微元法求旋转体体积课堂设计

樊娟华

【摘要】教师的课堂设计直接关系到学生对知识的理解和接受.如何生动有趣有效地设计课堂教学是评价教师教学成败的直接手段.微元法是根据定积分的定义抽象出来的将实际问题转化成定积分的一种简单有效的方法，也是利用微积分处理实际问题的难点.如何使复杂的积分问题变得容易理解，本文将给出微元法求旋转体体积的教学设计方法.

【关键词】微元法;课堂设计;类比

高等数学具有“高度的抽象性、应用的广泛性”之特点，决定了它的严密和复杂.提起“高等数学”四个字，马上“枯燥”二字就会浮现在大多数学生的眼前.那么摆在我们教师面前的就是如何改变这种认识使死气沉沉的高等数学课堂活跃起来？如何生动有趣地组织高等数学课堂教学过程？如何让学生自主参与高等数学的课堂教学？这就是我们高职高等数学分层分类分专业教学改革设计与实施的主要内容，也是眼下迫在眉睫的问题.下面我结合类比教学法从课改的角度“提出问题——知识讲解——回归问题”，谈谈微元法求旋转体体积的教学课堂设计.如果能起到抛砖引玉的作用或对同行能有一点点启示即达到本文之目的.

第一，提出应用型问题.旋转体是由一个封闭的平面图形绕该平面内的一条定直线旋转一周而生成的几何体.玩的篮球、足球都是半圆绕直径旋转得来的，它们的体积就是圆的体积比较容易计算.同样玩的橄榄球，看上去是椭球体，是椭圆绕其长轴旋转一周得到的，可是体积是多少呢？（学生分组讨论5分钟，给出每组关于如何计算的讨论结果）此时，教师要对给出的结果予以肯定和激励.然后教师再拿出若干个纸灯笼（旋转开是灯笼）发给每个组（依组确定个数），再给每个组3分钟讨论时间，时间到教师开始启发引导，确定旋转体的每个垂直于轴的切面都是圆面，把旋转体垂直于轴切若干下就得到若干个近似于圆柱的小圆柱体，若干小圆柱的体积和正是旋转体的体积（时间3分钟）.

第二，教师借助多媒体播放旋转体旋转的动画，以加深对旋转体体积的理解.推出微元法计算近似小圆柱的公式，从而结合定积分思想给出旋转体体积的表达式（时间5分钟）.

讲个例题巩固微元法思想（时间5分钟）.

第三，解决椭球体体积.有了纸灯笼做前奏，此时椭球体可以看作是椭圆x2142+y2102=1绕x轴旋转一周得到的，体积微元为dV=πf(x)2dx=πy2dx=π1－x2142×102dx,

体积为V=∫14－14π1－x2142×102dx=56003π（时间10分钟）.

第四，疑问解决.绕x轴旋转一周的体积已经解决了，那么绕y轴旋转一周的体积是多少呢？让一半的同学按照绕x轴旋转的方法计算，另一半的同学动脑想象（时间5分钟）.结论是：计算得到椭圆x2142+y2102=1绕y轴旋转一周的体积为V=∫10－10π1－y2102×142dy=78403π，动脑想象的部分同学说体积应是相同的.（分组讨论2分钟）下面用类比教学法解答.类比教学法把与教学内容相似或相关联并且为学生较熟悉的事物作类比，以建立知识模型化抽象为具体，促使复杂化为简单.类比教学法是从日常生活中寻找较为接近的模型，让学生从简单模型入手，从了解与知识类似的模型入手，从中探究提炼构建知识体系，激发学生学习兴趣，促进学生主动思维、充分联想，帮助学生形成概念，使之鉴别异同，准确且深刻理解该数学模型的形式，进而强化灵活应用之目的.

用一个长为4，宽为2的矩形作类比，如下：

矩形绕x轴旋转一周的体积为Vx=π×12×4=4π，绕y轴旋转一周的体积为Vy=π×22×2=8π（5分钟时间）.椭圆x2a2+y2b2=1绕x轴和y轴旋转一周后虽然他们都是椭球体，但是它们是形状完全不相同的椭球体，它们的差V差=Vx－Vy=43πab(a－b)，可见当a=b时V差=0，即a=b时绕x轴、y轴旋转后的体积相等都为圆的体积，当a≠b时必有V差≠0，故绕x轴、y轴旋转后的体积不相等.椭圆x2142+y2102=1绕x轴旋转一周后是标准的橄榄球，绕y轴旋转一周后是压缩加伸长了的橄榄球（形状酷似体育竞技中的铁饼），这样形状改变就造成了体积的不一致，接着师生讨论纠错.（时间7分钟）

通过实际教学的检验和学生课堂教学的反馈意见，类比教学法“易学、易懂、易理解、易掌握”，可以浅化知识起到引水入河架桥过江的作用.学生在较轻松理解的基础上既能很好地接受教师传授的知识，同时也锻炼了他们的空间想象能力、逻辑推理能力及迁移转换能力.通过课堂上的启发——想象——引导——再想象——再引导——最后解决实际问题，这一步步的教学过程都离不开教学情境的精心设计和活跃的课堂气氛中师生间的精彩互动.有了学生的积极参与和教师的谆谆引导从而为教学营造了宽松的课堂氛围，使教师越上越有劲，学生越学越爱学.类比教学法中化抽象为具体的教学过程不但锻炼了学生的类比思维及形象思维，而且可以激发学生的探索欲、成功欲及求知欲，更重要的是深深铭刻于学生头脑中的数学思想、数学思维、研究方法及着眼点也会随时随地发挥作用，使他们受益终生.这样的教学可以改变以解题技巧为主的传统教学方式，打破学科式教学内容体系的束缚，使课堂更灵活.类比教学法不仅应用于求旋转体的体积，它也可以应用于高等数学的其他讲授部分.