浅析积分在实际问题中的应用

王岩岩+刘伟

[摘 要]积分理论从几何学和物理学中的实际问题引出，在科学技术上获得了广泛的应用。微元法是分析、解决几何、物理、经济等问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。生活中的许多实际问题都可用微元法把所求量以定积分的形式表示出来。微元法体现的是一种极限思想，有利于发展我们的思维，促进我们巩固知识、加深认识，对自然科学的学习和研究都很有帮助。

[关键词]积分；积分中值定理；微元法

[中图分类号] [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2016）06-0167-02

积分理论是从几何学和物理学中的实际问题引出的，在科学技术上获得了广泛的应用， 从而得到了快速的发展。为了能更有效地运用积分，人们往往采用比较简捷的微元法对事物进行分析。

微元法是分析、解决几何、物理、经济等问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用微元法使一些复杂的过程转化为简单的规律，可以快速地解决有关积分的问题。因此，学生掌握好微元法对学习《数学分析》课程及实际应用具有重要的意义。

一、定积分中微元法的理论分析

（一）微元法的本质

微元法是定积分计算思想的简化。它把定积分求解过程中的分割、近似代替、作和、取极限四步浓缩为两步，即化整为零求微元，积零为整求总量。应用定积分解决实际问题时，通常并不是通过我们所熟知的“分割，近似求和，取极限”等经典步骤获取定积分表达式的，而是利用更简单的微元法得到定积分表达式。微元法思想是微积分的主要思想，它在处理各类积分应用问题中是一脉相通的，也是学生学好各类积分的理论依据。

（二）定积分中微元法的应用条件

选取微元时应遵从的基本原则：

（1）φ是与某个变量的变化区间[a，b]有关的量；

（2）所求量φ关于分布区间[a，b]必须是代数可加的；（注：对于矢量，如力、动量等，由于矢量的加减法不满足代数可加性，所以遇到这种情况，是不能直接用微元法的，但可以进行力的分解，使各个分力在同一条直线上）

（3）微元法的关键是正确给出Δφ的近似表达式：

Δφ≈f（x）dx；Δφ-f（x）Δx=o（Δx）。

通常情况下，要验证Δφ-f（x）Δx为Δx的一个高阶无穷小量是比较困难的。因此找微元时，要特别谨慎。

（三）微元法在定积分中的应用步骤

微元法解决定积分应用问题的步骤如下：

（1）确定积分分布区间[a，b]，大多采用投影法（如求曲边梯形面积时，可以将梯形的曲边投影到x轴上；求楔体体积时，可以将楔体投影到平面xOy上或者yOz上等）；

（2）找出微元dφ。在分布区间（积分区间）[a，b]上任取一点x，把该点x看做一个小区间，其长度为dx，则该点x对应的微元dφ一般是关于x的一个函数f（和所求量φ有关）与dx的乘积，即dφ=f（x）dx；

二、积分在实际问题中的应用

（一）经济问题

某工厂技术人员告诉他的老板某种产品的总产量关于时间的变化率为R′（t）=50+5t-0.6t2，现在老板想知道4个小时内他的工人到底能生产出多少产品。如果我们假设这段时间为[1，5]，生产的产品总量为R，则总产量R在t时刻的产量，即微元dR=R′（t）dt=（50+5t-0.6t2）dt。因此，在[1，5]内总产量为

（二）压缩机做功问题

在生产生活过程中，压缩机做功问题由于关系到能源节约问题，因此备受大家关注。假设地面上有一个底半径为5 m， 高为20 m的圆柱形水池， 往里灌满了水。如果要把池中所有的水抽出，则需要压缩机做多少功？此时，由于考虑到池中的水被不间断地抽出，可将抽出的水分割成不同的水层。同时， 把每层的水被抽出时需要的功定义为功微元。这样，该问题就可通过微元法解决了。 具体操作如下： 将水面看做是原点所在的位置， 竖直向下做x轴。当水平从x处下降了dx时， 我们近似地认为厚度为dx的这层水都下降了x，因而这层水所做的功微元dw≈25πxdx（J）。当水被完全抽出， 池内的水从20 m下降为 0 m。根据微元法， 压缩机所做的功为W=25πxdx=15708（J） 。

（三）液体静压力问题

在农业生产过程中，为了保证农田的供水，常常需要建造各种储水池。因此，我们需要了解有关静压力问题。在农田中有一个宽为 4 m， 高为3 m， 且顶部在水下 5 m的闸门， 它垂直于水面放置。此闸门所受的水压力为多少？我们可以考虑将闸门分成若干个平行于水面的小长方体。此时， 闸门所受的压力可看做是小长方体所受的压力总和。 当小长方体的截面很窄的情况下， 可用其截面沿线上的压强来近似代替各个点处的压强。 任取一小长方体，其压强可表示为1·x=x， 长方体截面的面积为ΔA=4dx， 从而ΔF≈x·4dx， 进一步， 有

利用微元法求解定积分，还可以解决很多实际工程问题，关键是要掌握好换“元” 的技巧。这就需要我们解决问题时，要特别注意思想方法。思想方法形式多种多样，如以直代曲、以均匀代不均匀、以不变代变化等。

三、重积分的应用

重积分是研究曲面面积、求空间物体体积、计算物体的质量和解决一些实际问题等方面的有力工具。

微元法是分析、解决几何、物理、经济等问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。生活中的许多实际问题都可用微元法把所求量以定积分的形式表示出来。 我们在使用这种方法时，要把问题的共性和特性联系在一起。 这样才能灵活运用微元法， 并加强我们对已知规律的再思考。另一方面，微元法体现的是一种极限思想，这种极限思想有利于发展我们的思维，培养我们的能力，对自然科学的学习和研究有很大的帮助。

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[责任编辑：钟伟芳]