通过数学建模培养工程应用型人才

段培超 张春晓 高永馨

【摘要】数学模型与民航案例是一门实践性很强的课程，是连接数学与实际问题的桥梁，对于培养学生的科学计算能力和应用数学知识解决实际问题的能力发挥了十分重要的作用.由于我校信息与计算科学与统计学专业的培养目标为适应市场经济发展需要，立足民航，面向社会，故而本课程系统地、有计划地将民航案例引入教学，使学生对民航的现状及其发展有深刻的认识，为早日成为高素质的应用型人才，提前做好接触民航、服务民航的准备.本文主要介绍该课程近五年在教学内容、教学方法、教学特色等方面的建设情况和实施效果.

【关键词】数学模型；民航案例；实践教学

一、引 言

当今的数学迅速渗透到自然科学和社会生活的各个领域,拉近了与现实生活的距离,成为一种普遍可行的关键技术，以培养运用数学的理论和方法来解决实际问题的能力为目标的创新教育已经成为数学教学改革中备受关注的一个热点.因此,如何培养高素质的人才,增强他们应用数学知识解决实际问题的能力,已是数学教育改革的一个非常重要的课题.俄国著名数学家罗巴切夫斯基曾说过：“任何数学分支，无论怎样抽象，总有一天可被应用于现实世界的各种现象.”数学“是一把万能钥匙，借助它，近代数学家打开了几何以至大自然的秘密”.放眼所有现代科学技术的兴起，计算机技术、航天技术、纳米科学、人工智能等等，几乎无一不得益于数学的发展与繁荣.

数学模型与民航案例是连接实际问题、数学知识与计算机应用能力的桥梁，是一门提高学生解决实际能力和创新能力的实践类课程.由现实问题建立数学模型，是一项创造性的工作，是知识和能力的综合体现.由于我校信息与计算科学与统计学专业的培养目标为适应市场经济发展需要，立足民航，面向社会，本专业培养的学生，毕业后大部分要走上民航工作岗位，从事民航信息管理、数量分析、预测与控制等工作，这就要求我们应将数学模型理论讲授与民航实际训练有机地结合起来.所以本课程系统地、有计划地将民航案例引入教学，使学生对民航的现状及其发展有深刻的认识，并提前做好接触民航、服务民航的准备.

二、课程的教学改革与实践

我校自2004年开设数学模型Ⅱ课程，经过多年的教学实践，在课程教学改革方面做了许多探索，但效果还是不甚理想.课程组通过到南航和海航调研发现，部分毕业生普遍存在缺乏对现代民航行业特点、现状、发展、工作流程和文化等方面的了解，上岗适应慢，缺乏团队工作经验，沟通能力、动手能力较差，缺乏创新精神等问题.为适应现代民航企业乃至全社会各级部门的需要，课程组针对以上问题，在2008版培养方案中将课程更名为“数学模型与民航案例”，对教学内容进行了细致认真的推敲.并以课程教学内容为主体，组织学生参加大学生数学建模竞赛、科技立项、教师科研项目等活动为辅助，将调整课堂教学内容、转变教师的教学方式和学生的学习方式作为课程教育教学改革的重点，在以下几方面进行了积极的探索与实践.

1.精选内容,案例驱动

目前很多高校的数学建模类课程在教学中还没有形成比较完整严密的教学体系,教学资料的编排也各不相同.课程组经过认真讨论，选定清华大学姜启源、谢金星、叶俊编写的《数学模型》（第四版）作为教材.但教材中数学模型的例子很多，如何合理地选择适用于本专业教学及培养计划的案例、增加有实际价值的民航案例，成为课程组所有老师最为关心和重视的问题.

信息与计算科学专业和统计学专业的毕业生，既要有扎实的数学理论基础，又要具备必要的民航背景知识.为了调动学生学习的兴趣和应用数学的能力，加强学生的数学基本知识训练，培养学生创新意识，增强学生热爱民航、服务民航的意识，对于教学中所采用的案例，课程组进行了认真的研讨和慎重选择，分层次选择了以下案例：

第一部分：优化模型、回归模型、随机模型等

公平的席位分配、实物交换、存储模型、随机人口模型、多阶段最优生产计划等20个数学模型.重点是使学生掌握优化问题建模、随机问题建模、数据建模的基本原理、方法和过程，难点是建模的思路和结合计算机软件实现求解及验证.

第二部分：差分方程模型、微分方程模型等

传染病模型、药物在体内的分布与排出、捕鱼业的持续收获、种群的相互竞争、市场经济中的蛛网模型等9个模型.重点是要求学生掌握应用微分方程及其稳定性理论建模的基本原理、过程方法.难点是建模的过程及相图的描绘与分析.

第三部分：民航案例

航空公司的预定票策略、飞行计划问题、飞机的精确定位问题、飞机除冰液地面除冰过程模型、民航运输总周转量的多元回归模型、我国民航事故率的预测模型、机场选址问题、航空公司的收益模型、发动机性能参数预测、机票的预订票策略等十余个民航案例.这些案例涉及了民航生产、经济、维修、安全方面问题，重点是培养学生掌握应用数学模型解决民航实际问题的原理、方法及实现过程.难点是数学模型的选择、抽象、提炼、简化和求解、验证.

第一部分和第二部分教学内容选择于《数学模型》的经典模型，第三部分选择的民航案例来自于研究文献及我校部分科研成果.通过2008级至2010级的教学实践发现，新的教学内容符合学生的认知特点，极大地调动了学生学习的主动性和积极性，激发学生的求知欲，收到了良好的教学效果.

2.运用CDIO教学模式，加强课外实训

多年来，数学教学对人才培养起到了积极的作用，但也存在着不尽如人意的地方.教师认为数学难教，学生认为“数学难学，学了数学也没有用途”.究其原因主要是对数学课程的定位模糊，数学教学对能力培养重视不够或者没有可行的方法进行能力培养.而CDIO教育模式恰恰非常有针对性的对教学中存在的许多问题作出了全面、系统的指导.通过将CDIO教学模式融入课堂教学，创新实践教学方法，使学生工程基础知识、个人能力、人际团队能力和工程系统能力四个方面得到全面的训练和提高.达到适应现代民航发展需求的目的和效果.CDIO代表构思（Conceive）、设计（Design）、实现（Implement）和运作（Operate）,它让学生以主动的、 实践的、课程之间有机联系的方式学习工程.超过书本的内容通过课外自学或活动获得，培养学生自主学习的能力；通过实际CDIO实践教学，加强学生的实际创新及动手的综合能力.

本学期同时开设的“数学模型与民航案例课程设计”为“数学模型与民航案例”的实践环节.“课程设计”将数学和计算机有机结合，培养学生利用计算机软件及当代最新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题，是新世纪培养高质量、高层次人才的重要途径.

“课程设计”强化课后建模实验训练,巩固和深化课堂教学.这门课程要求学生必须在课后多思考,真正将教师课堂所教的建模的思想、方法应用于实际问题，特别是民航实际案例.因此，在练习题及大作业的布置上，课程组的教师经过仔细研讨，慎重选择，“人口预测”“药物在体内的分布与排出”等要求让学生做更深一步的讨论,改进原有模型，达到巩固课堂教学的目的;“中国民航事故率的时间序列分析”“中国民航机场吞吐量的回归模型”“民用飞机的定价”等要求学生自己收集资料、上机求解,在特定时间内独立地完成,并要求学生提交一篇思路清晰、条理有序的报告.

3.重视软件应用，提高建模效率

在“课程设计”环节,教师应系统讲授数学软件,并让学生上机实习,熟练使用这些软件,提高解决实际数学运算的能力.随着计算机技术的发展,现已出现很多高性能、应用性强的数学软件,这些数学软件克服了传统数学内容多、计算量大等缺点,可以有效地节省时间,提高精度,获取直观形象的结果.目前我校数学实验室拥有正版的Matlab、SPSS、Mathematica等数学软件，为学生数学建模课程设计各个项目的完成起到了积极的促进作用.课上，教师首先介绍“课程设计”中常用的数学软件如Matlab、SPSS、Lingo等,有哪些功能，怎样使用和如何编程，然后出一些练习题让学生熟悉软件包,培养学生利用软件包求解模型和解题的能力,并培养学生用符号计算软件编程的能力.灵活使用这些软件,案例中复杂的数据计算和处理就不再是难题，尤其对于民航案例中的海量数据运算，数学软件的应用大大提高了建模求解的效率.教师建议学生多用Matlab内部函数，少用循环语句，可以大大提高运算速度.

4.加强教学研究,提高教师教学水平

“数学模型与民航案例”课程的教学中，课程组成员积极探索，认真学习，不断提高自身教学及实践水平来促进本课程的教学.在教学过程中,教师的水平是关键问题,教师水平高低直接影响着数学建模课程能够达到预期的目的.讲授数学建模课程的教师不但要具有坚实的数学基础知识,而且要具有较高的分析问题解决问题的能力,能够在学生建模遇到困难的时候,给予正确合理的指导.因此,提高教师的教学水平,具有较为重要的意义.为了提高自身教学水平，课程组的教师认真钻研教材，定期进行研讨.近几年，我校每年邀请一些著名的专家来校做报告,与本校的老师进行交流,拓宽老师的视野.近几年，先后邀请清华大学谢金星教授、复旦大学谭永基教授、北京航空航天大学李尚志教授等来校做关于数学建模、数学课程的精彩报告，使课程组教师受益匪浅.此外，学校、学院选择合适的机会，选派相关教师参加一些学术交流、专业培训、到名校做访问学者等活动，开阔了教师的视野，提高其教学水平.但是，如何将建模思想更好地渗透到数学教学中,并构建数学建模课程的教学模式,这始终是这门课程改革的方向,并有待大家进一步思考和探索.

5.灵活的考核方式，开放的问题实训

目前本课程没有专门的考试,评定成绩的依据是平时的练习、作业、出勤（占15%）和实验报告（占85%）.实验报告的评分的最基本标准是必须自己动手,要写上实验结果及其分析过程.实验报告包括:问题提出、实验目的、实验内容及要求、实验过程及结果、结果分析等等.教师对练习题及大作业认真批阅,对于其中出现的问题及时给出指正意见.

实验报告考核学生对实际问题的理解、分析、抽象能力以及对数学知识的运用能力.对于有创造性的报告,要给以高分作为鼓励.对于难度较高的题目，以小组为单位完成的实验报告，对小组成员统一给分，这就要求学生充分发挥团队协作能力.本学期学生要交5个不同类型的实验报告,学生的数学建模课程成绩就由实验报告来定.为了避免抄袭，保证成绩的公平合理，我课上随机抽取几名学生讲述完成大作业的思路、求解方法等，使得多数同学能够通过自己的努力高质量地完成报告.使学生学到的不只是知识，还有一种钻研向上的精神！ 三、实施效果 通过三届学生的实施，发现学生一定程度上改变了传统理科类学生理论强、实践弱的特点，变得更加愿意接近现实、挑战实际问题.主要取得以下成效：(ⅰ)使学生在较短的时间内,掌握数学建模的基本知识和基本方法;(ⅱ)该课程与相应的课程设计有机地结合起来,使学生能熟练运用常用的数学软件解决实际问题，增强了学生的动手能力;(ⅲ)该课程采用多媒体教学，加大了课堂信息量,加强直观性和趣味性；(ⅳ) 对较为简单的问题，请学生讲解、演示、操作，增强学生的参与意识，活跃课堂气氛；(ⅴ)通过民航案例的引入，加深了学生对民航背景及发展现状等的了解，使学生更加热爱民航事业；(ⅵ)近几年信息与计算科学专业和统计学专业学生参与数学建模竞赛的热情极大高涨，且取得不错的成绩. 学生对任何课程都有一个逐步学习、深入理解的过程，“数学模型与民航案例”课程的改革也不是一蹴而就的，需要不断深化、不断提高、不断完善.近期，课程组将进一步补充和完善“数学模型与民航案例”网络课程，使网络资源更加丰富和全面，为教学提供全面的支持和服务；完成《数学建模与民航案例》讲义的编写；在数学建模竞赛中投入更多的精力，以教学推动竞赛，再以竞赛带动教学.坚持改革，不断创新，为培养高质量的民航应用型人才作出应有的贡献. 【参考文献】 [1]邹瑾，杨国安.开心数学[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2003. [2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011. [3]陈斌，王立文.飞机除冰液地面除冰过程模型仿真与实验.系统仿真学报[J].2012（3）:556-560. [4]宋云雪,张科星,史永胜.基于多元线性回归的发动机性能参数预测[J].航空动力学报，2009（2）:427-431. 本文由中国民航大学2013年中国民航大学信息与计算科学专业综合改革项目及校级教研项目“数学模型与民航案例课程实践化改革与建设”（CAUC-ETRN-2013-67）资助.