解决函数综合问题中的“放大镜”和“望远镜”

北京 崔 鹏

一、问题分析

1.1 问题1：函数图象“细节处”的矛盾

要求图中的直线与曲线恰好有一个公共点.

考虑到如下的情况：

这道题目难度很大，这种局部的交点问题确实是我们容易犯错的地方.解决此类函数问题时，“放大镜”发挥了奇效.

同样作出两个函数的图象，按照上例的分析特点，我们判断在抛物线顶点A的左侧应该还会有一个交点B，图象放大如下：

在不能确定函数图象有几个交点时，我们应该学会用代数法试验一下，得到下列方程组：

1.2 问题2：函数图象“远处”的困惑

【问题】方程(x-1)4=2|x|-2的实根有________个.

【分析】本情境的实质是考查该方程实数根的个数，并没有要求求解.实际上，这样的方程没有很好的代数解法，只能借助函数的图象进行处理.考查两个函数y=(x-1)4和y=2|x|-2，画出这两个函数的图象：

方程的根即为两个函数图象交点的横坐标.我们应该很容易从图上看出两个函数图象的两个交点，但是在很远处有没有交点，并不能看清楚.因此，此题仅依托图象不足以确定答案，为得到函数在x取值很大时的变化特征，可以考虑用特殊值试验一下，列得下表：

3456…100y=(x-1)41681256625…≈108y=2x-26143062…≈2100

仅列出前几个点发现二者函数值的差距越来越大，因此便“坐实”了两个实根的结论.但是考虑到“指数爆炸”现象，应该进一步分析，在距离很远处，即x取值很大时，指数函数的函数值会超过四次函数的函数值，因此可以考虑代入一些比较大的数，如最后一列数：2100≈1031，远远大于四次函数的函数值，因此在x轴正半轴很远处还有一个交点，并且在其之后不会再有，同理，在x轴负半轴也会同样存在一个交点，因此本题的正确答案为四个交点，即原方程有四个实根.

这道题给我们的启发是数形结合并不是简单的画画图象，观察一下就可以了，而是要结合函数的性质以及相应的运算特征进行细致的分析，而不能停留在表面.这也就是“望远镜”的奇效了.这类问题的变式很多，大都是聚焦在指数函数、对数函数以及幂函数及其相关函数的交点问题上.我们“会”作图，但实际上只停留在简单的草图层面，如何分析出函数“远处”的图象要依托对函数性质深刻理解，更重要的是要借助代数处理，即做到真正的“数形结合”.

二、问题迁移

上面的两个例子重点讨论了针对函数综合题的具体解题策略，在平时的解题过程中，还应该通过不断的积累，能够对不同函数的模型进行合理的选择，从而规避以上“细处”看不清、“远处”看不到的困境.例如，我们讨论以下问题：

【题目】当x∈(0,+∞)时，求证：ex>x2；

三、问题小结

“直观想象”是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.主要表现为建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物.

在本文中，无论是问题1中“细节处”的矛盾，还是问题2中“远处”的困惑，包括问题迁移中关于函数模型构造的选择，都是代数和几何综合问题中常见的难点.而文中提到的“放大镜”“望远镜”，只是将突破这些难点的方式做了一个比喻，也就是要“向细处深究”“向远处预判”.解决函数综合题首先建立在对函数性质的深刻理解上，建立在对解析式和函数图象的灵活切换上，我们做这方面的分析研究，都是在培养思考问题的全面性，从而推进数学核心素养的落地.