以“变”促“思”：初中数学变式教学实践探索

摘要：在初中数学知识探究与考查过程中，将变式作为通用内容，其主要目标是通过改变知识呈现形式，培养初中生更为灵活的数学思维，从而推动其对数学知识的巧妙运用.本文中从这一背景入手，先对变式教学的概念、意义进行了分析，然后，结合两个具体案例阐述了基于参与式课堂的以“变”促“思”的变式教学实践过程.

关键词：以“变”促“思”；参与式课堂；初中数学；变式教学

自从新课程改革之后，国家教育部门就对初中数学教学提出了新的要求.教师应该在教学过程中，引导学生从多个角度去思考数学问题，并运用数学知识解决问题.以“变”促“思”的意义从理论上来说，变式教学可以提高学生的学习兴趣，使学生对知识有更好的理解和记忆.同时，变式教学可以培养学生多角度思考问题的能力，让他们更好地掌握数学知识.因此，在初中数学教学中引入变式教学是非常重要的.此外，教师还可以通过变式教学来培养学生的数学思维能力.数学思维能力是人们学习和解决问题的重要基础之一.在学习和解决问题时，学生应该考虑多种解题方案.变式教学可以帮助学生理解数学知识，提高他们的综合能力和思维能力，从而使他们更好地掌握知识，并运用到生活中.

1 变式教学的概念分析

变式教学本质上是一种灵活多变的教学手段，其核心在于通过调整问题的背景、给定条件或提问的方式，激发学生在多样化环境中思考和解决问题.这种方法极大地促进了学生对数学知识的深入理解，同时也鼓励他们积极探索，进而发展其创造性思维和解决实际问题的能力.

2 基于参与式课堂的初中数学变式教学意义

2.1 有利于提高课堂效率

数学知识在传统课堂上来说相对广泛、枯燥与乏味，学生如果不能全身心地投入到课堂中，则很容易走神开小差，长此以往数学成绩将会一落千丈.而变式教学可以让书本上抽象的数学知识具象化，将复杂的概念形象化，让学生能够更好地理解数学概念和公式理论，让抽象的概念能和具体问题相联系，有利于学生进一步探究和理解.俗话说：一万个人有一万个哈姆雷特.说明每个人的看法和见解有所不同.初中学生对于数学课堂也是如此，每个人的理解能力和接受程度不同，传统的教学模式很难兼顾到每一个人，而变式教学可以让数学知识都系统地联系在一起，方便每个学生根据自己的定位去理解和学习，继而提升课堂效率.

2.2 有利于提升学生思维能力

变式课堂说到底最基础的就是要锻炼初中学生面对各种数学问题举一反三的能力，能够根据一种题型多角度的思考和处理，认识到题型的本质，提升思维能力.学生有了举一反三的能力，也方便初中数学教师利用变式教学提升数学题的研究层次，更好地提升学生的思维能力.通过变式教学，可以促使学生接触到不同形式和类型的问题，从而能够更好地适应各种变化，提高解决问题的能力和思维的灵活性；还可以帮助学生深入理解问题的本质，发现问题的规律，从而更好地解决问题.其次，变式训练可以引导学生从多个角度去思考问题，从而拓宽视野，增强想象力，提高思维的广阔性.最后，通过变式训练，学生可以在不断探索和尝试中发现问题、解决问题，从而培养创造能力和创新意识.

3 基于参与式课堂的初中数学变式教学案例

在新一轮的课程改革中，“新形势下的中学基本教育要以人为本”.根据这一需求，鉴于以“变”促教的实质是加深初中学生的数学认知，因此，从“促进学生发展，以学生为本”的观点来看，教师必须树立“以生为主”的理念，深刻剖析学情，并根据学生的发展需求进行课程设计.

案例一 以生为本

数学教学的重要职能是启迪学生的智慧，引领学生不断地去探寻解决问题的思路和方法，通过数学教学，培养学生锲而不舍、不怕困难、严谨规范、自省反思的科学精神，让学生更加聪明.对于解题，我们多是研究怎样解，较少问为什么这样解，更少问怎样学会解.学数学不能不会解题，但关键在于怎样让学生在学会解题的过程中发展思维能力，也就是核心素养.下面以一道中考压轴题为例，阐述解题教学的实践与思考.

（Ⅰ） 试题呈现

（2023年贵州中考第25题）如图1，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究.在等腰直角三角形ABC中，CA=CB，∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上.

（1）【动手操作】如图2，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为度；

（2）【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；

（3）【拓展延伸】如图3，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由.

（Ⅱ）试题赏析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》将初中阶段“图形与几何”领域分为“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题.本题涉及“图形的性质”“图形的变化”两个板块，考查等腰三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质以及分类讨论思想.通过作图，考查学生的实践能力、几何直观素养等.本题以几何图形旋转为背景，问题设置层层递进，具有良好的“服务选才”和“导向教学”功能，引导教学要强调过程，学习要强调体验.

（Ⅲ）解法探究

中学数学的知识内容是非常丰富的，教师在上课时要根据学生表现出来的实际情况，采用“一题多解”的方法进行教学；或根据主题的特点，改变形式，对问题进行调整，从而产生更深层的变化.在这个过程中，教师要做的就是对题目进行深度挖掘，扩大题目的覆盖面，提高学生的真实能力.

本题第（1）问较为基础，考查学生动手操作水平和作图能力，易得∠PBE=135°.关于第（2）问探究两线段的数量关系，往往离不开全等三角形、等腰三角形、平行四边形等内容，如何用好这些图形，结合已知条件联想相关图形是探寻问题的重点所在.

（i）联想全等三角形

构造一个三角形.图形中PA，PE所在的三角形分别是△PAC与△PBE，一个为直角三角形、一个为钝角三角形，显然这两个三角形不全等，于是可考虑将线段PA（或PE）构造到新三角形中并与另一条线段PE（或PA）所在三角形的形状相同.如，PE所在△PBE是最长边PE所对角为135°的钝角三角形，可构造以PA为最长边的钝角三角形，再证明全等.

方法1：如图4，在AC上取一点F，使CP=CF，由∠C=90°，得

∠PFC=45°，则∠PFA=135°，AF=BP.

由AP⊥PE，得

∠APC+∠BPE=90°，∠APC+∠PAC=90°，所以∠BPE=∠PAC.

所以△PBE≌△AFP（ASA），则

PA=PE.

方法2：如图5，过点P作PG⊥BC交AB于点G，则有∠ABC=∠PGB=45°，于是可得PB=PG，∠PGA=∠PBE=135°.

因为BA⊥BD，AP⊥PE，所以∠PAG=∠PEB，于是可得△PBE≌△PGA（AAS），所以PA=PE.

（ii）联想等腰三角形

由于线段PA，PE有公共端点P，若能说明△PAE为等腰三角形，即可说明PA=PE；或者利用等量代换，转换其中一条线段与要证明的另一条线段构成等腰三角形，也可以推出PA=PE.

方法3：如图6，将△PBE沿BC翻折得到△PBE′，则PE=PE′.

因为∠PBE=∠PBE′=135°，∠ABP=45°，所以∠ABP+∠PBE′=180°，则A，B，E′三点共线，可得∠PAB=∠PEB=∠PE′B，所以PA=PE′.故PA=PE.

（或者延长AB至点E′，使BE=BE′，连接PE′，可以证明△PBE≌△PBE′（SAS），得到PE=PE′，再说明∠PAB=∠PEB=∠PE′B，所以PA=PE′，即有PA=PE.）

案例二 尝试一题多解，提高思维能力

正所谓“条条大路通罗马”，很多数学问题的解决方法不止一个，虽然答案是固定的，但是找到答案的方法却各式各样.针对同一个数学问题，教师应该鼓励学生尝试一题多解， 开动脑筋寻找更多常规思维之外的解题方法.这样帮助学生感悟数学知识之间的共性，不仅有助于培养他们数学思维的深刻性，同时也能进一步激发学生参与数学活动的兴趣.在平时的课堂训练中，教师要注意抓住教育契机，适时开展一题多解训练，促进学生数学思维能力的提高.例如，张明买13支铅笔、5块橡皮、9个糖果，一共用去9. 25元；如果买2支铅笔、4块橡皮、3个糖果，则要用去3.2元.请问买铅笔、橡皮、糖果各一个，需要用去多少元？设铅笔、橡皮、糖果的单价分别为x，y，z元，根据题意可得，13x+5y+9z=9.25，2x+4y+3z=3.列方程组求解时，由于是三元一次方程组，因此可用解三元一次方程组的方法求解.但问题并不是分别求x，y，z，而是求x+y+z，因此可以通过凑整法、主元法、消元法、参数法、待定系数法等方法进行解答.这些方法都能巧妙化解原方程组已知量不足的问题，最后可得所求答案为1.05元.变式教学是时下较为新颖的教学方式，在运用变式教学组织初中数学课堂教学活动的过程中，有些教师由于教学经验不足，不可避免会出现一些问题.为了更好地推动数学教学工作的开展，教师应当立足初中数学教学实际，根据学生知识实际掌握情况以及接受能力进行教学设计.

变式教学是一种能够推动初中生数学思维发展、全面提升初中数学教育效果的重要方法，也是新课程改革背景下初中数学教育改革的必然趋势.在进行变式教学的过程中，教师应该先确立一个明确的教学原则，然后将重点放在基础概念、公式与习题三个方面，合理设计从简单到困难的变式教学内容，培养学生的数学思维.通过对不同类型的问题进行分析，促使学生得到不同类型问题的解决方法，加深其思想的“变”，从而更好地运用“变”来促进课堂的变化，进而取得最佳的教学效果.