超级画板支持下“椭圆的简单几何性质”的教学设计

邓城

[摘  要] 文章通过对“椭圆的简单几何性质”的教学难点分析，结合各种教育信息技术软件的适用性选择了超级画板作为教学辅助软件，提出了超级画板支持下本节课的教学策略，展示了具体的教学设计过程，并在教学实践中得到几点反思.

[关键词] 超级画板;椭圆;几何性质

“椭圆的简单几何性质”是椭圆的重要教学内容. 在此之前学生已经学习了椭圆的标准方程的推导，这节课主要从代数与几何的对应方法来研究椭圆的范围、形状、对称性等方面的知识. 这节课的学习内容和研究方法反映了圆锥曲线几何性质的研究范式，其学习的掌握情况影响着后面双曲线和抛物线内容的学习. 对椭圆几何性质的深刻理解可以使得在学习双曲线时通过类比的思想轻松掌握，反之则会让学生在后续学习时对椭圆和双曲线性质的理解变得混淆. 下面是笔者设计并执教的一节课的教学案例分析.

教学难点分析

一是通过方程探究椭圆的几何形状学生才刚接触，二是对离心率的变化导致椭圆形状变化的准确理解有一定难度，三是椭圆几何性质中涉及较多的动态变化问题，需要一定的教学手段辅助解决.

教育信息技术的选择

首先要明确的是并不是所有课都需要运用上信息技术，也不是所有的解析几何内容都需要使用信息技术. 但对于“椭圆的简单几何性质”这节教学内容，椭圆的范围和对称性不需要使用信息技术也没问题，使用的话就是更为便捷、容易测量和“可视化”. 而对于离心率的变化导致椭圆形状的变化问题，不使用信息技术对于逻辑推理能力较好的学生来说当然也是没问题的，但对于思维能力和图形想象能力一般的学生（尤其是对文科生）来说，完全不使用信息技术而非要学生通过对 + =1（a>b>0）的处理推出规律无疑是较为困难的，同时也压抑了学生学习和探索的积极性. 另外如果不应用信息技术，那么教材（人教A版）中例6涉及的椭圆焦半径的变化规律也难以展示和深入探究. 可见，在本节课中使用信息技术应用到教学中要比不使用更为科学和高效.

那么使用信息技术要用哪种数学软件更合适？当前应用较多的中学数学软件主要有几何画板、超级画板和GeoGebra，有些教学内容使用不同软件的教学效果都差不多，但有些教学内容使用不同软件还是有较大差别的（各个软件各有特长）. 就这节课的教学内容来说，第一个方面，研究椭圆的范围要先在坐标系中绘制椭圆，使用超级画板最直接和便捷，它有多种输入方式，满足各种需要. 而GeoGebra只能通过输入椭圆方程的形式进行输入，较为不便，而且几何画板相对更加麻烦. 第二个方面，研究离心率的变化对椭圆形状的改变使用超级画板同样便捷、直观，而GeoGebra本身没有提供离心率、焦点等圆锥曲线专有名稱和量，比较麻烦，几何画板同样如此. 也就是说，GeoGebra和几何画板对有关圆锥曲线特有属性方面的支持不够，或是制作起来比较麻烦，不方便老师和学生运用. 而超级画板在解析几何的各个方面均有丰富和强大的功能支持，因此在这节课选择超级画板是较为合理的，甚至可以说，在有关解析几何的其他应用方面，超级画板也是优先考虑的软件.

教学策略的选择

笔者近年来对应用超级画板到解析几何教学进行了一定的研究，提出了超级画板支持下解析几何教学的一系列策略：（1）多方准备策略;（2）问题驱动策略;（3）互动调整策略;（4）变式探究策略. 这些策略大体上反映了解析几何教学任务的要求、教学内容的特征、教学方式的原则和教学效果的追求. 一节完整的解析几何教学内容的课堂都可以按照这一系列策略来设计和执教，并可以取得较为理想的教学效果. 下面具体说明本节课主要用到的策略：

第一是多方准备策略. 首先需要调查、了解学生在上节课的掌握情况，笔者所在学校为国家级示范性高中，学生的学习基础相对较好，理解能力较好，大部分学生都能掌握椭圆的定义及其标准方程的形式，当然部分学生对方程的推导还不够熟练（这个对于他们来说需要一定时间理解消化，螺旋上升）. 其次，是了解学生的学习心理状态. 通过椭圆的概念及其标准方程的学习，部分学生还是感觉到有难度的，但同时大部分学生对解析几何中应用超级画板来帮助学习感到新奇，有一定的探索积极性. 再次，需要研究教材，并精心准备超级画板的课件.

第二是问题驱动策略. 直接研究椭圆的几何性质容易让学生产生枯燥无味之感，教师应该将知识转化为问题，通过问题来驱动学生的学习知识. 例如，要研究椭圆的范围，可以考虑设计问题：剪裁一个椭圆纸片至少需要多大的长方形纸？又如，例5中电影放映灯泡的反射镜面问题可以先用超级画板创设问题情境，让学生尝试探索椭圆中的光学性质.

第三是互动调整策略. 预设再完美都只是虚的，课堂需要在预设基础上根据学生的实际反馈调整策略不断“生成”. 例如，有些超级画板课件中体现的规律和性质学生一时反应不了或者接受不了，可以放慢脚步，反复操作演示，在关键位置多引导学生分析，等等，通过各种方式调整教学节奏.

第四是变式探究策略. 教学不是简单地教“教材”，而是用“教材”教. 教材是数学教育专家学者的智慧结晶，教材中隐藏着丰富的教学本质和数学思想，教师要善于发现教材的“留白”，在合适时机可以引导学生进行变式探究，获得更多更深的数学体验. 例如，教材中例6表面上求是一个简单轨迹方程问题，但事实上它暴露了椭圆的第二定义知识，同时还涉及焦半径的长度变化规律，这些知识在高考中仍然时常有其影子出现，如果学生的基础能够接受，应当引导学生探索，充分发展学生的思维水平. 而在超级画板的支持下，变式探究更方便了，比如例6的相关问题使用超级画板来探究就是小菜一碟的事情.

教学过程（节选）

1. 知识回顾

问题1：椭圆的标准方程是什么？

生：当焦点在x轴上时，椭圆的方程为 + =1;当焦点在y轴上时，椭圆的方程为 + =1.

设计意图：引导学生回顾椭圆的标准方程，有利于巩固知识，并且为椭圆几何性质的探究做好知识铺垫.

2. 探究椭圆的范围

问题2：如果要剪裁一个椭圆纸片出来，需要至少多大的长方形纸片？

生：需要一张长够2a，宽够2b的长方形纸片.

问题3：不错，任何一个给定的椭圆上是有范围限制的，这是从几何直观的角度. 那能否从方程的角度看出范围？请以焦点在x轴的椭圆为例进行思考.

生：由椭圆方程 + =1可知， ≤1， ≤1，所以有-a≤x≤a，-b≤y≤b.

師：不错.

教师应用超级画板移动椭圆上的点，测量表达出其坐标，范围确实如此.

师：有没有判断范围的其他思路？注意到有平方和等于1的出现哦.

生：还可以三角换元.  + =1可写成  +  =1，这样可令 =cosθ， =sinθ，于是x=acosθ∈[-a，a]，y=bsinθ∈[-b，b].

3. 探究椭圆的对称性

师：不错. 椭圆还有没有其他几何性质？

学生通过图形观察不难发现椭圆还有对称性，椭圆关于坐标轴对称，也关于原点对称.

师：能不能通过方程从代数的角度说明椭圆的对称性？

学生一时没有反应.

教师补充提醒：回忆一下，如何说明抛物线y=x2是关于y轴对称的？

学生顿时反应了过来.

生：在 + =1上任取一点P（x，y），若点P关于y轴对称的点P′（-x，y）也在椭圆上，则可以说明椭圆关于y轴对称. 由于P（x，y）满足 + =1，将P′（-x，y）代入方程也满足，所以P′（-x，y）也在椭圆上，所以椭圆关于y轴对称.

用同样的方法，学生解释了椭圆关于x轴对称和关于原点对称，同时也得到了各个顶点的坐标表达.

变式探究：在 + =1（a>b>0）中，F1，F2为左、右焦点，过点F1作一直线（不与x轴重合）交椭圆A，B两点，过F2作直线AB的平行线交椭圆于C，D两点，那么有什么结论？通过超级画板展示图1如下：

设计意图：加强学生对椭圆对称性质的理解和应用. F1，F2本身关于原点对称，这是个重要信息，再结合AB与CD平行，其中蕴含着新的对称信息和长度关系，学生通过观察不难发现AF1=DF2，BF1=CF2，但如何证明还需学生稍微动点脑筋. 如果学生没有反应可以通过超级画板将OB旋转180°或是作点B关于原点的对称点）.

4. 探究椭圆的离心率

师：椭圆四个顶点再加上对称性对我们有什么作用？

生：可以大概确定椭圆的图像形状.

问题4：请同学们画出椭圆 + =1， + =1和 +y2=1的图形，并观察这三个椭圆在形状上有什么不同？

设计意图：与教材中采用直接算出 的值，然后对照椭圆的扁平程度得出 的大小决定椭圆的扁平程度的处理方式不同（如图2所示）. 笔者认为，学生在刚学习了椭圆的范围的基础上先固定a不变，变化b更能发现椭圆扁平程度的变化，也就是根据“最近发展区”的思想，让学生“跳一跳就可以摘到桃子”，也让学生探索的积极性得到保证.

生：三个椭圆越来越扁.

师：没错，是什么原因？跟什么有关？

设计意图：先通过固定椭圆的长轴不变，改变短轴长度，让学生从图形角度观察变化情况，并得到初步的感性认识：长轴不变的情况下，短轴越短椭圆越扁. 值得注意的是，教师应该先让学生自行画图观察并猜想，不要一下就使用超级画板来展示动画，这个学习环节难度不大，应让学生动手操作，形成一定的画图基本功，并进行推理想象. 教师在学生得出结论后使用超级画板“验证”一下就可以了. 这个任务对于超级画板来说是最简单的（但对于几何画板来说比较麻烦），操作过程是：先插入一个自定义变量b，范围选择在0到4之间，然后点击功能面板中的“圆锥曲线”，就会弹出产生圆锥曲线的多种方式，根据当前需要，确定长半轴长a=4，短半轴长b的框输入刚才自定义的变量b，即绘制出椭圆 + =1来，如图3所示. 通过拖曳变量b改变其大小，椭圆即时跟随变化，非常直观.

师：还有其他方法能让椭圆变扁吗？

生：固定短轴长度不变，让长轴变长.

师：不错，两个量的改变都可以改变椭圆的形状，能不能统一用一个式子表示？

生：可以用比值 . 当 越大，椭圆越圆;当 越小，椭圆越扁.

师：总结得很到位！现在问题是有没有其他的量可以用来衡量椭圆的扁平程度？比如说用半焦距长c？c可是在讲椭圆概念时就出现过的.

问题5：探究 的大小能否决定椭圆的扁平程度？为什么？

部分学生对于这个问题会感到困难，教师可以利用超级画板进行实验演示. 第一个演示实验是借助讲椭圆的概念时已经讲过的椭圆的一种产生方式（也就是课本习题2.2的第7题）：圆O的半径为定长r，A是圆O内的一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是以O，A为焦点，长轴长为r的一个椭圆，如图4所示. 在超级画板中固定r不变，移动A点使得OA变大时，即 变大时，容易发现对应的椭圆变得越来越扁.

第二个演示实验是在超级画板中添加自定义变量a和c（c

问题6： 能决定椭圆的扁平程度吗？

生：由于  = = =  -1，因为 可以决定椭圆的扁平程度，所以 也可以，但课本为什么不用它来表示扁平程度呢？

师：由于a和c是初始量，并且 可以形象地理解为焦点离开中心的程度，所以我们把 叫作离心率，用e表示. 当然使用 还会给研究圆锥曲线的统一性质带来方便，后面会提到.

师：数学上一给出新的量，一般就会研究其范围. 请问离心率e的范围是多少？

生：因为0

师：那当e趋向于0时，椭圆如何变化？e趋向于1时呢？

生：e趋向于0，椭圆越来越圆;e趋向于1时椭圆越来越扁.

教师用超级画板拖动离心率e演示椭圆的变化程度.

接着教师让学生完成例4和例5.

问题7：已知椭圆 + =1，点F为椭圆的右焦点，点P为椭圆上的任意一点，试探究PF长度的取值范围？

设计意图：因为本节课讲的是椭圆的几何性质，笔者将教材中的例6先变式为椭圆的焦半径PF的大小变化问题，然后再引导学生尝试发现新的规律. 虽然人教版的教材不提椭圆的第二定义，但在“椭圆的简单几何性质”后面的“信息技术应用”栏目中提到了用信息技术探究椭圆第二定义的探究性问题. 如今，使用超级画板来制作这个探究性问题的课件要比几何画板简单得多.

教师运用超级画板拖曳点P的位置，即时测量PF的长度（如图5所示），让学生观察长度的变化，同时根据学生的要求移动到学生想要的位置让学生充分观察，也可以让学生上台直接操作.

生：点P在右顶点时PF的长度最短，随着点P往左边移动，PF的长度逐渐变大，当点P在左顶点时PF的长度最大.

师：能否用数学式子计算出来？

生：设P（x，y），由点P为椭圆上一点，所以有y2=9- x2，所以PF= = = x-5= x- ，因为-5≤x≤5，所以PF∈[1，9].

变式探究1：是否对其他椭圆都有一样的结论？

变式探究2：PF= x- 中出现了离心率 ， 又与什么有关？能否猜想出新的椭圆性质？

学生通过自主思考和小组合作交流得出结论，教师运用超级画板展示规律，增强感性认识和理性认识.

接下来教师引导学生小结本节课的学习内容，教师布置课后作业.

为了更好地激发有数学发展潜力的优生进行探索学习的积极性，笔者还设计这样一个变式题：在本节课探讨椭圆范围时提到椭圆被限定于长为长轴长、宽为短轴长的矩形中，显然椭圆与该矩形还相切. 现请探究椭圆能否限定在普通的平行四边形中，使得该椭圆外切于平行四边形，并探究外切平行四边形的面积的最值.

几点反思

1. 问题的驱动是确保教学有效开展的基础

哈尔莫斯说：“问题是数学的心脏.”如果没有问题的设计和引导，只有知识的说教，即便教师多么声嘶力竭地去强调所谓的重难点，也只能让学生感到突兀和茫然，无力也无心去深入理解知识的本质. 问题好比植物的根，它是植物生长的基础. 断了根的植物，营养物质没法传输到茎叶中，很快就会枯萎. 例如，本节课中离心率这个概念，如果教师直接根据教材给出定义，学生是很难接受的，因为学生不理解为什么要有这个概念，同时也对为什么用 而不是其他的量来表示离心率感到困惑. 笔者通过设置“问题4”“问题5”和“问题6”，使得学生原有知识开始处于不平衡的状态，产生认知冲突，激发学生主动积极探索新知，经过同化和顺应达到新的平衡.

2. 变式的探究是引领学生内化知识的关鍵

在课堂中，关键问题被解决了往往是师生一起合作的结果，但对于每个学生来说是否真的理解到位了？对知识的内涵和外延是否完整掌握了？学生是否学会将其本质规律进行迁移应用了？这些问题的解决可以通过变式探究进一步内化知识，构建认知网络结构. 本课例中笔者通过设置几个难度呈阶梯式的变式探究题，引导学生由点到线，逐步形成系统认识. 值得注意的是，超级画板的技术能轻松支持解析几何中变式探究的需要，许多图形的变化只需一个简单的动作就可以实现，比如椭圆可以用离心率这个变量来设定，当拖动离心率这个变量时，椭圆就可以变成双曲线. 因此，在解析几何中进行变式探究，可以根据需要及时将超级画板融入到教学中.

3. 全面客观认识将技术应用到教学的作用

借助超级画板这个信息技术工具，在学生存在难以直观想象或者需要动态几何探究时，通过教师演示或是学生自主操作超级画板课件，可以轻松突破传统教学技术的限制，做到动静结合和数形结合，在操作过程中经过观察容易建立模型，进而发现本质规律. 在教学条件允许的情况下，可以让每个学生都上机进行操作探究，教师起组织者、引导者和参与者的角色作用. 当然，要清醒认识到的是，信息技术主要还是在帮助学生发现、猜想和验证相关性质和规律时起到辅助作用，技术不能代替思考，教学时要及时引导学生从技术所呈现的表面现象中思考内在的本质，并在掌握知识本质后引导学生不借助技术而通过规律来描绘和解释几何变化现象.