APOS理论下的三角函数教学研究

摘 要：数学概念具有抽象、精确的逻辑以及广泛的实际运用等特征，成为中学生必须掌握的关键内容.在对中国传统变式教学理论和西方著名的 APOS 理论进行深度探讨后，笔者尝试将这两种理论融合，构建出一种基于APOS理论的三角函数概念变式教学模型.这种模式的目标是协助学生理解三角函数的概念，激发他们的学习热情，并提升他们的数学运用技巧，塑造他们的数学思维模式．

关键词：APOS理论；变式教学；三角函数

APOS理论是从活动（Action）、过程（Process）、对象（Object）、图式（Schema）四个阶段来体现数学概念的思维过程，构建了一种建设性的学习模式，旨在借由实际操作协助学生领悟并熟练运用知识.^［1］在活动过程中，学生能够依照教师的引导，积极地去研究周围的环境，进而建立起基础的理解.在这个过程中，学生能够通过实践，将已经掌握的知识进行融合，进一步构建出更为全面的理论.

1 教学模型分析

1.1 活动阶段的变式教学模型分析

在教学过程中，活动阶段不仅是开始，也是重要环节.教学活动阶段，学生尚未能够完全理解概念，他们必须借助以往经历以及实际的环境来深入感受和反思，并在此基础上重新构建现有的知识.在此阶段，教师应通过构建实际的生活情境来引导学生对概念有初步的理解.教师可以通过使用情境变式和活动变式来增强教学情境的多样性，使学生在各种场合下获取更为明确的认知，进一步深化对知识的理解和掌握．

1.1.1 情境变式

情境变式涵盖了真实的情境、数字的情境以及将真实和数字相融合的情境.构建问题情境并非一蹴而就，需要教师依照教学目的、学生所处的真实环境以及他们现有的知识掌握水平，仔细筛选出可以使学生容易领悟的情境问题.

例如，在介绍任意角的概念之前，教师可以先展示体操比赛和齿轮运作的视觉元素，然后让学生观察“540°前空翻转体”和“720°后空翻转体”的体育运动以及齿轮系统里驱动轮和附加轮的逆向旋转情况，以此来理解日常生活中角度的重要性.在此过程中，教师指导学生领悟过去所学的0°～360°的视角并不能全面地总结出日常生活中的视角，所以必须将角度的概念进行扩展．

1.1.2 活动变式

教师可以设计出各种类型的活动，如探究式的问答、吸引人的历史故事、实际操作的游戏等，以此激发学生的学习兴趣.尤其是在一节单调无聊的概念课中，这些活动能帮助学生更深层次地理解知识，使得他们对概念的核心有更深的认识，进一步提升他们对知识的掌握程度.

例如，在介绍弧度制时，鉴于学生是第一次接触弧度来描述角的大小，所以教师可以先通过一连串的活动来帮助他们理解“弧度制”的存在.具体活动设计如下.

活动一：在我们的日常生活里，一些数值可以通过各种不同的标准来衡量，其表示的意义也不同.请举例说明.

活动二：我们通常使用的计数单位为十进制，那么，我们是否也可以使用其他的进制单位，比如六十进制，来测定角的大小？

活动三：介绍欧拉阐述弧度概念的故事，理解其内涵有助于精简角的运算．

1.2 过程阶段的变式教学模型分析

在过程阶段，学生必须把实际的数学行为转化为抽象的数学思维，以便更有效地理解概念的基本特征.此步骤并非只涉及一个情境的切换，还需要学生进行长期且深度的反思.当教师有效地应用过程阶段，并采取过程性的转化思维方法，他们

就可以通过“变化的”行为去指导学生进行对“不变的本质属性”深入探索.

例如，当研究“任意角”的概念时，教师可以利用网络画板资源来改变最终边的位置，从而在这个过程中引导学生确立正角、零角、负角的概念．

1.3 对象阶段的变式教学模型分析

在对象阶段，教师需要从之前的行为和操作中提炼出重要信息，并将其转化为一个明确的总结对象，进而获取抽象概念的基本特性.在这个阶段，教学的重心是深化学生对抽象概念的理解.教师通过引入概念性的转换，不仅能够帮助学生提炼出概念，还能够极大地刺激他们的认知过程.^［2］利用非概念变式的辅助，能够降低概念内部的非核心特征的影响.在这个阶段，教师通过引入概念变式和非概念变式来识别概念的核心部分，消除误导性的元素，使其能够有效地协助学生深入掌握数学概念．

1.4 图式阶段的变式教学模型分析

在图式阶段，教学目标是将学生在对象阶段所形成的抽象概念与已有的概念相结合，以便更好地应用和巩固这些知识，进而建立稳定的心理图式.为实现教学目标，教师可以通过构建概念性题组来设计变式题，并通过这些变式题来指导学生去探索各个概念之间的关联和差异.教师还可以通过思维导图、概念图、表格等方式对四个阶段的学习内容进行总结，从而推动学生从多个角度理解概念，并形成一个完备的概念结构.

例如，当学生掌握了“三角函数的单调性”的理论之后，教师可以选取例题并构建一套变式问题来加强对同类型函数特性的理解.

例题 求函数f（x）=sin12 x+π6的单调区间．

变式1 求函数f（x）=sin12 x+π6在（-2π，2π）上的单调区间.

变式2 求函数f（x）=sin-12 x+π6在（-2π，2π）上的单调区间.

变式3 若函数f（x）=sinω x+π6（ωgt;0） 在0，π3上单调，求ω的取值范围.

变式4 若函数f（x）=cosω x-π6是区间-π2，0上的增函数，求正实数ω的取值范围.

变式5 若函数f（x）=cosω x+π6（ωlt;0） 在π2，π上单调递减，求实数ω的取值范围.

变式6 若函数f（x）=sinω x+π6（ωgt;0） 对任意x∈R，都有f（x）≤fπ3，并且f（x）在区间-π6，π3上不单调，求ω的最小值．

通过以上6个变式题的逐步深化，学生已经掌握了正弦和余弦函数的单调特性.教师可以引导学生通过类比来研究这些函数的单调特性.这样既符合学生的思维成长模式，又可以显著增强他们的问题处理技巧．

2 正弦函数、余弦函数的教学过程设计

三角函数能够揭示现实世界的循环变化，并且在实践中拥有非常关键的应用意义.在学生掌握了正弦函数和余弦函数的形状之后，教师可以引导学生深入研究三角函数的特性.在前几节课的基础研究后，学生已经掌握了任意角、三角函数的定义和诱导公式等相关知识.^［3］在这一章节里，学生将会对三角函数的特性进行深度研究，首要学习的便是它的周期性.学生经过本节课的学习可以提升自己的数学直观、数学抽象、逻辑推断和数学建模的能力．

2.1 活动阶段——情境引入，活动变式

活动一：周而复始的现象在自然界和日常生活中都十分常见，同学们能举一些具体的例子吗？

活动二：现在的时间是上午10点，那么24个小时后是什么时间？今天是星期一，那么七天之后是星期几？

【设计意图】在日常生活中，存在许多周期性的事件.为了让教学的主题与日常生活紧密相连，教师设计活动一和活动二来引导学生体验真实世界的直接情境.教师引导学生观察自然界中的循环现象，激起他们对循环的基础理解，构筑知识之间的关联，以此来增强他们的总结和推断技巧.

活动三：请仔细研究图1，看看它们是否存在某种相似的模式？

【设计意图】将教学内容由实际事物转向函数图象，激励学生运用他们的视觉感知技巧，将实际情况转变为抽象理论，以此奠定对周期函数理论及三角函数周期特征的理解．

2.2 过程阶段——概念辨析，过程变式

过程一：通过几何画板绘制正弦和余弦函数图象（如图2）.

过程二：通过分析正弦曲线，能够得到正弦函数的什么特性？如何看待图象的演变方向？

过程三：无论是正弦函数还是余弦函数，都具有“周期性”.如何用数学公式来抽象地描述它们的“周期性”？

【设计意图】通过使用几何画板，学生能够清楚地看到自变量增加或减少2π的过程中，正弦函数与余弦函数的数值持续反复.此外，这个转变具备一定的规则，并遵循特定的周期.

2.3 对象阶段——概念生成，概念性变式

为了精确描绘正弦函数和余弦函数的周期特征，需要引进一个全新的理念——周期函数.

对象一：周期函数的概念.对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，也就是f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期．

教师可以设计如下概念性变式.

变式1 若存在非零常数a，使函数f（x）在定义域上满足f（x+a）=-f（x），那么f（x）是周期函数吗？若是，其周期是什么？

变式2 若存在非零常数a，使函数f（x）在定义域上满足f（x+a）=1f（x），则f（x）是周期函数吗？若是，其周期是什么？

【设计意图】借助两个概念性变式，让学生掌握利用周期函数的属性来确定函数的周期性以及寻找函数的周期，从而提高他们对于周期函数的认识.

对象二：不管是正弦函数还是余弦函数，都被归类为周期函数.2kπ（k∈Z，k≠0）的存在，标志了这些函数的周期性，即最小正周期均是2π.

教师可以继续设计如下概念性变式.

变式3 sin（x+π）=sinx，π可以被视是函数y=sinx的最小正周期，这个结论是否正确？

变式4 cos（x+0）=cosx，所以0可以被视为y=cosx的周期，这种说法正确吗？

变式5 sin（30°+120°）=sin30°是否成立？能否说120°是正弦函数y=sinx的一个周期？

【设计意图】在此阶段，学生对正弦和余弦函数的周期性有所理解.借助于继续创造概念性变式3、4、5，希望能够帮助学生从多个角度深化对三角函数周期性的理解，进一步提升他们对概念对象的理解.此环节可以帮助学生以相对的视角去领悟概念，进一步深化对三角函数周期性含义的理解.

2.4 图式阶段——概念巩固，形成图式

问题 如何计算y=sin2x的最小正周期？

变式1 求y=cos2x的最小正周期？

变式2 求f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期？

变式3 计算以下各函数的周期.

（1）y=sin2x3.

（2）y=cos（-4x）.

（3）y=3cosx3+π4.

【设计意图】设计本阶段时采纳了回溯理念与全局观念，同时融入了转换法与比较法.通过把y=sin2x的函数问题变形成y=sinx的最小正周期，可以计算出y=sin2x的最小正周期.在此基础上，对特定的问题进行了普遍化处理，并计算出f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期.

3 结语

APOS理论的三角函数变式教学方法给教学注入了新的活力，使得学生能够在一个轻松快乐的环境下学习数学，使教学的气氛更加热烈，学习也变得更具吸引力．

参考文献

［1］潘丽虹，陈算荣.APOS理论下“任意角的三角函数”教学重构［J］.高中数学教与学，2024（13）：1-4．

［2］王娜.APOS理论下的三角函数单元教学研究［J］.数学学习与研究，2023（26）：20-22．

［3］栾兆辉.基于APOS理论的高中数学概念教学［J］.教育观察，2023（35）：107-109．

*基金项目：贵港市教育科学“十四五”规划2024年度课题“新高考背景下县域高中数学函数模型教学的研究”（项目编号：202442002B）.