挖掘隐性联系，促进意义学习

王罡

[摘  要] 高中数学教学中，为了促进和实现学生的有意义学习，教师仅仅向学生阐明教材中呈现的显性联系是不够的，还应注重挖掘课程内容与初中数学的隐性联系. 教师需要设法帮助学生寻找初高中数学的关联点，以实现内容的有效衔接，同时让学生懂得融会贯通. 文章列举正弦定理与余弦定理、复数、等差数列与等比数列三个典型案例分别从显性联系和隐性联系两方面展开分析.

[关键词] 显性联系;隐性联系;意义学习

美国著名教育心理学家奥苏泊尔曾提出有意义接受说，他认为学生的学习应当是在新旧知识间建立一种非认为的和实质性的联系，因此教师有必要通过教学帮助学生实现有意义学习[1].  高中数学教学更是如此，一方面，作为初中数学知识的延伸、拓展和深化，高中数学结论更具有概括性和一般性，教师应全面了解高中数学知识体系，深入挖掘初中数学的相关内容，并在实际教学中深刻揭示两者间的联系;另一方面，初中数学的结论早已转化为学生的直接经验，深深根植于学生的头脑中，为了遵循直接经验与间接经验相统一的教学规律，教师同样需要在教学实施中深入向学生解密初高中知识间的关联，以丰富完善学生的知识结构[2].

然而，笔者在听课的过程中，不时会发现存在这样一种有待改进的不足：许多教师在课堂上往往只注重向学生揭示浅层的知识间的关联. 这种关联通常已经在多个版本教材上清晰呈现，教师的任务不过是将课本内容经过加工转化为自己的教学内容，笔者不妨将之定义为显性联系. 事实上，笔者认为，教师更应该向学生揭示那些表面上看似并无关联的知识间的联系，即教材上未呈现的、潜在待挖掘的隐性联系. 只有这样，才能真正体现教师劳动的创造性，从而真正实现学生的有意义学习. 下面笔者选取三个典型的章节内容予以具体分析和说明.

正弦定理与余弦定理

1. 显性联系分析

笔者翻阅人教A版和北师大版两版本教材“解三角形”一章，将教材中呈现的正弦定理、余弦定理与初中数学相关知识的联系整理成表1、表2：

通过整理可以看到，北师大版和人教A版两版本教材在介绍正弦定理、余弦定理时或多或少展示了其与初中所学三角形相关内容的密切关联，这些内容包括三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理、三角形全等等知识. 笔者认为，除此以外，还有一些内容有待教师挖掘和开发，以更好地实现初高中教材三角形模块内容的有效衔接.

2. 隐性联系分析

（1）与完全平方公式的联系

事实上，仔细观察余弦定理的公式c2=a2+b2-2abcosC，不禁会发现，该公式在形式上不仅与勾股定理c2=a2+b2很像（勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广），而且与初中所学的完全平方公式（a+b）2=a2+b2±2ab也有几分相似.

众所周知，余弦定理要求角C的取值范围是（0，π），而勾股定理恰恰是当C= 时的特殊情形. 笔者进一步思考，当角C取0或者π，情况又是怎样的呢？尽管此时已经不再构成三角形，但不妨将C=0和C=π分别代入公式中，最终得到c2=a2+b2+2ab和c2=a2+b2-2ab.

另一方面，考虑C=0时的几何意义，由于此时得到的几何图形是由在一条直线上的两条长度分别为a和b的线段构成的合线段，边c的长度恰为另外两边中较长边与较短边的差，故有c=a-b. 同理，分析C=π时的几何意义，得到c=a+b.

由此可见，当C=0时，所得为两数和的完全平方公式;当C=π时，所得为两数差的完全平方公式. 这样一来，看似不相干的余弦定理与初中所学的完全平方公式在形式上统一了起来，教师若能在课堂上及时启发学生的思考并帮助学生澄清这一联系，或许将收到意想不到的教学效果.

（2）与三角形全等的联系

尽管人教A版在介绍余弦定理时提及三角形全等的“边角边”判定和“边边边”判定，但给笔者的感觉不过是蜻蜓点水，两者的联系揭示得不够深入和全面. 众所周知，关于任意三角形全等，学生在初中学习了四种判定，依次分别是“边边边”（SSS）“边角边”（SAS）“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）. 此外，学生还通过尺规作图等操作活动初步感受到以上四种判定实则唯一确定一个三角形的充分条件，而“边边角”（SSA）并不能确保三角形唯一确定. 不过，学生当时尚不能通过推理解释说明判定成立的合理性.

在笔者看来，以上学情分析可以成为教师教学的出发点和终极目标，即学完正弦定理和余弦定理后，教师可引导学生重新复习回顾全等三角形的判定，并让学生尝试借助这两个定理解释说明判定成立的合理性，从而使学生深刻体会到学习正弦定理和余弦定理不仅仅是为了求解三角形中的未知元素，真正的目的其實是为了解释之前所学的内容，学生的学习欲望和兴趣将进一步提升. 另一方面，给定三角形中的某三个元素解三角形恰好对应SSS，SAS，SSA，ASA，AAS五种情况，教师有义务帮助学生系统总结每种情况适用的定理，以使学生形成清晰稳定的知识结构，同时也实现了初高中所学知识的完美结合. 笔者针对每种情况建立的知识间的一一对应关系如表3所示.

复数

1. 显性联系分析

笔者翻阅人教A版和北师大版“数系的扩充与复数的引入”一节，将教材中涉及的与初中有关内容的联系总结成表4.

由表格可获知，两版本教材主要想借助初中所学“一元二次方程在实数范围内可能无解”这一结论指出实数集扩充的必要性. 当然，为了引入虚数单位i，也为了让学生更快更好地接受新数i，教材这里特意选取了最简单的一元二次方程x2+1=0. 有所不同的是，人教A版回顾了初中由有理数集扩充到实数集的大致过程，为实数集的进一步扩充提供了可借鉴的思路. 笔者认为，在此基础上，教师仍有较大的改进空间，有望在实际教学中更深层次地揭示复数的引入与一元二次方程求解的关系.

2. 隐性联系分析

初中阶段，学生学习了四种求解一元二次方程的方法，依次分别为直接开平方法（（mx+n）2=p型）、配方法、公式法（ax2+bx+c=0（a≠0）型）和因式分解法. 这里，求根公式是通过配方法得到的，故只需讨论以下三种情形：

（1）（mx+n）2=p型的一元二次方程在实数范围内有解，须要求p≥0. 如果p<0，为了保证方程仍然有解，就需要引入虚数单位i（i2=-1），此时方程变形为（mx+n）2=（-1）（-p），进而转化为mx+n= ± i，这样一来，方程在复数范围内就有两解.

（2）ax2+bx+c=0（a≠0）型的一元二次方程在实数范围内有解，须要求Δ≥0. 如果Δ<0，为了确保方程仍能求解，同样引入虚数单位i（i2=-1），此时方程的解x= ，可变形为x= . 由此可见，方程在复数范围内有两解.

（3）某些一元二次方程可以通过因式分解的方法来求解. 像ax2+bx=0（a≠0）型的方程一般用提公因式的方法求解，在实数范围内一定有解. 但部分方程在实数范围内无法使用乘法公式进行因式分解，同样引入复数之后便可迎刃而解. 比如4x2+3=0在实数系内无解，但在复数系内可因式分解为（2x- i）·（2x- i）=0.

教师在教学实施中一方面可引导学生复习回顾初中求解一元二次方程时无解的几种情形，让学生深刻感受到引入复数的必要性和现实需求;另一方面，通过引入复数，进一步加深学生对求解一元二次方程的认识. 学生在此过程中不仅对旧知识有了更深层次的理解，而且提高了对新知识的接受能力，可谓一举两得.

等差数列与等比数列

1. 显性联系分析

笔者翻阅人教A版和北师大版教材“数列”一章，将教材中呈现的两类特殊数列（等差数列和等比数列）与初中已学知识的联系总结成表5，表6.

经过整理分析，笔者发现关于两类特殊数列与初中数学的联系，两版本教材着重在以下两个方面予以体现：①将等差数列的通项公式、前n项和公式分别与初中所学的一次函数、二次函数进行类比，以借助函数思想解决有关问题;②教材列举了许多学生在初中学习有理数的乘方运算时便已熟知的实例，有助于学生从感性材料中抽象概括出等比数列的概念.

2. 隐性联系分析

事實上，两类特殊数列与初中数学的联系远不止这些，笔者认为还有两个方面跟初中数学联系较为密切，它们分别是等差（比）中项和等差（比）数列的整体性质.

其中，由三个数组成的最简单的等差（比）数列中，中间的一项通常称作另外两项的等差（比）中项. 在实际教学过程中，教师往往会一笔带过，但在笔者看来，它在初中数学中有着丰富的原型，初中数学的不少内容都可以见到它的影子. 比如，一个含 的角的直角三角形是初中重点讨论的特殊三角形，它的三个内角 ， ， 恰好构成一个最简单的等差数列， 是另外两内角的等差中项;将一条线段分成两部分，其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分的比，即著名的黄金分割比，这里较长的部分便是较短部分与全长的等比中项. 此外，等边三角形无论是三条边还是三个内角，都既是最简单的等差数列，又是最简单的等比数列. 教师在讲到等差（比）中项时，不妨让学生课后搜集一下与之相关的初中内容，学生将深深领悟到等差（比）中项应用的广泛性.

至于等差（比）数列的整体性质，尽管教材中没有系统总结，但是教师通常会给学生补充，以为后续的巩固练习提供帮助. 这里，笔者认为数列可以跟统计中的数据进行对比分析. 设有一行数，分别为a1，a2，a3，…，an，它既可以看作一个等差（比）数列，又可以看成一组数据.

（1）将它的每个数都增加一个常数b，构成一个新数列或者一组新数据;

（2）将它的每个数都扩大k倍，构成一个新数列或者一组新数据;

（3）将它的每个数都先扩大k倍再增加一个常数b，构成一个新数列或者一组新数据.

讨论形成的新数列的公差或公比的变化情况和新数据的均值变化情况，列成表7.

通过分析表格，可以发现，等差数列公差d、等比数列公比q和数据均值 随着每一项同时扩大相同的倍数或者增加同一个常数，各自的变化情况有所不同. 教师可在课堂上组织学生探究有关结论，经过自主学习探究，学生会惊奇地发现，等差（比）数列的整体性质居然跟数据有着异曲同工之妙，从而将理解得更透彻.

总结

数学学习过程，从本质上讲是有意义学习的过程，是学习者将数学语言代表的新知识与个人认知结构中已有的适当知识建立非人为和实质性联系的过程. 通过上述举例可以看出，初中数学的许多知识可以作为高中数学有关内容的原型和先行组织者，而高中数学的某些知识又可以反过来帮助解释说明初中所学内容. 由此可见，两学段数学知识环环相扣，彼此联系紧密，教师在阐明教材所呈现的显性联系的基础上，有必要帮助学生认真挖掘潜在的隐性联系，以期引导学生把握数学内容的本质，完善学生的知识结构，最终实现学生的有意义学习. ？摇？摇

参考文献：

[1]  涂荣豹，季素月. 数学课程与教学论新编[M]. 南京：江苏教育出版社，2007.

[2]  刘婧. 人教版初高中数学教材衔接研究[D]. 西南大学，2013.