二次函数综合题过程突破与解法探究

摘要：本文中以2024年江苏苏州数学中考和2024年四川巴中数学中考中部分该类型的题为例，通过对这类题目的深度剖析，深入探究，探讨有关二次函数与几何图形相结合的平行及垂直等问题，让学生熟知中考热点题型，明确解题的策略和思路，掌握这类问题的求解策略，不断提升数学核心素养.

关键词：数形结合；二次函数；解题策略

对于二次函数与几何问题相结合的压轴题，要注意根据题目给出的图形，观察题目中的点、线、图形之间的内在联系，并根据图形，适当地借助辅助线找到题目中隐藏的点、线及图形之间的关系，分析出图形之间的几何性质，在解答过程中可以转化为代数运算进行求解.当然，也要熟练掌握二次函数表达式求解方法，同时熟知“开口方向、对称轴、顶点坐标”对图象的影响，学会根据的图形的性质，合理求解并运用题目中的角度、线段相等或平行，以及直角三角形、矩形等之间的内在联系，建立桥梁，找到合理的求解策略，不断培养分析问题和解决问题的能力.

例1 （2024年江苏苏州中考数学＼527）如图1，二次函数y=x2+bx+c的图象C1与开口向下的二次函数图象C2均过点A（－1，0），B（3，0）.

（1）求图象C1对应的函数表达式；

（2）如图2，D，E分别为二次函数图象C1，C2的顶点，连接AD，过点A作AF⊥AD，交图象C2于点F，连接EF，当EF∥AD时，求图象C2对应的函数表达式.

解析：（1）将A（－1，0），B（3，0）两点的坐标分别代入y=x2+bx+c中，得1－b+c=0，9+3b+c=0.

解得b=－2，c=－3.

故C1对应的函数表达式为y=x2－2x－3.

（2）连接DE，交x轴于点G，过点F作FI⊥ED于点I，过点F作FJ⊥x轴于点J.

因为FI⊥ED，FJ⊥x轴，ED⊥x轴，

所以四边形IGJF为矩形，则IF=GJ，IG=FJ.

设C2对应的函数表达式为y=a（x+1）（x－3）（alt;0）.

因为点D，E分别为二次函数图象C1，C2的顶点，

将x=1分别代入y=x2－2x－3，y=a（x+1）＼5（x－3）（alt;0）中，得yD=－4，yE=－4a，则点D（1，－4），E（1，－4a）.

所以DG=4，AG=2，EG=－4a.

故在Rt△AGD中，tan∠ADG=AGDG=24=12.

因为AF⊥AD，

所以∠FAB+∠DAB=90°.又因为∠DAG+∠ADG=90°，所以∠ADG=∠FAB.

所以tan∠FAB=tan∠ADG=FJAJ=12.

设GJ=m（0lt;mlt;2），则FI=m，AJ=2+m.

所以FJ=2+m2，点Fm+1，2+m2.

因为EF∥AD，所以∠FEI=∠ADG.

所以tan∠FEI=tan∠ADG=FIEI=12.

所以EI=2m.

又EG=EI+IG，

即2m+2+m2=－4a，则

a=－2+5m8.①

由点F在C2上，可得a（m+1+1）（m+1－3）=m+22，

即a（m+2）（m－2）=m+22.又m+2≠0，则

a（m－2）=12.②

由①和②，可得－2+5m8（m－2）=12.

解得m1=0（舍去），m2=85.

所以a=－54.

所以C2的函数表达式为y=－54（x+1）（x－3），即y=－54x2+52x+154.

例2 （2024年四川巴中数学中考）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方.

（1）求抛物线的表达式.

（2）如图3，连接AC，PC，AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F.记△ACG，△PCG，△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当S3S2+S2S1取得最大值时，求sin∠BCP的值.

解析：（1）由抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），可得

a－b+3=0，9a+3b+3=0.

解得a=－1，b=2.

故抛物线的解析式为y=－x2+2x+3.

（2）因为PF∥AC，所以△ACG∽△PFG，则ACPF=AGPG=CGFG.所以S3S2=GFCG=PFAC，S2S1=PGAG=PFAC，从而可得S3S2+S2S1=2PFAC.

作AN∥BC交y轴于点N，作PQ∥y轴交BC于点Q，如图4.

因为直线BC的解析式为y=－x+3，AN∥BC，故可设直线AN的解析式为y=－x+b′.

将点A（－1，0）的坐标代入y=－x+b′中，得0=－（－1）+b′，

解得b′=－1，所以直线AN的解析式为y=－x－1.

当x=0时，yN=－1，从而可以得到点

N（0，－1），故ON=1，CN=ON+CO=4.

因为AN∥BC，PQ∥y轴，

所以∠PQF=∠NCB=∠ANC.因为PF∥AC，所以

∠PFC=∠ACF.

又∠PFC=∠FPQ+∠PQF，∠ACF=∠NCB+∠ACN，所以∠FPQ=∠ACN.

故△CAN∽△PFQ.

根据相似三角形性质，可得

PFAC=PQCN.

设点P（n，－n2+2n+3），则点Q（n，－n+3），

所以PQ=－n2+3n.

所以有S3S2+S2S1=2PFAC=2PQCN=－2n2+6n4=－12＼5n－322+98，则当n=32时，S3S2+S2S1有最大值98，

此时点P32，154，Q32，32，从而PQ=154－32=94，CQ=32－02+32－32=322.

因为

ON=OA=1，OB=OC=3，所以

∠OBC=∠ANC=45°.

因为∠ANC=∠PQF，所以

∠OBC=∠PQF.

因为

BC=（3－0）2+（0－3）2=32，AB=4，所以

PQBC=9432=328，CQAB=3224=328，从而可知PQBC=CQAB.

所以，不难得到△CPQ∽△ACB.

根据三角形相似的性质，可知∠BCP=∠CAB.

又因为

AC=（－1－0）2+（0－3）2=10，所以不难求得

sin∠BCP=sin∠CAB=OCAC=310=31010.

二次函数与平面几何结合的综合题，涉及的知识点比较多，比如二次函数、平行四边形、函数基础知识，以及平面图形的几何性质等，难度比较大，往往蕴含着方程思想、函数思想、分类讨论思想及数形结合思想等，且作为压轴题形式出现在各地中考试卷中，综合考查学生的数学运算能力、空间观念、逻辑推理能力、几何直观及创新能力等.因此，在日常学习和中考复习中，要提高学生自我构建综合知识网络的能力，在头脑中形成知识框架.在日常训练中，可以结合专题知识学习，练好基本功，提高运用所学习知识分析问题和解决问题的能力.通过这种日常训练，不断提高学生的数学运算能力，培养学生良好的思考问题的品质及良好的学习态度.