淡水田螺缝合线拟合

唐文献+吴文乐+张建

摘要：根据淡水田螺的生物特性，首次研究田螺壳螺旋形几何形状（缝合线）特征及其分布规律。首先，对田螺壳表面螺旋部和缝合螺旋线等形状特征进行逆向扫描和特征统计；其次，通过Origin软件并结合微元法思想拟合出二维螺旋线的数学表达式；在此基础上建立螺壳三维螺旋线的评价指标集。结果表明，拟合出的2种螺旋线的数学表达式与田螺缝合线相似度极高，从而为农业中螺壳形状描述研究与仿生应用提供依据。

关键词：田螺；螺旋线；微元法；仿生

中图分类号： S11+9 文献标志码： A 文章编号：1002-1302（2017）01-0189-04

仿生学是生命科学与机械、材料、信息等工程技术学科相结合的交叉学科，具有鲜明的创新性和应用性。仿生学旨在研究和模拟生物体的结构、功能、行为及其调控机制，为工程技术提供新的设计理念、工作原理、系统构成[1-3]。

田螺广泛分布于湖泊、溪流、池塘、沼泽地、水田、小沟涧等，在寒冷的冬季钻入泥土中不食不动，待到春暖时期从泥土中向外爬行。观察常见的螺可发现，螺无论长幼，螺壳的外形总相似[4]。田螺壳本身是一个完整的右旋螺线结构，壳大、薄而坚固，螺壳的生长从壳顶外开始，顺着螺管的壳口进行，绕着一根假想中的纵轴螺旋式前进。这种生长方式不仅能维持螺壳基本形状不变，且无须浪费过多的贝壳质，使其得到足够的内存空间。陈诗白以北戴河碧螺塔为具体工程实例，探讨了如何采用仿生技术开展建筑设计，实现结构体系与仿生形态的一致化[5]。Paolo等对具有代表性的螺旋形仿生建筑进行分析，找出了制约结构技术在形态仿生中开拓发展的原因，认为形态仿生具有广阔的发展前景[6]。剑桥大学研究表明，有望将螺壳的多种生物学特性在航天、航海事业中推广应用。然而，现有的螺壳仿生主要集中于建筑行业，仿生只是基于外观相似，如果将其应用于航天、航海事业，没有基础数学的理论支撑将具有潜在危险[7]。

本研究针对螺壳的高强度、大空间、减黏脱附等特性，从数学角度推导出螺壳螺旋线的表达形式，为农业中螺壳形状研究与仿生海工及航天装备设计提供数学理论基础。

1 生物学试验

试验基于光学三角原理，采用高精度德国ATOSⅡ型光学扫描仪（技术指标：单幅测量范围为500×380 mm2；2×2 M像素的CCD相机，分辨率为1 624×1 236像素）对螺壳进行生物学测试，提取壳体表面缝合线的参数值，研究其满足的数学关系并建立数学表达方程。

以5个典型田螺为对象进行三维扫描，得出螺壳模型。田螺为活性不封闭生物体，体内存在肉质，试验前需进行预处理，具体操作方法为：将5个外观相同的成年田螺置于玻璃器皿中，禁食24 h，注入沸水0.5 h后，田螺失去活性，将其内部肉质去除并清理，方可进行扫描试验[8]。

首先清洁螺壳表面，如果螺壳表面反光严重或颜色过深，应喷上显像剂并在螺壳表面贴5～7个标记点。然后将螺壳固定在仪器测量中心位置開始扫描，每扫描1次顺时针旋转一定角度，保证依次扫描的重合标记点不少于3个。扫描过程中累积旋转应不小于1周，确保螺壳表面均被扫描。去除图形外的参考点，使图形更为简单，处理更加方便。仪器得到的螺壳表面存在凹凸部分，考虑到计算提取数据点时会影响参数精度，需将凹凸部分删除并修复。由于田螺表面粘贴标记点，扫描后生成的表面会产生漏洞，可通过系统计算表面的曲率，修复漏洞，得到扫描实体图。由于现有技术的局限性，扫描出的螺壳不是完整实体，而是由零碎的图形拼接而成；因此，在精度允许的情况下，利用Geomagic Studio软件将零碎面构造成曲面片体，以保证模型在UG软件中能够高清识别（图1）。

2 二维螺旋线拟合

常见的螺旋线方程主要有阿基米德螺旋线、对数螺旋线、幂指数螺旋线。对数螺旋线与田螺的缝合线形状比较接近[9-10]，因此本研究选用对数螺旋线对缝合线进行拟合（图2）。

2.1 对数螺旋线表达式

2.3 二维表达式的验证

将拟合出的对数螺旋线方程利用Matlab软件进行绘制（图9）。

该图像呈现出锯齿螺旋形，与对数螺旋线的图像存在很大差异，因此将常数转化为关于θ的函数不合理，只能利用最初的表达式（6）与原始图像进行对比。将拟合出的对数螺旋线方程利用Caxa软件进行绘制，与原始坐标所绘制出的螺旋线进行比较（图10）。

图10中实螺旋线代表表达式拟合出的曲线，虚螺旋线代表原坐标点绘制出的曲线。初始表达式拟合出的曲线与原始曲线吻合度较高，相似度达到99.32%。虽然拟合过程中在 0～2π范围内进行取值，但拟合出的图像适用于任意角度。对其余4只螺壳进行相同的研究步骤，拟合出曲线的相似度分别为98.45%、99.13%、99.61%、98.96%，因此式（4）是描述二维螺旋线最优的表达式，同时也为三维螺旋线的拟合奠定了基础。

3 三维螺旋线拟合

田螺缝合线的三维图像与圆锥螺旋线极为相似，现阶段国内学者对三维圆锥螺旋线的研究较少，因此存在一定难度。本研究结合合肥工业大学夏鼎立教授的研究[11]对三维螺旋线进行拟合。

三维圆锥螺旋线即动点沿圆锥面上的1条直母线作等速移动，而该直母线又绕圆锥面的轴线作等角速的旋转运动时，动点在此圆锥面上的运动轨迹（图11）。田螺缝合线近似满足其规律，因此对圆锥螺旋线的研究为田螺缝合线数学方程的建立提供了较好方向。

3.1 圆锥螺旋线表达式

由图12可知，M1M2是三维圆锥螺旋线的一段圆弧，从M1至M2转过了dτ的角度值，α是圆锥在M2母线与该点切线的夹角，N点是M1在线OM2上的投影，t表示在水平面转过的角度，ρ代表其极径。

式（18）中并未提到螺距的关系，但通过二维对数螺旋线与三维圆锥螺旋线的性质可知，螺线在水平面的臂的距离以几何级数递增，且锥顶半角也影响着螺旋线的斜度；因此，螺旋线的螺距与两者密切相关，通过几何关系可求出每个点的螺距。

3.3 三维圆锥螺旋线的验证

需对拟合出的数学表达式的合理性进行验证，将三维圆锥螺旋线在Matlab软件中的程序图（图13）与原始坐标所绘制的螺旋线进行比较。

由图13可知，拟合出的方程与原始螺旋线非常接近，相似度达到97.23%。对其余4只螺壳进行拟合，相似度分别为98.36%、98.12%、97.19%、99.12%，表明拟合的方程可真实反映田螺缝合线的三维图像。

4 结论

本研究通过微元思想，将实际生活中田螺表面的缝合线转化为数学模型，拟合出其二维、三维的数学表达式。通过比较发现，拟合出的数学表达式与原始模型吻合良好，平均吻合度分别达到99.09%、98.00%，能够较好地反映出真实田螺缝合线的形态，达到了预期效果。本结论为田螺的进一步研究提供了数学依据，并为田螺的仿生研究奠定基础。

限于本试验的样本量较少，本研究结果仅作为初步的研究与探索，今后还需对大样本螺壳进行研究。

参考文献：

[1]任露泉，梁云虹. 耦合仿生学[M]. 北京：科学出版社，2012：14-21.

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