从“一题多解”到培养学生的发散性思维和创新性思维

☉清华大学附属中学 刘 庆

数学学科核心素养要求学生获得学习知识的能力，而作为高中数学教师，需要具备培养学生自主获得新知的能力.于是，在教学中需要深入浅出、以点带面地对知识点进行逐步加深，并给学生举一反三，从多角度及多维度思考问题，进而找出问题的本质.

一、理论基础

一般认为，“素养与知识（或认知）、能力（或技能）、态度（或情意）等概念的不同在于，它强调知识、能力、态度的统整，超越了长期以来知识与能力二元对立的思维方式，凸显了情感、态度、价值观的重要性，强调了人的反省思考及行动与学习.”“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的公民需要具备的认识，并理解数学在自然、社会生活中的地位和能力，做出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力.”可见，数学素养是人们通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略.人们所遇到的问题可能是数学问题，也可能不是那么明显的数学问题，而具备数学素养的人可以从数学的角度看待问题，可以用数学的思维思考问题，可以用数学的方法解决问题.数学学科核心素养可以理解为学生学习数学应当达到的有特定意义的综合性能力，核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力，核心素养是基于数学知识、技能，又高于具体的数学知识、技能，反映了数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、整体性和持久性.

二、实例研究——函数的零点

1.基本问题基本数学素养的积累

在高中数学教学中，数学老师需要注重培养学生逐步理解问题、分析问题并解决问题的能力，并有意识地培养学生的发散性思维与创造性思维，善于从不同的角度去理解同一问题.本文主要以高一教材必修1中函数的零点作为切入点，探讨在教学中如何渗透培养学生的发散性思维和创造性思维.下面我们将通过几个典型的例题来展开我们的论述.

题型一：设函数f（x）=x2-ax有两个零点，求a的取值范围.

解：令f（x）=0，得x=0或x=a，那么f（x）有两个零点意味着a≠0，从而a∈（-∞，0）∪（0，+∞）.

此题是求二次函数的零点问题，可以直接根据零点的定义将二次函数所有的零点求出来，再根据题意得到a的取值范围.

本例是根据函数零点的定义直接进行计算，但是，往往在教学活动中并不是所有的找函数零点问题都可以通过直接求得零点来解决，而是需要学生从不同的角度灵活地运用所学的知识找到解决问题的途径.一般来说，函数的零点可以通过数形结合的方式求得，尤其是通过简单的加减乘除运算将基本函数组合在一块的函数.

题型二：判断函数f（x）=|x-2|-lnx的零点个数.

解：f（x）的零点可以视为函数y1=|x-2|与y2=lnx（x>0）的图像交点的横坐标，y1，y2的图像如图1所示，显然y1与y2的图像有两个不同交点.从而f（x）=|x-2|-lnx有两个不同零点.

图1

显然，本例中的函数并不是我们熟知的函数，尝试用直接找零点的方式确定零点的个数不太现实，于是需要引导学生对函数式进行变形.最容易联想到的是对函数式进行移项，这样会得到等式|x-2|=lnx，对于这个两边都含有x的式子而言，很容易使学生联想到，我们可以构造两个函数，然后通过寻找这两个函数的交点的横坐标的个数来判断本题中函数零点的个数，于是引导学生得到以上解法.

这样将求函数零点的个数转化为求两个函数交点的个数，是我们在学习函数零点的过程中常用的方式，有时在求参数的取值范围的过程中将零点转化为一个函数与一个常函数的交点也很常见.参见下例：

题型三：设函数y=x2-|x|+a有四个零点，求a的取值范围.

解：f（x）的零点可以视为函数y1=x2-|x|与y2=-a的图像交点的横坐标，其中y2的图像随a的变化而上下移动.如图2所示，则若要y1，y2的图像有四个不同的交点，则

图2

本例中一个非常好的现象是当将原题中的函数分割成两个函数时，一个以二次函数为基础建立起来的偶函数是固定的，也就是说这个偶函数的图像可以完全确定地画出来，此时我们只需让常函数动起来，然后通过判断交点的个数来求解参数a的取值范围即可，而常函数的移动是学生比较容易想象的.

2.在解决问题的过程中培养学生的数学学科核心素养

求解函数的零点的个数常常可以跟方程的根的个数或者两个函数的交点的个数联系起来，而在实际的教学过程中，我们常常会碰到的一类问题是函数式的变形并不是唯一的，也就是说，会从多个不同的角度，利用不同函数的性质和图像解决问题.那么在启发引导学生的过程中，教师应更加注重拓展学生的思维，引导学生做出不同的变形并求解.一般来说，函数零点问题转化成两个函数图像的交点时，尽量让一个函数已知另一个函数动起来找参数的取值范围，那么结合学生现在已有的基础来看，尽量让复杂的图像固定住，比如二次函数与一次函数相交的话，尽量让二次函数固定住，如果还有分段函数的话，也尽量让分段函数固定住.下面我们用一个例子来说明如何培养学生思维的灵活性.

例已知函数f（x）=ax2-|x|+a有四个零点，求a的取值范围.

解法1：从最直观的概念入手并观察出此函数为偶函数，根据偶函数的性质可知，若函数有四个零点，只需要保证函数有两个正的零点即可，对应的函数一定会存在两个负的零点，于是函数有四个零点的条件就得以保证.这样分析的话，不但让零点个数变得简单，而且在研究函数只具有正零点的时候函数里的绝对值可以被去掉，从而得到一个学生熟悉的类似于二次函数的形式，具体解答如下，

首先，a=0显然不满足要求，因此a≠0，此时0不是f（x）的零点.注意到f（x）是偶函数，因此f（x）有四个零点⇔f（x）有两个正的零点⇔ax2-x+a=0有两个正根⇔

解法2：本题依旧可以引导学生通过对原题中复杂的函数式进行变形，将此问题转化为求两函数交点的问题，最简单的变形即移项，于是得到以下解答.

图3

f（x）的零点可以视为函数y1=|x|与y2=a（x2+1）的图像交点的横坐标，其中y2的图像随a的变化而变化.则f（x）有四个零点⇔y1，y2的图像有四个不同的交点.如图3所示，a≤0时，显然不满足条件.a＞0时，要满足条件，y2图像的开口必须比相切时候的开口要大.而y1，y2图像相切⇔ax2-x+a=0有两个重根（舍），又根据二次函数图像的特点知a越小开口越大，从而

解法3：在解法2中，两个函数都不是特别简洁，而且在讨论一个带绝对值的函数和二次函数的交点过程中，是二次函数的开口在发生变化，这种变化使学生在定量地寻找参数关系时感觉比较复杂，于是我们考虑到另外一种方式，即能否让二次函数固定，而线性的绝对值函数动起来呢？只需要将参数移项即可做到，于是得到如下解法，

首先，a=0显然不满足要求，因此a≠0.类似解法2，f（x）的零点可以视为函数y1=与y2=x2+1的图像交点的横坐标，其中y1的图像随a的变化而变化.则f（x）有四个零点⇔y1，y2有四个不同交点.如图4所示，a＜0时，显然不满足条件.a＞0时，若要满足条件，y2的图像开口必须比相切时的开口要大.而y1，y2图像相切⇔ax2-x+a=0有两个重根⇔Δ=1-4a2=0⇔a=（舍），从而

图4

从这个例子中可以了解到，具备数学素养有助于学生发散性思维、创新性思维的培养，而且在整个解决问题的过程中，适当地拓宽了函数的基本面，也可以随时复习不同函数的不同性质，让学生的思维得到了极大的锻炼，久而久之，学生的数学学科核心素养便会在不知不觉中得到培养.W