基于核心素养的数学概念教学

羌达勋

[摘  要] 以“棱柱、棱锥和棱台”的教学为例，探讨数学概念教学中数学核心素养的培养路径. 通过设计合理抽象过程、融合不同推理形式、渗透数学历史文化、转变学生学习方式等路径，促使数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学核心素养生根落地. 引导学生一起去经历概念生成过程，有助于学生对数学概念的深度理解，有助于学生数学核心素养的形成.

[关键词] 核心素养;概念教学;数学文化;深度学习

日前，南通市高中数学优课评比已落下帷幕，课题为“苏教版高中数学必修2第一章《立体几何初步》第1课时‘棱柱、棱锥和棱台”. 在这次赛课活动中，笔者认真研读了苏教版、人教版A、人教版B、北师大版、湘教版、沪教版等版本教材，领会了各教材编写意图，坚持以学生为主体，遵循学生认知规律，以培养学生数学核心素养为目标，采用“自主学习，合作交流”的学习方式，引导学生经历概念生成过程，适时渗透数学文化. 这样的课堂设计与教学理念得到了评委专家组的高度评价，最终获得了一等奖.本文即是教学过程的整理成文，在此与各位同行分享.

教学过程

1. 课前预学

师：同学们好！今天我们开始立体几何的学习，首先请大家看我制作的一个视频. （播放视频，章节引言学习）

2. 导入新课

师：通过刚才的视频，我们对立体几何应该有了一个初步认识：立体几何是研究空间几何体的形状、大小和位置关系的一门数学学科. 复杂的几何体通常都是由一些简单的几何体构成的.今天就从认识他们开始. （展示课题）

在平面几何中，我们学习了三角形、平行四边形、梯形等平面多边形.这些图形是怎样形成的呢？（在几何画板上演示，如图1）

生1：点通过移动得到了线段;线段通过平移得到了一个平行四边形;四边形的一条边收缩为一个点，就形成了一个三角形;用一条平行于底边的直线去截这个三角形，拿掉小的三角形，就得到一个梯形.

师：这里我们运用“移、缩、截”等方法形成了新的平面多边形. 如果将平行四边形按一定方向平移会形成什么呢？

3. 直观描述

师：（问题1）仔细观察下列几何体，想一想这些几何体是怎样得到的？

（在学生独立思考的基础上进行小组交流，学生自主回答）

生2：图①是由平行四边形沿着向上（下）方向平移得到的.

生3：图②是由三角形沿着向后（前）方向平移得到的.

生4：图③是由五边形沿着向左上（右下）方向平移得到的.

生5：图④是由六边形沿着向右（左）方向平移得到的.

（教师在学生回答的同时在几何画板上演示，如图3）

师：对，上述几何体分别由三角形、四边形、五边形、六边形沿某一方向平移得到. 我们给它们一个统一的名称——棱柱.

师：（问题2）观察上述几何体的形成过程，如何用数学语言来描述这一类几何体？

生6：由一个平面图形沿某一方向平移形成的空间几何体叫作棱柱.

师：有同学补充吗？

生7：不准确，应为：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫作棱柱.

师：很好！棱柱的定义中有哪些关键词？怎么理解？

生8：平面多边形.如果不是平面多边形，如圆沿某一方向平移形成的空间几何体就不是棱柱，是我们初中学习的圆柱.

師：此处应该有掌声！（同学们鼓掌）

生9：某一方向平移.如果不是沿某一确定的方向平移或平移中改变方向所形成的空间几何体也不是棱柱.

师：还有吗？

生10：空间几何体. 如果一平面多边形沿着它所在平面的水平方向平移，就不能构成空间几何体.

师：很好！刚才我们用运动变化的观点认识了棱柱的形成过程，并给出了棱柱的定义. 在人类历史上，对棱柱的认识经历了一个漫长的过程. 18世纪法国数学家瓦里格农（P. Varignon，1654-1722）最先用动态的视角给出了棱柱的定义：“若平面直线形（如ABF）按照平行于自身的方向从点A移动到点C，则该直线形画出一个界于两个相似且全等的图形CDE和ABF以及所有以图形ABF的边为一边的平行四边形之间的立体CB，该立体称为棱柱.”[1] （教师PPT展示）

师：请自主阅读教材P5-6，并思考：

（问题3）什么是棱柱的底面、侧面、侧棱？

（问题4）棱柱是如何分类的？又如何表示？

（问题5）结合棱柱底面、侧面、侧棱的形成过程，思考它们有什么特点？

（学生通过3分钟的自主学习与讨论，并由三个学习小组的同学代表分别交流）

师：底面就是平移起止位置的两个面，它们是全等且对应边平行的多边形;侧面是由多边形的边移动形成的，它们都是平行四边形;侧棱是相邻侧面的公共边，它们平行且相等. 棱柱的底面、侧面、侧棱的特点构成了棱柱的结构特征（如表1）. 棱柱按照底面的边数可分成三棱柱、四棱柱、五棱柱等，棱柱通常用表示两底面的字母表示，如棱柱ABCD-A1B1C1D1.

4. 抽象辨析

师：（问题6，辨一辨）下列几何体是棱柱吗？（教师PPT展示）

生11：第①个几何体是棱柱.是由平行四边形沿向上方向平移得到的.

师：这个棱柱的底面是哪两个面？

生12：这个棱柱的底面可以有三组，分别是上下、前后和左右三组对面.

师：棱柱的底面不一定是指上下一组对面！

生13：第②个几何体不是棱柱.它是由一个三角形平移得到的，但是在平移过程中，平移方向在改变.

生14：第③个几何体不是棱柱.它的侧面不是平行四边形.

生15：第③个几何体是棱柱.它是由一个梯形沿向后方向平移得到的.

师：对！

生16：第④个和第⑤个几何体是棱柱. 它们分别是由四边形和五边形沿着向后方向平移得到的.

生17：第⑥个几何体不是棱柱.它不能由一个平面多边形沿着某一方向平移得到的.

生18：第⑥个几何体不是棱柱.也可说它不满足棱柱的结构特点，侧面不是平行四边形.

生19：第⑦个几何体不是棱柱.它的底面不平行且侧面不是平行四边形.

师：同学们讨论很热烈！发言很踊跃！从棱柱的定义及其特征对给出的模型进行了辨别. 当一个几何体不满足棱柱的某些结构特点时，我们就可以断定不是棱柱.

师：（问题7）满足棱柱的某些特点的空间几何体一定是棱柱吗？

（学生开展小组合作学习，教师参与其中，并选择了两个小组提出的命题进行了展示，供全体同学辨析，同时提供一组几何模型让学生从中寻找反例.这样的设计对初学立体几何的学生而言，符合他们的认知基础）

命题1：有两个面是全等且平行（对应边平行）的多边形的空间几何体是棱柱.

命题2：有两个面是全等且平行（对应边平行）的多边形，其余各个面是平行四边形的空间几何体是棱柱.

师：命题1正确吗？

生20：不正确. 老师提供的魔方模型就是反例（实际为正十二面体，如图8）.此命题只满足了棱柱的底面特点，所以满足棱柱底面特点的几何体不一定是棱柱.

师：命题2正确吗？

生：（满脸疑惑）

师：这是古希腊伟大的数学家欧几里得曾经给棱柱下的定义，受他的影响，2000多年里，人们从来都没怀疑过. （教师利用PPT展示欧几里得的画像、生平以及《几何原本》中的棱柱定义，如图9）能否在老师提供的一组几何模型中找到反例呢？

生21：像图10这个模型，它虽满足命题2的条件，但不是棱柱，平行四边形在平移过程中改变了方向.

生22：该几何体不满足棱柱的“侧棱平行且相等”的特点.

师：很好！这个几何体也可以看成是由两个底一样的棱柱拼接而成的.

观察下面的几何体（教师利用8个菱形、4个正方形磁力片拼接出斯顿的反例，如图11），它是棱柱嗎？

生23：不是.它不能由一个平行四边形沿某一方向平移得到.

师：是的，直到1916年美国数学家斯顿发现了这个模型，从此证实了欧几里得的定义（即命题2）是错误的[1].

（问题8）根据上面的讨论，你能结合棱柱的特点给出棱柱的另一个定义吗？

生24：在命题2的基础上加上“侧棱平行”就行了.

师：斯顿反例的发现，完善了人类对棱柱定义的认识. 1922年，美国数学家郝克斯（H. E. Hawkes，1872-1943）等人给出了这一定义：“棱柱是一个多面体，有两个面位于两个平行平面上，其余各面均为平行四边形，且其交线平行.” [2]

我国其他版本教材也采用了上面的定义，即有两个面互相平行，其余面都是四边形，且相邻四边形的公共边相互平行的几何体叫作棱柱.[3]

这个定义静态地反映了棱柱的结构特征，而课本的定义则动态地呈现了棱柱的形成过程，二者是等价的.

5. 类比认知

师：请阅读教材P6～7，弄清棱锥和棱台分别是如何定义的，并根据它们的定义填表（表2）：

（学生自主学习5分钟后，小组讨论并组织交流，教师强调）

师：与平面几何中三角形、梯形的形成过程类比，我们定义：棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫作棱锥（通过几何画板演示）;用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的几何体叫作棱台（通过Flash演示）.

（问题9，辨一辨）下列几何体①、②是棱台吗？（教师PPT展示）

生25：不是，第①个几何体切割平面与相应棱锥的底面不平行.

生26：第②个几何体不一定是棱台，如果四条侧棱延长后相交于一点就是棱台（如图③），否则不是（如图④）.

师：对，棱台是由一个平行于棱锥底面的平面去截得的，因此它的侧棱必然交于一点.

（问题10，判一判）看看下面这个几何体（图13）是不是棱锥？

生27：感觉不正确，因为棱锥的侧面三角形要有一个公共顶点.

师：你能抓住棱锥的特点加以判断，这很好.

这个几何体包括前面所举的几个反例模型，虽不是棱柱、棱锥或棱台，但与棱柱、棱锥、棱台也有个共同特点：它们都是由一些平面多边形围成的几何体，我们把这样的几何体叫作多面体. 在现实世界中存在形形色色的多面体，如食盐、明矾、石膏的晶体都呈现多面体形状. （PPT展示，如图14）

6. 数学运用

师：画出一个四棱柱和一个三棱台.

生：（自主完成4分钟）

师：请一个同学展示所画的四棱柱和三棱台，并说明作图步骤.

生28：（实物展台展示）画四棱柱可分三步完成：

第一步，画上底面——画一个四边形;

第二步，画侧棱——从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段;

第三步，画下底面——顺次连接这些线段的另一个端点.

画一个三棱台也分三步：

第一步，画一个三棱锥;

第二步，在侧棱上任取一点，从这点开始顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段;

第三步，将多余的线段擦去.

师：注意：为体现立体感，被挡住的线要画成虚线.

7. 总结提升

师：通过本堂课的学习，你有什么收获？

生29：我们认识了空间几何体;知道了棱柱、棱锥、棱台的定义、分类、表示，以及其中的点、线、面的名称;认识了棱柱、棱锥的结构特点.

师：本节课我们从运动的視角，类比平面多边形的形成，通过“移、缩、截”的方法，定义了棱柱、棱锥和棱台，使我们的认识由二维平面拓展到了三维空间. 同时，在学习空间几何体的过程中，我们又回到二维平面，通过平面图形的性质来研究空间几何体的性质，这是学习立体几何的重要方法. 通过立体几何的学习，必将提高我们的直观想象和数学抽象能力. （PPT展示，如图17）

8. 课后作业

（1）请同学们课后类比棱柱的结构性定义，给出棱锥的另一个定义.

（2）结合棱柱、棱锥以及棱台的学习，圆柱、圆锥、圆台以及球这几个几何体又该如何定义？它们又有怎样的结构特点？

（3）画出一个五面体.

（4）（选做题）上网搜索有关“正多面体”知识，完成一篇数学小论文.

（5）（选做题）用一个平面去截三棱柱，可以得到哪些几何体？

教学思考

本节课是立体几何的章节起始课，对章节引言的内容通过自制的视频教学让学生对立体几何学有一个初步直观的了解. 在棱柱、棱锥、棱台三种几何体的教学中，以棱柱为重点，以平面几何为起点，以“问题”引路，以“自主学习、合作交流”为方式，组织棱柱的教学.通过类比、阅读、交流、展示等方式组织棱锥、棱台的教学.

1. 设计合理抽象过程，提高数学抽象的认知水平

数学抽象具有高度概括、表达准确、结论一般等基本要求，能从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征，它是数学核心素养之一.通过高中数学课程的学习，必须培养学生能在情境中抽象出数学概念，积累从具体到抽象的活动经验，进而把握事物的本质 [4].

数学抽象是从“事实”到“概念”的过程，是一个“事实情境——共性归纳——概括定义——概念辨析——简单应用”的“数学化”过程. 在本节课中，通过学生具体感官观察后，提出问题1，学生先独立思考再进行小组交流，最终发现所给具体几何体的不变的或是共同的属性，将这些共性分离出来，从而得到棱柱的一个初步概念;通过问题2，学生把分离出来的属性推广到一类对象上，运用数学语言实现棱柱概念的抽象概括;通过“辩一辩”，使学生再次认识棱柱这一数学本质，即由抽象再回到具体.让学生学会从一般属性进行概括，再利用抽象概念解决具体问题，是数学概念形成的关键 [5].

本节课在棱柱概念的形成过程中，从“点动成线，线动成面”的直观认知情境开始，让学生获得事物规律的能力，使学生的抽象认知由平面认知拓展到了空间具体的几何体. 为了使学生对本节课棱柱的学习具有收获感，最后设计了“画出一个四棱柱”的环节. 这样的活动设计，既符合学生的认知规律，又符合数学抽象的认知过程，使得“棱柱”概念的形成“水到渠成”.

2. 融合不同推理形式，提升逻辑推理的思维品质

培养逻辑推理能力是数学学科的重要任务.在本节课中，通过类比平面内平行四边形、三角形、梯形的形成过程，定义了棱柱、棱锥和棱台，在每一个概念的形成中都设计了“概念辨析”过程，学生的逻辑推理训练始终贯穿在教学的全过程.

逻辑推理素养的培养应体现在数学教学的各个环节. 本课通过“自主学习”“小组讨论”“交流展示”“辨一辩”“判一判”等教学活动环节，学生或结合情境分析问题，或结合概念解决问题，或结合命题辨析问题，或结合展示交流问题，逻辑推理的形式、水平、差异都得到了充分表现.同时，在棱柱概念形成的过程中，既通过归纳推理“直观描述”棱柱的“动态”定义，又通过演绎推理在“抽象辨析”中得到棱柱的“静态”定义，从而在同一数学概念的教学中实现了两种逻辑推理形式的有机融合，提高了学生的思维品质.

值得一提的是，这样的设计正好融合了当下国内不同版本教材对棱柱定义的不同表述，利于让学生从不同视角更好地把握棱柱概念的本质.

3. 体现几何直观内涵，提供直观想象的实施路径

几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用. 其内涵主要是指利用图形描述和分析问题，既能通过图形来描述几何体的表象特征，分析和抽象出本质特征，又能通过其本质特征想象出几何体的形状. 因此，借助几何直观培养直观想象能力必须从两个方面入手，一是会借助几何图形描述一个复杂的、抽象的问题（图形），即问题图形化;二是能运用空间想象认识事物，即能根据几何体的特点抽象出几何图形，想象出所描述的物体. 这给我们在教学中如何落实直观想象素养的培养提供了启示. 基于以上认识，在本课设计中，一方面通过大量的几何模型让学生抽象其特点并“描述棱柱”到最后“作画棱柱”，另一方面通过所描述的几何体的特征寻找相应几何模型及其对反例的辨析，使直观想象能力的培养真正落到了实处.

4. 渗透数学历史文化，落实数学课标的课程要求

《普通高中数学课程标准（2017版）》指出：数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分.课程内容《立体几何初步》要求：在教学中要“论述几何学发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献”[6].

棱柱定义的演变有着丰富的历史背景，反映了人类对知识发现不断完善的过程，体现了数学家们勇于探索、求真务实的科学精神. 欧几里得、瓦里格农、斯顿、郝克斯等数学家对棱柱定义的表述和探索是重要的历史节点. 在本课设计中通过“数学史话”加以渗透，既激发了学生学习数学的兴趣，又让学生了解了数学知识背景;通过对棱柱概念“历史相似性”的探究，帮助学生更好地理解概念的本质;更在融入承载数学思想和文化的独特载体——数学史的教学中，发挥了数学学科的育人功能，有利于培养学生的科学精神.

5. 转变学生学习方式，促进深度学习的有效展开

《普通高中数学课程标准（2017版）》提出：高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展[6]. 在本课设计中，在棱柱概念评析活动环节，通过学生独立思考、小组讨论、教师引导等方式，帮助学生在合作交流中不断完善认知，理解知识的本质内涵;在学完棱柱知识板块后，通过设计表格化的问题，放手让学生自主学习，学生不仅掌握了知识，还学会了获取知识的方法——类比法;在教学实施中，以活动为载体，通过师生互动、小组合作、展示交流等方式，以“问题串”引导学生思考、辨析、交流、展示，让学生参与知识发现、发生、发展的全过程，既加深了对知识的理解与记忆，又培养了合作精神和表达能力，促进了“深度学习”.

数学是一种文化，数学文化作用于人即形成数学素养. 随着时代的发展，我们深切地感受到数学素养对于人们的学习与生活起着越来越大的作用.这就需要每位数学老师不能仅仅停留在数学符号的教学中，而应和学生一起去经历概念生动而丰富的生成过程，形成数学核心素养，真正学会用数学的眼光观察生活，用数学的语言表述生活，用数学的思维感悟生活.

参考文献：

[1]  沈金兴. 中学生对棱柱的理解：历史相似性探究[J]. 数学通讯，2016（10）：10-14.

[2]  洪燕君，汪晓勤. 美國百年几何教科书中的棱柱定义[J]. 数学教育学报，2016，25（05）：67-70.

[3]  刘绍学. 普通高中课程标准实验教科书（数学必修2）[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

[4]  史宁中，王尚志. 普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[5]  李善良. 数学概念学习与教学[M]. 南京：江苏教育出版社，2005.

[6]  中华人民共和国教育部修订. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.