基于高中数学核心素养的教学案例设计

马超

[摘  要] 文章以高中数学“事件的独立性”为例，通过创设具体情境，师生、生生之间的探讨，帮助学生理解基本概念和加深对基本概念的应用，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，引导学生能够用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界，最终将数学核心素养进行内化和沉淀.

[关键词] 数学核心素养;创设情境;数学建模

设计背景及理念

数学是研究数量关系和空间形式的科学，是人类文化的重要组成部分. 数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养，数学在发挥培养学生思维能力和创新能力方面起着不可替代的作用.

通过对课标的学习，笔者将数学学科核心素养在教学实践中的具体实践总结如图1所示.

笔者希望通过创设实际情境——随机摸球游戏，帮助学生通过基本活动经验深度理解独立事件、互斥事件和对立事件的概念，并通过这种情境教学，发展学生数学建模、数学运算以及逻辑推理等数学核心素养.

教学内容分析

本部分内容在高中的整体教学安排如图2所示.

从课程的整体安排可以看出，“事件的独立性”是必修3中概率内容的延续，是后面二项分布和统计中的独立性检验等的理论基础，在整个高中概率模块里起着承上启下的作用.

学习者分析

（1）学生学习本课之前，已掌握古典概型的基本特征，能够识别古典概型，并能根据实际问题构建概率模型，具备了初等数学建模，解决简单的实际问题的能力;学生不知道的是事件独立性的概念以及条件概率和独立性之间的关系;通过本节课的学习，希望学生能够理解独立事件的基本概念，能供运用独立事件公式和性质求解积事件发生的概率，能够运用概率加法公式和乘法公式解决较复杂的概率问题.

（2）从数学核心素养角度分析，学生数学建模能力可以进一步提高，数学抽象能力需要进一步发展，学生的逻辑推理能力需要进一步提高.

（3）从认知主义心理学角度分析如图3所示.

学习目标设计

笔者将从以下几个方面进行学习目标设计：

（1）数学核心素养：通过具体情境——随机抽球游戏的情境创设，达到对学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养的培养.

（2）“四基”：通过本节的学习希望学生能够掌握基础知识（事件的独立性、公式、性质、古典概型、互斥事件、对立事件、条件概率、概率的加法公式和乘法公式）、基本技能（运算、推理、交流）、基本思想（数学建模、分类、特殊到一般），通过观察、实验、猜想、验证、推理与交流、抽象概括、问题反思和建构等知识建构过程，参与综合运用顺序额知识、技能和方法的解决问题的过程获得数学基本活动经验.

（3）“四能”：通过简单问题——抽取一个球的实验，观察、发现、区分事件之间的关系：独立、互斥、对立等的练习，提升学生发现问题和提出问题的能力;通过分析复杂问题，进一步认识独立事件和互斥事件在问题解决中的应用，分析可以解决的事件类型，找到不同的解决方案，从而提升学生分析问题、解决问题的能力.

学习活动设计

笔者将从以下五个环节进行活动设计，每一个环节都包含教的活动、学的活动以及设计意图三部分.

环节一：情境创设——主题引出

（1）教的活动：（创设情境1）从3个红色、2个黄色球中随机抽取一个球. 求：①抽取到的球是红色球的概率;②抽取到的球是1号球的概率;③在抽取到的球是红色球的条件下，抽取到1号球的概率;④抽取到红色1号球的概率.

这些事件之间有什么关系？这些事件的概率之间又有什么关系？

（2）学的活动：回答问题，通过简单的问题情境——“一属性抽一球”，到“两属性抽一球”，求事件发生的概率，并观察发现事件之间的关系，提出猜想：①颜色对号码的抽取没有影响;②积事件的概率是两个事件的概率的乘积. 并尝试证明猜想，问题1：可以从事件本身的性质分析得到猜想正确，提出事件的獨立性;问题2：可以通过条件概率公式进行推理证明.

（3）设计意图：通过简单的实际情境进行观察、发现并提出问题、猜想，尝试运用已学知识解释猜想或证明猜想. 体会事件相互独立性的关系，提出独立事件的概念，推导出独立事件的公式. 提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心.

环节二：初步应用——概念辨析

（1）教的活动：（问题）你能否描述一些其他的事件并求出他们的概率？这些事件之间有什么关系？

（2）学的活动：从不同的角度描述不同的事件，并利用古典概型求概率;观察发现事件之间的关系——对立事件、互斥事件、独立事件.

（3）设计意图：通过简单事件初步应用独立事件的公式判断事件的独立性，结合具体事例辨别独立事件、对立事件、互斥事件，加深对概念的理解. 让学生能够在更自由的情境中发现、分析、解决和提出新问题.

环节三：再次体验——领会本质

（1）教的活动：（创设情境2）若从3个红色、2个黄色球中随机抽取一个球，上述事件之间的关系会发生改变吗？为什么？

（2）学的活动：通过概率的计算发现互斥事件和对立事件关系不变，但是独立关系改变.

（3）设计意图：以知识为载体，以问题情境为媒介，通过师生之间和学生之间的探讨、研究和相互影响，帮助学生不断、反复地经历从自悟到他悟，最终顿悟的过程，从而加深对数学知识的理解和新技能方法的掌握，加深数学思想的感悟和体会.

环节四：应用实践——深度挖掘

（1）教的活动：（创设情境3）从3个红色、2个黄色球中随机抽取2个球，请你设计一个实验（不同的抽取方式）.

请求解下列事件的概率：

A：抽取到的2个球都是红色球;

B：抽取到的2个球都是1号球.

AB：

C：抽取到的2个球有红色球;

D：抽取到的2个球有1号球.

CD：

E：抽取到的2个球有红色1号球……

还能提出哪些问题？

（3）设计意图：通过稍微较复杂事件（取“两球一属性”）和复杂事件（取“两球两属性”）的概率求解，进一步体会事件独立性在问题解决过程中的应用，落实“四基四能”.

环节五：总结交流——感悟升华

（1）教的活动：通过前面的活动，由学生谈谈对本节课在知识、方法等方面的感受.

（2）学的活动：通过回顾，总结交流知识、方法、能力等方面的感受.

（3）设计意图：通过同伴交流，体会自悟、他悟以及顿悟的经历，提升数学学习的能力和兴趣，帮助学生体会数学的价值，引导学生感受数学来源于生活，服务于生活，从而不断地培养学生提升数学核心素养，教会他们用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界.

教学反思与改进

（1）概率的学习是建立在学生对随机事件的充分理解基础之上的，本节课通过抽取小球问题情境，引导学生学会亲身经历分析问题、提出问题、分析问题和解决问题的探索过程，这符合《普通高中数学课程标准（2017年版）》“从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用的过程”的理念. 贴近生活的问题情境，有助于激发学生的求知欲与探索热情，更重要的是，主动参与数学活动的经历会使他们终生受益，树立正确的人生观、价值观.

（2）本节课在提出相互独立性的定义之后，进一步深化了互相独立事件的内涵，并结合具体事例强调了互相独立事件的本质属性.

（3）从心理学层面来看，对客观事务的认识经由两个过程：先通过感觉、知觉形成观念（表象），再通过分析、比较、抽象、概括等一系列思维活动，把事物的共同特点抽象出来形成概念. 停留在观念层面上只是“知其然”，准确、深刻地理解概念才是“知其所以然”. 长期根植于应试的教学方式，忽视概念的教学，只是将精力放置概念的表层，直接的后果就是学生在概念面前不得要领.