似地，还可以变化图形形状和旋转角度，解法一样.

变式2  如图6，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，D是AB上一点，AD=2，BD=4，E是边BC上的动点，若点E绕点D逆时针旋转30°的对应点是F，连CF，则CF的最小值是.

基于以上分析，我们可以总结：解决这类绕定点旋转的最值问题有三种方法，分别为坐标法、轨迹法、逆向轨迹法，根据不同的题目来选择合适的方法，最常用的是轨迹法.若是动点所在的直线绕定点旋转，则先确定动点旋转后的轨迹，再根据垂线段最短求点到直线的距离，最后解直角三角形得到所求最值.

动态问题解题的关键是在“动”中寻找“定”的量，再由这些定量探寻出动点形成的轨迹，从而根据轨迹分析出最值位置，即“由动寻定，由定定轨，由轨求最”[2]．题目只是知识方法的一个素材，解题的过程能让学生理解知识的原理，提炼方法的本质，注重解法的策略，总结问题的归类，从而达到利用有限的题目实现无限的再创造．由解一道题变成会解一类题，乃至通解一种体系的题，这也是解题教学的方向[1].

参考文献：

[1]郭源源.旋转位似“似”成双 定点定形“轨”一致[J].教学月刊＼5中学版（教学参考），2020（10）：11-15.

[2]郭源源.“定量”构建动点轨迹 “隐圆”巧解最值问题[J].中学数学杂志，2018（10）：42-44.