促进思维深度参与，发展数学核心素养

张治才

[摘  要] 从学生思维参与的角度，研究了数学核心素养如何在课堂教学中落地.研究者提出以下促进思维深度参与的途径：关注学生的思维起点，设计驱动学生思维的问题，顺应学生的课堂思维表现.

[关键词] 思维参与;课堂教学;数学核心素养

发展学生数学核心素养是新修订的2017年版《普通高中数学课程标准》中重要的课程目标之一，也是当下数学教学的热门话题. 如何在课堂教学中让核心素养落地生根，成为高中数学教师研究的重点问题. 新课标指出，数学教学应“把握数学的本质，启发思考，改进教学”.章建跃博士认为：“理性思维是数学核心素养的灵魂，发展学生的思维能力是数学教学的主要目标.”因此，有效地启发学生进行数学思考，成为落实核心素养的重要抓手.

促进思维深度参与是促使学生有效地进行数学思考的主要途径.充分考虑学生的已有知识，精心设计教学环节，发挥教师的教学智慧，处理好课前预设与课堂生成的关系，合理组织数学活动，可以提升学生的思维参与度.下面结合教学实践，分享如何在课堂教学中，促进学生的思维深度参与.

关注学生已有的思维起点，在数学概念的生成中发展核心素养

学生的数学学习要关注知识的生长点，数学思考要重视思维的起点. 从数学知识的生长点出发，研究新问题，就是在学生思维起点的基础上进行新的数学思考. 这样的思考符合学生的认知规律和思维习惯，有助于学生从思维起点走向思维深刻. 在数学概念的学习中，从思维起点出发，设置问题，既能快捷地将思维聚焦在数学问题的解决上，又有助于完善学生的数学知识结构. 学生从思维的“原点”到“远点”的思维活动中，从特殊到一般，具体到抽象的思维体验中，积累数学活动经验，发展数学素养.

案例1：在我区新教师培训活动中，笔者上了一节公开课“直线的方程（2）”，教学片段如下.

师：我们知道，解析几何是用代数的方法来研究几何问题，我们已经对几何图形中的直线进行了一定的研究.

问题1：从几何图形的角度，确定一条直线，有哪些方法？

生1：方法一：通過两个点.

方法二：通过一个点和倾斜程度（斜率k）.

师：非常好，通过直线上一个点和直线的倾斜程度可以确定直线，因此，从代数的角度，我们有直线的点斜式方程和斜截式方程. 既然两点可以确定一条直线，那么从代数的角度，已知直线上两点P，Q的坐标，它的直线方程又如何？

问题2：求过点P（1，2），Q（-1，4）的直线方程，有哪些方法？

生2：借助点斜式方程y-2= ·（x-1）.

生3：设所求直线y=kx+b，把两点代入，用待定系数法求出方程.

生4：设直线上任意一点的坐标M（x，y），根据kMP=kPQ，可得 = ，求出直线方程x+y-3=0，且点P（1，2）也在该直线上.

问题3：一般化，直线l过两点P （x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2），则直线l的方程是什么？（学生自主探究，然后交流）

生5：（法一）y-y1= （x-x1）（*）.

生6：（法二）联立y1=kx1+b和y2=kx2+b，但是发现求解比较麻烦，暂时没有求出来. （再给学生两分钟用此方法计算，有学生算出来了，有学生仍然没有算出来）

师：刚才生6的方法计算比较大，我们在计算之前可以进行一个预判，选择恰当的方法求解，容易想到的方法并不一定好计算.

生7：（法三）设直线上任意一点的坐标M（x，y），由kMP=kPQ，得 = .

师：刚才我们得到直线方程的两种形式，从美观的角度，我们把方程（*）改写为 = .

问题4： = （**）和 = （***），哪一个方程作为直线的方程更恰当？（学生讨论）

师：作为直线的方程，除了从方程的角度考虑形式上的美观，还应该从图形的角度去分析.

通过讨论，得出方程（**）对应的图形为直线l去除点P （x1，y1），而方程（***）表示的图形为直线l，因此选择方程（***）作为过两点的直线方程.

问题5：你认为两点式直线方程不能表示哪些直线？

生8：不能表示垂直于坐标轴的直线，因为方程中分母不能为0.

评析：苏教版高中数学教材必修2，通过P （x1，y1），Q（x2，y2）两点直接运用点斜式方程求出两点式直线方程.从教材的角度看，简洁明了;从教学的角度，它并不是学生思维的起点.如果在教学中照本宣科，就会限制学生的思维，缺乏思维的参与过程，造成知识的掌握与思维的发展不同步.

直线的两点式方程的生成过程，学生经历了思维参与的三个阶段：思维的“原点”，思维的“中点”和思维的“远点”.思维的“原点”（对应问题1）包括两方面，一是从几何角度研究如何确定一条直线，二是通过直线上的点和倾斜程度确定一条直线的代数刻化. 思维的“中点”（对应问题2）是已有的求直线方程的三种方法，是学生推导两点式方程的方法铺垫;思维的“远点”（对应问题3、问题4、问题5）是点斜式方程的一般形式的生成、辨析和理性认识. 本设计从几何中两点确定一条直线出发，自然过渡到“求过两点P（1，2），Q（-1，4）的直线方程”，再过渡到“求过两点P （x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2）的直线方程”. 两次过渡分别是思维的“起点”到“中点”，“中点”到“远点”的自然发展. 在此思维活动中，学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，正是数学抽象素养的孕育过程. 问题3的法二计算相对较大，让学生进行计算方法的预判和合理选择，使得数学运算素养的发展在课堂中找到着力点;问题4和问题5的设置让学生从理性的角度认识直线的两点式方程，让思维走得更深、更远.

设计驱动学生思维的问题，在数学公式的推导中提升核心素养

问题是数学的心脏，新课标要求：“创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生思考与交流.” 好的问题能触动思维的神经，驱动学生思维，促使学生主动参与，积极思考. 驱动思维的问题可以使学生快速地将新的学习任务融入原有的认知结构，积极地探索数学知识间相互关联，用已有的知识解决新问题，进而促进数学内容的主动建构. 在数学公式的推导过程中，设计驱动思维的问题，让学生在深度参与的思维活动中，孕育数学核心素养，实现数学知识向数学素养的转化.

案例2：“两角和与差的余弦”的推导过程，教学片段如下.

如图1，点P绕点O在半径为1的圆O上运动，点O为定点. 同时，点Q绕点P在半径为1的圆P上运动，已知P，Q两点以相同的角速度按逆时针方向运动，且PQ⊥OP.

图1

问题1：点Q的运动如何刻画？

（让学生思考，学生容易想到建立坐标系，但整个问题独立完成有一定困难，在教师的引导下师生共同完成）

生1：（法一）以点O为原点建立直角坐标系，设∠POx=x，则P（cosx，sinx），由于PQ⊥OP，作PM∥x轴，交圆P于点M，则∠QPM=x+ ，但点Q的坐标很难表示，因为点P不在原点.

师：能否对P，Q两点进行平移，使得点P移到原点？

生（众）：移了以后位置就变化了.

师：有没有办法使得平移以后与原来表示同样的含义？

生2：考虑向量，向量 =cosx+ ，sinx+ ，则 = + =（cosx-sinx，cosx+sinx），则Q（cosx-sinx，sinx+cosx）.

师：处理得非常好，由此我们可以得到点Q的横、纵坐标分别是x的函数.请大家思考，在刚才的过程中，最关键的步骤是什么？

生：引进向量 ，进而所有的坐标问题都转化为向量的问题.

此时，生3举手示意.

生3：（法二）连接OQ可得∠OQx=45°，则有∠QOx=x+45°，在等腰直角三角形OPQ中，OQ= ，根据三角函数的定义，可得Q（ cos（x+45°）， sin（x+45°））.

师：非常好，从上面两种方法，你能得到什么等量关系？

生3：可得 cos（x+45°）=cosx-sinx， sin（x+45°）=cosx+sinx.

师：变形，可以得到cos（x+45°）= cosx- sinx，这说明cos（x+45°）可以用x的三角函数和45°的三角函数来表示. 接下来，我们研究cos（α-β）与α，β的三角函数值的关系.

问题2：cos15°的值是多少？

（小组讨论，每组派代表交流）

组1代表：cos15°=cos（45°-30°），在单位圆中作出45°，30°的终边，接下来暂时还没有想出来如何解决，然后我们又尝试作出了15°角的终边，但没能解决这个问题.

组2代表：（在组1的基础上补充）45°，30°角的终边分别与单位圆交于P1，P2，则P1（cos45°，sin45°），P2（cos30°，sin30°），那么 · =cos45°cos30°+sin45°sin30°;又根据数量积的定义， · = · cos∠P1OP2=cos15°. 结合上面两个式子，可得cos15°=cos（45°-30°）=cos45°·cos30°+sin45°sin30°.

组3代表：与组2相同的办法，cos15°=cos（60°-45°）=cos60°cos45°+sin60°sin45°.

评析：本节课的难点在于从已有的知识体系中想到单位圆和向量，通过向量的数量积推导两角差的余弦公式. 解决了求cos15°的问题，对于一般情况cos（α-β）则不是教学的难点. 为了帮助学生思考，从思维驱动的两个层次设计两个问题.思维驱动的第一层次是思维唤醒.设置问题1，在教师的启发引导下师生共同完成. 在此过程中，唤醒学生头脑中已有的运用向量和单位圆解决问题的方法，为问题2的解决提供知识和方法的铺垫.思维驱动的第二层次是思维聚焦. 设置问题2，聚焦在cos15°的值的求解上. 学生想到转化为熟悉的45°和30°，是思维的尝试;想到单位圆是问题1的活动经验的迁移;想到向量的数量积是在问题1的解决过程中用向量处理三角问题的活动体验和已有的向量数量积的知识在学生头脑中进行融合而产生的具有一定创造性的思维，是思维的深度参与，也是思维过程中重要的逻辑推理.

章建跃博士认为：“数学核心素养的形成是以数学知识为载体，以数学活动为路径而逐步实现的，情境化是数学知识转化为数学素养的重要途径.” 数学内部的问题情境是重要的数学情境. 学生在问题的驱动下，主动地运用已有的向量和单位圆的知识来解决新问题，在这样的思维活动和推理过程中，逐步发展逻辑推理素养.

顺应学生的课堂思维表现，在数学性质的探究中培育核心素养

课堂是动态生成的，叶澜教授说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定的线路而没有激情的行程.”好的课堂需要处理好教师的思维活动与学生的思维活动之间的差异，随时关注学生的思维表现，捕捉他们的思维动态，顺应学生的思维过程.在数学性质的探究中，敏锐地挖掘学生的想法，机智地调整教学活动，才能找到推动学生思维积极参与的切入点，找到数学核心素养的生长点.

案例3：笔者进行的“双曲线的几何性质”教学中，教学片段如下.

问题1：椭圆研究了哪些内容？

生：定义、标准方程、几何性质.

追问：研究了椭圆的哪些幾何性质？

众：范围，对称性，长轴，短轴，离心率.

问题2：（教师在黑板上画出双曲线的大致图形）双曲线 - =1（a>0，b>0）上任意一点P（x，y）的坐标有什么范围？

生1：算出双曲线与x轴的两个交点坐标，再观察图形，可得x≥a或x≤-a.

师：这个方法直观可行.不过，图形精确吗？有没有可能双曲线上有一部分图像在-a

生1：应该没有吧（略有犹豫）.

师：既然从图像不能精确地说清楚，有没有其他办法说清楚？

生2：双曲线的方程变形为 = +1可得 ≥1，得到x≥a或x≤-a.

師：非常好，从代数的角度，通过方程来研究.

师：y有没有范围限制？

生：（思考了一会儿）y可以取全体实数，没有范围限制.

问题3：既然y没有范围限制，作双曲线图形时，除了关注x≥a或x≤-a以外，是否可以随意地画图？有没有别的限制？

（此问题让学生独立思考比较困难，在老师的引导下，发现双曲线的图形受到直线y=± x的影响）

问题4：在第一象限内，随着x的增大，双曲线的图形远离直线y= x还是靠近直线y= x？

众：靠近，从图上观察得到.

多数同学马上补充：图形不一定精确，需要严格的理论说明.

（小组讨论：如何严格地说明随着x的增大，双曲线的图形与直线y= x越来越靠近）

通过小组讨论，得出三种方法：

组1：设M（x0，y0）为第一象限内双曲线上任意一点，它到直线bx-ay=0的距离是d= ，根据y0=  ，化简得d= · .

组2：过点M（x0，y0）作直线MQ垂直于x轴，与直线bx-ay=0在第一象限交于点Q，则yQ= x0，得到MQ=yQ-y0= .

组3：过点M（x0，y0）作直线MP垂直于y轴，与直线bx-ay=0在第一象限交于点P，再用类似组2的方法.

评析：本节课的开始并没有回顾椭圆的几何性质的研究方法，想通过学生的回答挖掘学生原本的思维，而不是经过教师诱导后的思维结果. 课前预设学生首先想到直接通过方程变形为 = +1，得 ≥1，进而求得范围. 课堂上，学生在思考范围问题时，首先想到的是求出双曲线与x轴的交点，说明学生习惯于从图形的角度直观地思考. 运用方程研究几何性质是教师的思维体系，而非学生的思维体系. 教学中，没有将学生的思维拉回到教师的预设上来，而是顺应学生的思维过程，沿着学生的思维路径，设置追问，让学生感受图形可能不精确，进而自然地想到从方程的角度研究点的坐标的范围. 在此基础上，设置问题3，让学生思考图形的限制范围，进而探究出双曲线的图形受到直线y=± x的影响. 为了推动学生思考的进一步深入，迫使学生必须从代数的角度入手，设置问题4，思考双曲线图形的精确性，通过代数方法探究得到双曲线的渐近线.

上述数学活动经验让学生真正地在数学体验中感悟数形结合，对培养学生的理性思维有帮助. 鉴于学生习惯于从图形的角度直观地分析，整个过程抓住了学生课堂的思维表现，从学生的回答发现图形本身在学生头脑中更直观，图形信息更容易被提取.因此，分三步，分别从图形中点的坐标的范围，图形的整体限制范围，图形的精确性（分别对应问题2、问题3、问题4）逐步完善双曲线的精确的几何特征. 每一步的解决都需要学生从代数角度理性地分析和思考. 这正是数形结合在课堂中真正地落地生根. 在这三步数学活动体验中，学生的直观想象、数学运算等素养都能得到较好的发展. 更重要的是，每一步都能助推理性思维的培养. 从课堂表现来看，第三步中一大部分学生已经自觉地想到从代数角度进行严格地说明，这表明前两步的数学活动经验的积累已经对数学素养的孕育起到了积极的作用.

数学核心素养的发展是一个长期的过程，只有力争每一节数学课都能让学生真正参与到数学学习过程中来，发挥思考的主动性，促进思维的深度参与，才能有效地积累数学基本活动经验，进而内化为学生的数学核心素养.