Orlicz函数的基本性质及其应用

韩亚洲

(新疆大学数学与系统科学学院,乌鲁木齐830046)



Orlicz函数的基本性质及其应用

韩亚洲

(新疆大学数学与系统科学学院,乌鲁木齐830046)

[摘要]讨论了一类凸函数的基本性质,并应用这些基本性质证明了Orlicz-Lorentz空间上的一个插值定理.

[关键词]凸函数;Orlicz-Lorentz空间; 不等式

凸函数是分析学中的一类非常重要的函数, 在数学分析、高等数学、实变函数、泛函分析等教材中都可以找到它的定义和应用. 应用它的性质不仅可以准确地描述函数的图像, 还可以证明不等式. 同时凸函数也是凸分析的重要研究对象,它的研究结果在许多领域都得到了广泛的应用.例如, 凸函数在数学规划论、 函数空间论和最优控制等学科都有广泛的应用.

在不同版本的教材及参考书中, 其定义形式也有区别条件有强有弱, 彼此之间又密切相关.大部分教材中只介绍了凸函数的定义和基本性质, 对凸函数的介绍都不是很系统,本文将对凸函数的定义和Orlicz函数的基本性质及应用作简要的介绍.

定义1[1]设f(x)为定义在区间I上的函数. 若对I上任意两点x,y和实数0

f(sx+(1-s)y)≤sf(x)+(1-s)f(y),

则称f为区间I上的(下)凸函数.

1Orlicz函数的定义和基本性质

在这一节中将讨论Orlicz函数的基本性质.令φ:[0,∞)→[0,∞)为Orlicz函数,即φ为连续递增的凸函数且满足

由凸函数的性质可知,φ在除去一个可数集后φ′(t)存在,在这可数个不可导的点处, 取其右导数，这样就保证了φ′(t)在任意点都存在. 容易验证φ′(t)是单调增函数且φ′≥0.设φ为Orlicz函数, 令

则M(t,φ)是关于自变量t的有限的次可乘函数, 即M(ts,φ)≤M(t,φ)M(s,φ).定义

由文献[2]中的定理11.3可知对足够大的t，有tqφ≤M(t,φ)≤tqφ+ε；对足够小的t,有tpφ≤M(t,φ)≤tpφ-ε.更多有关次可乘函数的性质见文献[2].

称φ∈Δ2, 若φ(2t)≤Cφ(t),t>0对某个常数C>1成立. 设A,B 是两个常量,记AB, 若存在某个常数C满足A≤CB.设φ,ψ都是Orlicz函数, 记φ≈ψ, 若存在常数Ci>0,i=1,2,3,4,使得C1φ(C2t)≤ψ(t)≤C3φ(C4t)，t>0成立.

下面列出的Orlicz函数的性质可以在文献[2, 3]中找到,但有的没有详细的证明过程. 为了方便在这里我们写出了详细的证明.

性质1(i) 设φ,ψ都是Orlicz函数. 若φ≈ψ,则有pφ=pψ,qφ=qψ；

(ii) 设φ是Orlicz函数, 若ψ(x)=xnφ(x),则有n+pφ=pψ, n+qφ=qψ.

证(i) 见文献[2].

(ii) 由条件可得M(t,ψ)=tnM(t,φ),然后应用定义直接计算可知结论成立.

(ii) 设Orlicz函数满足Δ2条件, 则1≤pφ≤qφ<∞且pφ=pφ′+1，qφ=qφ′+1.

和

因此qφ≤a<∞.

反之,若qφ<∞,则存在常数00.因此当t≥2时,有φ(2u)≤φ(tu)≤tbφ(u),u>0.故φ∈Δ2.

证(i) 若r0使得pφ-ε>r.从而存在足够小的t0,使得当0≤t≤t0<1时，有M(t,φ)≤tpφ-ε.因此φ(tu)≤tpφ-εφ(u),u≥0,t∈[0,t0]. 若t∈[t0,1],则

(1)

进而存在常数C>0使得φ(tu)≤Ctpφ-εφ(u),u>0,t∈[0,1].故

(ii) 若qφ0使得qφ+ε0满足φ(tu)≤Ctqφ+εφ(u),u>0,t∈[1,∞).直接计算可得

2Orlicz函数的一个应用

λt(f)=m({s∶|f(s)|>t})

和

μt(f)=inf{s>0∶λs(f)≤t}.

(2)

定义2称映射T:L0→L0为拟线性算子, 若

(i) |T(αf)|≤|α||T(f)|,f∈L0,α∈；

(ii) 存在常数K>0使得对任意的f,g∈L0满足|T(f+g)|≤K(|Tf|+|Tg|).

特别地, 当K=1时称T为次线性算子.

定理1设φ∈Δ2是Orlicz函数且1

则对任意的f∈Λφ,ω1有

(3)

因此,应用等式(2)和Orlicz函数的Δ2条件可得,

再结合不等式不等式(3)和W0的Δ2条件可得

进而可得

又因为φ满足Δ2条件,故pφ=pφ′+1, qφ=qφ′+1且φ′单调递增.应用性质3及等式(2)可得

[参考文献]

[1]欧阳光中,朱学炎,金福临,等.数学分析(上册)[M].3版.北京:高等教育出版社, 2007.

[2]MaligrandaL.Orliczspacesandinterpolation[M].Brasil:Universid-adeEstadualdeCampinas, 1989.

[3]BekjanTN,ChenZ.InterpolationandΦ-momentinequalitiesofnoncommutativemartingales[J].ProbTheoRelaFields, 2012,152(1-2):179-206.

[4]LiH.Hardy-typeinequalitiesonstrongandweakOrlicz-Lorentzspaces[J].SciChinaMath, 2012,55(12):2493-2505.

TheBasicPropertiesofaClassofConvexFunction

andItsApplications

HAN Ya-zhou

(CollegeofMathematicsandSysitemScience,XinjiangUniversity,Urumqi830046,China)

Abstract:Thispaperpresentssomebasicpropertiesofaclassofconvexfunctions.Asanapplication,weproveainterpolationtheoremforOrlicz-Lorentzspaces.

Keywords:convexfunction;Orlicz-Lorentzspaces;inequalities

[基金项目]国家自然科学基金项目(11401507); 新疆大学大学生创新项目XJU-SRT-14048

[收稿日期]2014-07-20

[中图分类号]O174.13

[文献标识码]A

[文章编号]1672-1454(2015)01-0038-04