高中数学一元二次含参不等式的解法探讨

张明

摘 要： 新课标改革背景下，高中数学教学工作面临新的标准要求，选取高中数学一元二次含参不等式这一课时内容加以探究，结合普通高中数学新课程标准对数学教学的新要求与建议，以及本校实际教学情况、现有成果，探究高中数学一元二次含参不等式的解法，真正打造以学生为主体的课堂，提升高中数学课堂教学效率.

关键词： 高中数学 一元二次含参不等式 教学设计

一、问题提出

在新课程不断深化改革的教育背景下，以我校（高中）数学教学工作为例，课程体系、教学内容设置发生了很大变动.在这种情况下，我们必须重新审视高中数学教学，例如，在“教”与“学”的过程中，新课标要求数学教师要以学生学习为主体，引导学生对数学的感受和理解，有意识培养学生积极主动学习的心态思维.对于数学这门学科来说，最大的教育价值就在于培养、提升学生的创新能力、思维能力，本质强调的就是事物不断变化发展规律.简单一点讲，是指在课堂教学、教学设计中，注重学生发生问题、分析问题、解决问题的过程式能力培养，这是一种数学思想方法的渗透，目的很明确，就是让学生学以致用.一元二次含参不等式这一章节内容在整个高中数学教学内容体系内，占据重要地位，是高中集合知识的巩固与整合，同时也是导数、线性规划、直线与圆锥曲线等知识认知的基础，更重要的是蕴含数学思想方法中最本质的一项，包括归纳、转化、数形结合等.因此，一元二次含参不等式的解法在整个高中代数中扮演着不可替代的工具作用，尤其在普通高中新课程标准出台之后，在该课时教学环节，更注重课前教学设计、课后反思及课中情境创设教学模式.

二、一元二次含参不等式解法

关于高中数学一元二次含参不等式的解法，以及相关教学设计，在该教学工作中，必须注重这一问题，在课堂教学设计层面，可坚持从两个方向切入.首先是强化学生的分类意识，合理分类，其次是确定讨论对象.以一元二次含参不等式该章节为例，确定讨论主题环节包括三类，第一类是讨论二次项系数型，第二类是讨论判别式型，第三类是讨论根的大小型.这里简单探讨前两种最常见、过程相对容易的解题策略.

（一）二次项系数

二次项系数是我们在高中数学一元二次含参不等式学习中最常见的一种题目类型，如题目1“m∈R，求解不等式m x +2mx-3<0中的x取值范围？”

对于题目1这种题型，首先要探讨分析其中二次项系数，学生清楚地看到二次项系数是用字母表示的，在这种情况下，学生最先想到的应该是分析二次项系数的两种情况，为0时，不为0时.然后分类讨论，当二次项系数为0时，该一元二次含参不等式就变成了一元一次不等式.紧接着解出“-3<0”，该不等式恒成立；当二次项系数不为0时，可以将上述一元二次含参不等式分解，分解后得出（mx+3）（mx-1）<0，计算到该步骤环节，可以将该不等式的两个根表示出来，x =3/m，x =1/m.第三步就是分类探讨m的另一种情况，即m>0时和m<0时.当m取值大于0时，x的解的集合表示为{x|-

最后，将上述所有探讨分析的情况统一归纳，最终得出正确的解题答案：

①当m>0时，x的取值范围-

②当m=0时，x∈R；

③当m<0时，x的取值范围

（二）判别式

一元二次含参不等式例题2“求解2x +ax+2>0方程中的x”.以例题2为例，对于例题1而言，可以直接探讨分析二次项系数，也就是其中的字母，但对于例题2不等式，当其中有字母，并且不容易观察到该字母对应方程是否存在实根的时候，解题策略是讨论判别式，思路保持不变，合理分类、确定讨论.

第一步，令不等式等于0，即2x +ax+2=0，然后分类探讨三种情况：

①当△=a -16<0时，不等式大于0恒成立；

②当△=a -16>0时，可求出方程式的解，即在小于小根、大于大根的范围情况下，不等式恒成立.

③当△=a -16=0时，求出方程式的解，在实根以外的范围内，不等式恒成立.

首先，△<0，即-4

其次，△>0，即a<-4或者a>4，得出原不等式的两个方程根，x = （-a- ），x = （-a+ ）.

最后，△=0，即a =16，进一步得出a=±4，在±4的情况下，x的解为-a/4，计算得出一元二次含参不等式中x解范围为x∈R且x≠-a/4.

三、解题过程中常见错误及注意事项

一元二次含参不等式是高一的一章节内容，对学生整个高中数学学习影响重大.高一数学中的一元二次不等式与初中阶段相比较，两者应当是一种过渡关系，是高一学生对一元二次含参不等式概念、形式了解比较模糊的主要原因，因为接触到的大多数学生比较容易受思维定势的影响，在学习和解题过程中经常忽略掉二次项系数的取值范围，特别对个别特殊的解集的判定，比较容易混淆.其次，就是学生对一元二次含参不等式求解能力有待进一步强化，很多学生对它的性质理解不够透彻，包括数学知识间的逻辑联系、集合关系与不等式解集之间的转化关系，以及分式不等式等价转化等.总体来看，在新课标课堂教学中，数学老师应当继续强化课堂分类讨论解题思想，在具体细节上加以改造，侧重对学生数学解题思想的运用.

参考文献：

[1]杨春娟.含参一元二次不等式的解法与恒成立问题[J].中学生数学（高中版），2015（2）：28.

[2]刘正权.用已知求未知——高中数学函数中一类含参问题解法分析[J].中学教学参考，2014（8）：42.

[3]陈建红.含参数不等式的解法[J].新课程学习：基础教育，2012（10）.