四川卷与全国卷试题对比之“解三角形”

陈爽

摘 要： 从2017年起，四川普通高考各科全部使用全国统一命题试卷，四川卷与全国卷在数学试题上存在一些区别， “解三角形”常常与三角函数、不等式、平面向量、解析几何、立体几何等相互结合，求解与三角形有关的边、角、面积等问题。本文从2013—2015年四川卷和全国卷I、II分析解三角形的考点，以及四川卷与全国卷在“解三角形”试题类型上的差异与相同点.

关键词： 解三角形 考点分析 三角函数 不等式 实际问题

2016年将是四川最后一次自主命题，随着高考改革的推进，从2017年起，四川普通高考各科全部使用全国统一命题试卷，对于数学这门学科而言，解三角形一直是高中数学中的重要内容，它具有较强的综合性，如解三角形试题往往与平面向量、三角函数、不等式、立体几何、解析几何等相结合，题目灵活，能够解决一些实际性问题等，因而成为高考试题的热点和必考点[1].

1.解三角形的考点分析

解三角形就是求解出三角形的所有边和所有角，正、余弦定理则是解三角形的一个有力工具，由于正余弦定理本身与三角函数相联系，因此对于涉及解三角形中的求角、求边的问题和判断三角形的形状等问题时，需要结合“正、余弦定理”、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、诱导公式等进行三角函数变换，多者相互结合求解三角形.

从表1和表2“2013—2015年四川卷和全国I、II卷解三角形所涉及内容”综合来看，二者对于解三角形问题大部分涉及利用正、余弦定理结合三角函数求解三角形边、角、面积等，少部分解三角形问题涉及不等式及向量方面的知识.从分值来看，四川卷每年基本都有一道解答题涉及解三角形，全国卷也将解三角形纳入重点内容.从出题意图来看，解三角形可以考查学生知识的综合应用和灵活应用的能力.

2.三角函数与正、余弦定理结合解三角形

利用三角函数与正、余弦定理结合解三角形，虽然题型相对简单，但是所涉及知识面较宽，尤其是三角函数中两角和与差、二倍角的正弦、余弦和正切公式等诱导公式的灵活应用是学生的一大难点，同时解三角形时还隐藏着一些条件，比如三角形内角和180°，三角形三边满足两边之和大于第三边、两边之差小于第三边等.

例1（2013课标全国Ⅰ，理17）（本小题满分12分）如图，在△ABC，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°.

（1）若PB=，求PA

（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA.

分析：根据已知条件，在△PAB中利用余弦定理即可求解PA，利用正弦定理即可解出tan∠PBA.

解：（1）由已知得∠PBC=60°，所以∠PBA=30°.

（2）设∠PBA=α，由已知得PB=sinα.

在△PBA中，由正弦定理得=，

化简得cosα=4sinα.

所以tanα=，即tan∠PBA=.

小结：本题主要考查学生对正、余弦定理的理解和应用及一些较简单三角函数诱导公式.

例2（2013四川，理17）（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2coscosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-.

（1）求cosA的值；

（2）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影.

分析：利用三角函数和与差的诱导公式和二倍角公式对已知条件进行化简，即可求得cosA，最后结合正余弦定理求解出c的值即可求得向量在方向上的投影.

小结：本题主要考查学生应用正弦定理和余弦定理、三角函数中和与差、二倍角诱导公式及平面向量的投影等知识，所涉及知识面较宽，考查学生知识的综合应用和灵活应用的能力.

3.不等式与解三角形结合

三角形中涉及求角、边、面积范围时，就会应用到不等式的相关知识，比如基本不等式等，在“解三角形”的过程中，要从研究角和边的取值范围开始，充分考虑三角函数值的符号和三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，三角形内角和180°，三角形的形状等已知或隐含条件，尽可能缩小角和边的取值范围，只有这样，才能避免产生增根或“扩大”所求变量的取值范围[2].

例3（2014课标全国Ⅰ，理16）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为？摇 ？摇.

分析：已知条件中（2+b）（sinA-sinB）=（c-B）sinC，既有边又有正弦值，联想到利用正弦定理，统一变量，再观察化解后的形式和余弦定理相似，则可求出cosA，进而利用面积公式S=bcsinA求出面积的最大值.

小结：本题主要考查学生对正弦定理和余弦定理的理解和综合应用，以及解三角形与基本不等式的结合.

总之，解三角形虽然涉及内容较多，需要结合“正、余弦定理”、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、诱导公式等进行三角函数变换，进而求解三角形，但是从2013—2015年四川卷和全国卷I、II分析解三角形的考点来看，解三角形大部分涉及利用正、余弦定理结合三角函数求解三角形边、角、面积等，少部分解三角形问题涉及不等式及向量方面的知识.学生需要灵活应用正余弦定理与三角函数的结合，才能真正掌握解三角形的相关知识.

参考文献：

[1]杨卫剑，计惠方.2014年数学高考题大盘点——以“解三角形”为例[J].高中数理化，2015：3.

[2]马俊华.例谈高考数学试题中常见的“解三角形”问题[J].考试（高考教学版），2012：13.