基于认知冲突理论的高中函数定义教学设计

徐小琴

[摘  要] 函数定义是高中核心概念教学的重点与难点. 初中已经学习了函数的“变量式”定义，在复习初中函数定义的基础上，通过学生熟知的“乘2”“平方减1”“倒数”等初等运算自然地引出“对应关系”，从而习得高中函数的定义，这样的教学设计符合学生的一般认知规律.

[关键词] 认知冲突;函数定义;教学设计

函数定义是高中数学教学的难点问题，是历来研究者们热门的话题. 朱文芳老师认为，函数概念教学难在多余非本质属性的干扰，本质属性越多的概念，形成越容易;非本质属性越多，概念形成难度越大[1]. 高中函数概念是反映集合之间对应关系的本质属性的思维形式[2]. 由于高中函数定义中含有大量非本质属性概念和符号，如集合、非空集合、数集、A、B，加之受大脑工作记忆容量“7±2”的限制，所以函數是一个较难形成的概念. 本文拟建立在初中函数概念（形式逻辑）的基础上，通过问题“y=1是否为函数”，引发学生认知冲突，再通过“对应关系”建构新的概念意义（辩证逻辑）.

认知冲突理论概述

新知识的建构无非是通过顺应和同化而得.当新知识与学习者已有知识经验建立联系，并能够相互融合时，学习就是以经济的同化方式进行;当新知识与学习者原有知识经验难以建立某种联系甚至相悖逆时，学习就需要以顺应的方式进行.教育心理学家皮亚杰认为，认知发展过程是“平衡——不平衡——新的平衡”.当新知识与已有知识能够通过相互转化和融合时，学习的方式就是通过简单的同化习得.

当新的外界信息输入时，原有认知基础不能通过同化的方式进行加工，从而产生认知冲突，继而需要建立新的平衡以适应信息输入.认知冲突是指人们意识到认知结构与外在信息或者认知结构各个成分之间存在矛盾的一种知觉状态[3]. 此时也是激发学习者求知欲的最佳时期，也达到了古人所说的“悱愤”状态，进而通过顺应的方式学习.

建构主义学习理论强调，知识不是放之各种情境皆准的教条，而是处于不断发展之中，在不同情境中，它们需要被重新建构[4]. 从函数概念的发展史来看，正是从“变量学说”到“映射学说”的不断“打破平衡——新的平衡”的过程.学生正是由于认识概念过程中的认知冲突，才发展到从初中所学“形式逻辑”到高中“辩证逻辑”的突破.

教学情况分析

1. 教材分析

函数定义是人教A版高中数学（必修1）第一章第二节的内容，是高一学生学习了集合概念之后，运用集合语言刻画函数概念的一个重要内容，也是高中数学中的首个难点内容，更是影响学生学习主动性的一座大山.

从内容上看，《普通高中数学课程标准（2017年版）》中明确提出“在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念”[5]. 高中函数定义是对初中函数定义的重构，是对学生认知的突破，此过程必然产生认知冲突.

从教材安排上看，高中函数定义是继初中函数定义、集合概念等相关知识之后，用集合和对应的关系来刻画函数定义的.在函数定义学习之后将学习函数的性质、函数的图像以及指数函数、对数函数等几种重要的函数.函数定义在知识结构上有着重要的承上启下的过渡作用.

2. 学情分析

通过初中函数概念、简单函数的学习，学生基本掌握了特殊的正比例函数、反比例函数、二次函数等具体函数，初步认识“形式化定义”的函数，并且认识到函数刻画了两个变量的对应关系.在函数定义学习之前，学生已经学习了集合的相关内容，为函数定义用集合表示奠定了一定知识基础.

但是，集合作为新概念，学生认识能力有限，还难以将其作为数学语言（基本语言）去刻画新的概念.

3. 教学目标分析

（1）知识与技能目标：理解函数的概念，会用集合与对应的语言刻画函数，认识函数符号f（x），会求函数值.

（2）过程与方法目标：通过对几个对应关系的分析，引导学生探究发现函数概念的特点，培养学生的抽象概括能力.

（3）情感、态度与价值观：让学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生养成积极思考、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度.

4. 教学重点、难点分析

（1）教学重点：函数定义的理解，对符号f（x）的理解.

（2）教学难点：函数定义的理解.

设计思想

课程设计体现新课程理念，坚持学生为主体，教师为主导，强调学生在知识建构中的积极作用，以问题驱动生成.基于认知冲突理论及函数定义的教学地位，制定了函数定义的“八步”教学设计，即“导”“疑”“示”“概”“定”“译”“释”“用”. 通过y=1是否为函数引发学生在新旧知识之间产生认知冲突;借鉴并改进教材[6]示例，利用学生熟知的“乘2”“平方减1”“取倒数”三种初等运算，理解函数本质——对应关系;提炼共同特征，认识函数的“一对一，多对一”关系;给出函数定义，建立新的认知平衡.

函数定义的“八步”教学设计，主要是指“导”→“疑”→“示”→“概”→“定”→“译”→“释”→“用”的八个教学过程，教学设计流程如图1所示.

“导”是指复习引入. 新知识建立在学生已有知识基础之上，有利于学生建立新的认知结构，从而减少工作记忆负担.

“疑”是指提出问题（设疑）. 通过问题“y=1是否为函数”设疑，使学生形成新旧知识之间的认知冲突.

“示”是指展示案例.利用学生熟知的“乘2”“平方减1”“倒数”三种初等运算，理解函数本质——对应关系.

“概”是概括本质特征. 通过对示例的本质特征的概括，即满足“一对一，多对一”的对应关系.

“定”是科学定义. 通过对应关系给出函数的科学定义.

“译”是编码定义及符号. 函数定义中包含大量的非本质属性的概念和符号，需要对其进行编码记忆，同时理解哪些是本质属性，哪些是非本质属性.同时对函数的定义域、值域有新的认识.

“释”是解决问题（释疑）. 通过函数定义的学习，解答课堂伊始提出的问题，达到顺应的认知过程.

“用”是应用. 布鲁姆认知目标分类层次中将应用水平放在知识与理解的更高水平. 学以致用，应用不仅是学习的目标也是对巩固新知识的重要方式.

基于认知冲突理论的函数定义“八步”教学设计

第一步：“导”

回顾初中所学函数定义：如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数[7].

设计意图：影响学习的重要内部因素是学习者原有的知识基础[8]. 从初中所学函数定义过渡，既是对旧知的复习巩固，也是新知讲授的“先行组织者”.同时，也是为下一环节引发认知冲突做好知识准备.

第二步：“疑”

问题1：应用初中函数的定义判断y=1是否为函数.

分析：运用初中函数的定义，y=1中只有一个变量y，不满足y随x的变化而变化.然而，y=1是一个函数，需要对函数的概念有一個更准确（完善）的认识.

设计意图：以问题情境引入课题，y=1是最简单的函数，看似简单，内涵却丰富，是数学“简单美”的诠释.运用初中函数的定义难以判断y=1是否为函数，从而激发学生的认知冲突.初中函数的定义十分狭隘，迫切需要对函数的定义有新的认识.上一节学习了集合的概念，集合是我们数学的基石，那么今天我们就站在集合这块基石上来重新研究一下函数的概念.

第三步：“示”

下面先看两个非空数集A，B的元素之间的一些对应关系的例子，如图2所示.

第四步：“概”

问题2：观察它们有什么共同特征？

分析：其共同特征是，对于集合A中的任意一个数，集合B中都有唯一确定的数和它对应.可以简单表述为“一对一，多对一”，但不能是“一对多”.

设计意图：通过学生熟知的“乘法”“求平方”“求倒数”等初等代数运算，认识函数定义中的对应关系，自然地引出高中函数的定义，这样的教学设计符合学生的认知规律.从学生已有知识经验引导，建立关于“对应关系”的认知体验，搭建脚手架.

第五步：“定”

定义[9]：设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系“f”，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f（x），x∈A.

其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域（domain）;与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合（f（x）∈A}叫作函数的值域（range）. 显然，值域是集合B的子集.

第六步：“译”

问题3：理解函数定义时应该注意些什么？

教师强调任意性和唯一性，任意性是指A中的任何一个数都对应着B中的某个数;唯一性是指A中的任意一个数对应着B中唯一的一个数.

设计意图：分解定义中的难点，深化对函数定义本质的理解.特别是任意性与唯一性的理解，可以举例说明（正例和反例）.

注意：（1）A，B都是非空数集;（2）A对应到B时，A中元素的任意性和B中元素的唯一性;（3）函数有三要素：定义域、值域和对应关系.

第七步：“释”

解答问题1：y=1是函数.因为其定义域为R，值域为{1}，对应关系为y=1.定义域R中的任意一个数通过对应关系，在值域中都有唯一的数1与它对应.

设计意图：释疑，使用函数定义解决课堂伊始的问题y=1是否为函数，有疑则释疑.同时，在设计结构上首尾呼应，有问有答.

第八步：“用”

例1：已知函数f（x）= + .

（1）求函数的定义域;

（2）求f（-3），f 的值;

（3）当a>0时，求f（a），f（a-1）的值.

学生先做，教师在PPT上给出过程.

设计意图：布鲁姆将学生的认知目标分为知识、理解、应用、分析、综合、评价六个层次[10]，应用水平是在理解水平之上进行的，只有将所学的内容应用于解决问题，才是学习的目的. 边讲边练，将知识转化为技能.在理解函数定义的基础上，能求函数的定义域和对应函数值. 培养学生的应用意识和运算求解能力. 第（1）问，在求解定义域的问题中，根式与分式问题是重点;第（2）问和第（3）问是函数求值的基本题型，从具体到抽象，由浅入深，设计符合认知规律.

课堂小结

（1）知识：函数的定义、函数的三要素以及如何判断函数相同.

（2）方法：回顾用集合的语言描述函数概念的过程，体会从简单到复杂、从特殊到一般、由感性到理性的数学方法.

作业布置

（1）复习本节课知识.

（2）P24习题1.2A组：1，2，3，4（必做题）;B组：3，4（选做题）.

设计反思

第一，本设计没有使用教材的“图表式、解析式、图像式”的函数情境. 本设计从“y=1是否为函数”的问题引入，一方面借助初中所学函数的“脚手架”，另一方面考虑到函数是研究数集到数集的对应关系，一旦具备了现实背景就需要对量进行抽象，如教材中的炮弹发射高度、恩格尔系数等都是数量关系，而不是函数.

第二，高中函数定义是建立在理解对应关系基础之上的，因此，有必要先学习映射再进行函数定义的教学，函数是特殊的映射，映射贯穿整个学习全过程.

第三，关于函数的定义还存在诸多争议，如一元与多元的问题[11]，且函数定义过于冗长、非本质属性多，迫切需要一种言简意赅的函数定义方式.

第四，映射是函数的教学基础. 函数是一种特殊的映射，有映射概念作为基础，函数定义更易理解，因此建议高中数学先学映射再学函数定义.

参考文献：

[1]  朱文芳. 函数概念学习的心理分析[J]. 数学教育学报，1999（04）：23-25.

[2]  赵思林，王佩，徐小琴. 高中函数定义难学的原因[J]. 内江师范学院学报，2017（06）：23-28.

[3]  Gyoungho Lee，et al.Development of an instrument for measuring cognitive conflict in secondary-level science classes.Journal of Research in Science Teaching，2003（06）：585-590.

[4]  冯忠良，伍春新，姚梅林等. 教育心理学[M]. 北京：人民教育出版社，2000：124-169.

[5]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.

[6]  人民教育出版社中学数学室. 全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）[M]. 北京：人民教育出版社，2006.

[7]  王建磐等. 义务教育教科书数学八年级下册[M]. 上海：华东师范大学出版社，2013.

[8]  皮连生. 教育心理学（第四版）[M]. 上海：上海教育出版社，2011.

[9]  人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准实验教科书·数学（必修1）[M]. 北京：人民教育出版社，2007.

[10] 全国十二所重点师范大学联合编写. 教育学基础[M]. 北京：教育科学出版社，2014：321.

[11] 赵思林，王佩，徐小琴. 高中函数定义存在的问题与修订建议[J]. 教学与管理，2017（01）：41-43.