关于二元一次不等式确定平面区域的探究

钟学敏

【摘要】 新课程标准改革以来，高中数学教材进行了不断地更新，很多新内容被添加到课本中。在本论文中，笔者首先简单介绍了一些二元一次不等式（组）的相关知识，然后介绍一下自己多年以来对这部分内容的教学方法。

【关键词】 二元一次不等式 平面区域 学习方法

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2014）10-077-010

作为高中数学的必修内容之一，二元一次不等式确定平面区域这一部分内容的学习会对学生数学能力的培养和提高产生十分重要的影响。二元一次不等式本是高中数学中代数部分的重要内容，由标题就可以看出，在这一章中，教材编写者用几何知识来表示代数式的解集。几何知识点解集代数问题，为学生开辟了新的解题思路，促进了其综合素质的提高。新课程标准对这一章节内容的学习提出了新的要求：一是充分了解二元一次不等式的几何意义，二是能够用平面区域来表示二元一次不等式或二元一次不等式组。结合自己多年的高中数学教学经验，笔者对二元一次不等式确定平面区域这部分的内容进行了全面的分析和了解，并对其解题方法进行了相关探究。

1. 二元一次不等式（组）概述

二元一次不等式的学习，是建立在一元一次不等式的基础之上的，两者的基本知识点有很多的相通之处。所谓一元一次不等式，就是形如3x-4>12的不等式。也就是说，在一元一次不等式中，只有一个未知数x，未知数的幂数必须是1，并且要用不等号来表示前后两者之间的关系。由此可以推断，二元一次不等式中一定是有两个未知数的，而且前后两者的关系必须要用不等号（>，<等）来表示，例如，3x+2y<15。所谓的二元一次不等式组，就是指由两个这样的不等式形成的组合。

与二元一次方程的解法相类似，二元一次不等式组的解并不是某个特定的数字，而是形如x>3，y<4这样的答案。当然，如果求二元一次不等式组的解的话，同学们只要算到这一步就算是解完了。但是，我们必须意识到一点，这样的表示方法并不形象，学生们并不知道二元一次不等式组答案的真正含义。为了使答案更直观、更形象，很多数学教师都进行了不懈的努力和研究，最后他们发现用几何图形（平面直角坐标系）来表示二元一次不等式组的解集是一个不错的办法。所以，用二元一次不等式来确定平面区域这块知识点如何更加直观的表现出来，这样学生学习起来才能轻松。

2. 教学方法分析

在进行本节课的教学时，为了使学生们更加轻易地融入到学习过程中，笔者首先创设了一定的问题情境：某银行3月份计划投入2600000元用于企业或者个人贷款，并希望这笔资金为本单位带来至少40000元的收益，其中预定从企业贷款中获益10%，从个人贷款中获益8%，那么银行应该如何分配自己的资金呢？之后学生们进行小组自由讨论，然后笔者让某个学生进行回答，其答案如下：设该银行用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元，那么可以列出不等式x+y≤2600000，x×10%+y×8%≥40000.

当该同学回答完毕之后，笔者要对该学生进行表扬，并再次向他们提出问题：怎样求出x或y的值或者取值范围。当学生们感到这方面的知识困惑时，笔者引入本堂课的学习内容：二元一次不等式确定平面区域。

3. 二元一次不等式组确定平面区域的教学过程

用二元一次不等式确定平面区域，怎样才能更加简便地找出我们所要求的具体区域呢？笔者与同学们共同学习了课本上的例题：画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。以下是笔者的具体教学过程：

第一步，先做出一个平面直角坐标系标有x轴和y轴。然后先画出2x+y-6=0的这条直线，然后再选取其小于0的部分，下图部分则为该题目的解集图形：

为了让学生们更加容易地作出该不等式的图像，笔者从多方面进行了探索：第一，从x的系数来看，在本题目中x的系数为2，大于0，又因为此不等式左右两边的关系用小于号表示，则x的系数与整个不等式的符号是不同的，这时我们选取了2x+y-6=0直线的左面部分。第二，从y的系数来看，系数为1，大于0，而不等号为小于号，两个符号仍然互异，选取的是直线下面的部分。此后，笔者又对这一现象进行了多次验证，并对二元一次不等式确定平面区域的方法进行了总结：这些方法都首先要做出这条直线的图象。

第一种方法：用点来判断不等式图像的方法。同学们可以带入直线左右两边的数字进行验证，如果该数字带入之后，不等号左右两边的关系并不成立，则该不等式的图像应该在该点所在区域的对立区域。

第二种方法：用x的系数来判定不等式的图像。我们仍然要用直线定边界，然后看x的系数（是大于0，还是小于0）与不等号（大于号，还是小于号）的关系，如果两者符号相同，则直线上方的区域为不等式的解集图像。假设两者出现符合不相同，那么这条直线的下方区域就是我们所要求的区域。

第三种方法：用y的系数来判定不等式的图像，该方法与第二种方法基本相同。如果y系数与不等号方向是相同的，那么以直线定边界，直线右面部分是解集图像。如果两者符号不同，则直线左面部分是解集图像。

相比课本上提到的以点来判断不等式图像的方法来说，用x或y的系数与不等号的关系来判定图像区域的方法更为简便，值得推广。

4. 总结

翻阅历年的高考试题，不难发现二元一次不等式确定平面区域这部分的内容是高考的必考内容。为了取得较好的成绩，提高自己数学知识的积累和应用能力，学生必须努力探究新的学习方法，不断提高自己的学习效率和效果。而作为学生学习过程中的重要指导者，数学教师必须采用先进的教学方法，提高自己课堂教学的有效性。

[ 参 考 文 献 ]

[1]刘洪见.对二元一次不等式确定平面区域的探究[J].语数外学习（高考数学），2011（5）.

[2]宋波.确定二元一次不等式表示的平面区域的另一种简易方法[J].福建中学数学，2012（1）.