核心素养视角下高中数学教学模式的构建与应用*——以“离散型随机变量的分布列”单元复习课教学为例

☉广东省广州市天河外国语学校 许泽然

☉广东省华南师范大学附属中学 林 琪

一、问题提出

2014年12月，教育部召开普通高中课程标准修订工作启动会议，在这次会议上，数学核心素养被写入了课程标准中.在这之后的一段时间里，数学界掀起了研究核心素养的热潮.在一批大学教授、教育学者的共同努力下，数学核心素养的内涵和构成要素逐步清晰起来.史宁中教授用三会（会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界）来概括数学核心素养的精髓.高中数学课程标准修订组对数学核心素养的构成进行了详细的划分，认为数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个要素.

根据单元复习课的特点，经过实践研究，笔者探索了“创设情境—提炼问题—解决问题—交流讨论—自主小结”的单元复习课教学模式，以期解决当前单元复习课模式单一、效率较低的问题.

二、“创设情境—提炼问题—解决问题—交流讨论—自主小结”教学模式的构建

1.理论基础

马云鹏教授等人认为，在新一轮的课堂组织与实施的过程中，在坚持“双基”的合理内核下，在感悟“数学基本思想”，积累“基本活动经验”的同时，通过创设恰当的数学情境，将形成和发展数学核心素养作为数学教学的核心要求.

吕世虎教授等人认为，数学核心素养是个体从数学的角度观察事物，并借助数学知识与思想方法解决数学学习或者现实生活情境中相关问题的综合能力，以及个体所持有的数学情感态度与价值观等.它是个体在数学学习过程中形成并获得的，是数学化地思考和解决实际问题，是进行有效的数学表达与交流起关键性支撑作用的数学素养.它不仅表现在对纯数学知识与技能的拥有量等显性方面，还表现在数学化地思考和解决问题时所展现出来的品质、能力及精神风貌等隐性方面.

2.模式构建

在数学核心素养的视角下，构建了“创设情境—提炼问题—解决问题—交流讨论—自主小结”的单元复习课教学模式.

（1）创设情境：这里所讲的情境有别于一般意义上的“情境引入”，它既可以是现实世界情境，也可以是纯数学情境.它在教学设计中起到的是主线的作用，可以引发学生挖掘其中具有数学规律性的事物，从而引出学生记忆中学习过的知识点.

（2）提炼问题：提炼问题可以由教师提出，也可以由学生提出.这需要个体能从数学的视角对数学情境进行数学抽象，并用数学的语言提炼问题.教师必须围绕教学目标对提炼的问题作出整体的规划，特别是对学生提炼的问题要有充分的预设，达到利用问题引导学生参与到教育教学中来，以及利用问题推动知识向前发展的目的.

（3）解决问题：这个环节主要是学生利用数学知识与技能对问题进行求解，从而得到结果.这里需要充分调动学生的各种技能，依靠数学抽象过程生成数学抽象核心素养、凭借数学理性思维生成逻辑推理核心素养、利用数学综合实践生成数学建模核心素养、通过数学问题解决生成直观想象核心素养、借助数学算法算理生成数学运算核心素养、依赖数学统计思维生成数据分析核心素养.这是整个课堂中渗透和培养学生数学核心素养的关键环节.

（4）交流讨论：这里需要改变传统教学模式中教师一言堂的状态，教师需要结合核心素养的要求，通过交互式的教学方法让学生在小组中进行合作学习，提倡学生大胆质疑，提倡生生之间进行的对话，让学生敢于分享、乐于分享.通过这一过程可以提升学生学习数学的主动性和积极性，对学生数学核心素养的培养具有积极的促进作用.

三、“创设情境—提炼问题—解决问题—交流讨论—自主小结”教学模式的应用

1.学习目标

（1）能正确辨别超几何分布和二项分布，并能利用这两种分布解决具体问题.

（2）能利用分布列解决生活中的实际问题.

2.教学重点与难点

教学重点：利用分布列解决生活中的实际问题.

教学难点：辨别超几何分布和二项分布.

3.教学过程

（1）创设情境，引出案例.

师：同学们，我们在必修3学习了统计的基础知识，我们学习统计的目的是什么呢？

生：服务于生产，服务于生活.

师：是的，统计学已经被广泛地应用于生产和生活的方方面面.同样，前面我们学习的分布列在生活中也有着广泛的应用，下面我们通过一个案例来体会分布列在生活中的应用.

师：今天我们研究的主角就是——面包（PPT展示面包图片）.

师：小明开了一家面包店，经营效果还行，他想根据现在面包店的情况考虑接下来的运营对策.你能帮助他分析运营情况吗？

生：首先应该搜集面包店过去的销售情况，得到一些原始数据.

师：很好，现收集了小明的面包店在过去一个月内（以30天计）的销售情况，记录如下：

25 138 180 199 43

111 52 68 211 125

135 35 190 230 128

145 149 105 141 178

160 166 185 56 162

178 78 62 89 244

师：看到这些数据你有什么感觉？

生：数据比较零散，看不出规律.

师：那么我们有必要对数据进行处理，用什么方法呢？

生：可以利用统计图表，例如频率分布直方图等.

师：很好，我绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1所示.

师：现在我们结合频率分布直方图，来帮小明分析面包店的运营情况.

图1

（2）提炼问题，拾级而上；解决问题，落实素养.

问题1：从这30天日销售量超过150个面包的天数中抽取出4天，记日销售面包个数超过200的天数为X，求X的分布列及数学期望.

生1：（板演并讲解）由频率分布直方图知，日销售量超过150个的天数为12，其中日销售面包个数超过200的天数为3，依题意，随机变量X服从超几何分布.随机变量X的可能取值为0，1，2，3.

故X的分布列如表1所示：

表1

师：同学们有不同的看法吗？有问题想问吗？

生2：我是用二项分布做的，怎样判断随机变量X服从超几何分布呢？

生1：从日销售量超过150个的天数中抽取出4天，是在有限容量中抽取，故可视为超几何分布.

生3补充：上述抽取是无放回抽取，无放回抽取可视为超几何分布.

生4：随机变量X的取值一开始我写的是0，1，2，3，4.怎样避免这个错误呢？

师：这个问题提得好，随机变量X的取值是超几何分

故X的数学期望为：布中一个易错的点.

生5：日销售面包个数超过200的天数总共才3天，因此随机变量X的取值最多取到3，这里很容易受思维定式的影响，大家要克服定式思维.

师：同学们都很积极踊跃地发言，非常好.通过刚才同学们的交流，我们应该把超几何分布弄清楚了，那么，你的头脑里还有哪些超几何分布的例子呢？

生6：一个箱子中，装有3个红球和4个黑球，从中取出4个球，求取出的红球数X的分布列.

生7：在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求取出的次品数X的分布列.

师：非常好，生7所举的例子是课本中的例子，大家要善于从课本中找到题目的原型.无论是问题1，还是摸球问题，或是次品问题，它们有什么共同的特征呢？

生8：问题都涉及了两个事物.

师：是的，通过进一步概括，我们可以总结出超几何分布模型的基本结构：

（PPT投影）一个总体（共有N个）内含有两种不同的事物A（有M个）、事物B（有N-M个），任取n个，记取出事物A的个数为X（随机变量），求X的分布列.

师：这里要特别注意随机变量X的取值为0，1，2，…k，k∈min{M，n}.

问题2：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.记接下来一周的日销售量超过150个的天数为Y，预计在接下来的一周里，恰有3天日销售面包个数超过150个的概率及Y的数学期望.

师：有部分同学没有求出最终结果，这里要用分数进行运算，小数运算会比较麻烦.

师：随机变量Y服从二项分布，怎样判断随机变量Y服从二项分布呢？

生10：每天的销售量相互独立，故可视为二项分布.

生11：将日销售量落入各组的频率视为概率，说明是对无限总体的研究.

师：说得很好，在求Y的数学期望的时候，有些同学想先求Y的分布列，这样可以吗？

生（一起）：哇！这样会很累.

生12：对于服从二项分布的随机变量，求其期望时，我们可以不求分布列，直接利用公式求解.

师：大家还能举出一些二项分布的例子吗？

生13：投掷一枚图钉4次，求针尖向上的次数X的分布列.

生14：某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中，击中目标的次数X的分布列.

师：我们来看看，刚才所举的例子有什么共同特征呢？

生15：都涉及事件的两个方面，即事件发生或不发生.

师：是的，进一步概括，我们可以总结出二项分布模型的基本结构：

（PPT投影）在n次独立重复试验中，只有事件A和A发生，其中事件A发生的概率为P，记事件A发生的次数为X（随机变量），求X的分布列.

（3）总结规律，分辨模型.

师：在具体问题中，如何分辨超几何分布和二项分布呢？

学生讨论后小结1：若有“从（有限个中）选取”等字眼，则是对样本的研究；若采用不放回抽样，抽取的结果对后面有影响，则有可能为超几何分布.

学生讨论后小结2：若有“频率视为概率”，则是对无限总体的研究；若有“实验具有重复性”“有放回抽样”等字眼，则整个过程为一重复过程；若有“实验次数多”，虽然对总体抽样时不放回，但在大量的情况下仍可看作独立重复，则有可能为二项分布.

师：以上我们总结了两种分布模型的一些关键字眼，是否为超几何分布或二项分布，还需进一步分析概率事件.

（4）自主小结，加深升华.

师：学完本节课，你有什么体会呢？

生16：我深深体会到，数学来源于生活，分布列在生活中有广泛的应用.

生17：在具体的问题中，我学会了如何辨别超几何分布和二项分布，在本节课介绍的若干方法中，样本与总体的区分是辨别超几何分布和二项分布的核心.

生18：概率与统计不分家，概率常常与统计结合在一起.

师：同学们的总结非常到位，本节课的一条主线就是对随机变量的研究.对于随机变量，一般我们先研究随机变量的分布列，再研究随机变量的分布列的类型，进而研究分布列衍生出来的数学期望和方差，以及它们的实际意义.而本节课的另一条暗线则是对统计问题的研究，对于统计问题，一般要经历收集数据（抽样）、整理数据（统计图、表）、分析数据（数字特征）、统计推断这四个过程.

四、教学反思

1.创设情境，贯彻整个单元复习

本节课是学生在学完分布列后上的一节单元复习课，学生对超几何分布、二项分布这两种重要的分布模型往往分辨不清，同时对分布列的一些实际应用还不够熟练.笔者针对学情，设计了本节单元复习课.本节课从生活中面包店经营状况的情境出发，教师提炼出了两个问题，这两个问题涉及超几何分布、二项分布的应用，逐步展开、层层深入.最后引导学生自主小结，总结两种分布模型的特点.在本节课中，面包店的经营状况就是一条主线，它把这一单元中存在内在联系的知识贯穿在一起，使之凝聚集中，形成链条，学生顺藤摸瓜，从一个链条上摸索下去就可以获得对整个单元知识的深刻记忆.

2.单元复习课教学模式各环节的关系

在“创设情境—提炼问题—解决问题—交流讨论—自主小结”单元复习课教学模式中，学生的数学双基是基础，是形成数学核心素养的载体，问题的提出与解决是核心，学生通过“做数学”“用数学”的实践活动积累数学活动经验，加深对数学的理解.另外，在数学课程标准中，把“学会数学交流”作为解决实际问题的重要能力之一.在课堂教学中，教师要创造机会让学生进行数学的沟通与交流.该模式中，双基是基础，情境是主线，问题是核心，交流是路径，各个环节逐次递进，构成了一个相互联系、密不可分的整体.笔者相信该模式的构建与应用，对学生核心素养的培养会起到积极的促进作用.