挖掘函数本质，剖析技巧方法，引导数学学习

摘 要：抽象函数与不等式的交汇与融合，是基于抽象函数与方程应用的基础上的深度挖掘与创新应用，对于数学“四基”与“四能”的考查更加清晰明了.

本文结合一道高考真题，就抽象函数与不等式的交汇应用加以剖析，从不同思维视角与技巧方法加以剖析与展开，总结并归纳技巧规律，引领并指导数学教学与复习备考.

关键词：函数；不等式；斐波那契数列；逻辑推理

抽象函数及其综合应用问题，是近年高考数学试卷中频频亮相的一类热点与难点问题，经常以多选题的形式出现，借助函数与方程的关系来构建，进而确定抽象函数的基本性质、函数值等相关的应用问题.抽象函数与不等式的交汇与融合，是2024年高考数学试卷的一个亮点，基于抽象函数与方程

的关系加以深入，合理深度探究与创新应用，给问题的设置与解决创造更多的机会与空间，对于考生的选拔与区分有更好的体现.

1 真题呈现

^^（2024年新高考数学Ⅰ卷第8题）amp;amp;已知函数f（x）的定义域为R，f（x）gt;f（x－1）+f（x－2），且当xlt;3时，f（x）=x，则下列结论中一定正确的是（" ）.

A. f（10）gt;100""" B. f（20）gt;1000

C. f（10）lt;1000D. f（20）lt;10000

该题以抽象函数及其不等式形式来综合考查学生的能力，其巧妙融入函数的解析式、不等式恒成立、数列模型及其应用等众多相关的知识与数学模型，对数学运算能力、逻辑推理能力等有一定要求.

其实有关抽象函数及其综合应用问题，在高考中几乎是年年考的，特别是2021、2022、2023年这几年的新高考试卷，涉及抽象函数的考查主要以

抽象函数的方程或等式等形式来设置，此处的考查以抽象函数的不等式形式来设置，形式有所差异，但解题方法是一样的.

2 真题破解

方法1：逻辑推理法.

依题，当xlt;3时，f（x）=x，以及f（x）gt;f（x－1）+f（x－2）.

当x∈［3，4）时，f（x）gt;f（x－1）+f（x－2）=x－1+x－2=2x－3，此时f（3）gt;3.

当x∈［4，5）时，f（x）gt;2（x－1）－3+x－2=3x－7，此时f（4）gt;5.

当x∈［5，6）时，f（x）gt;3（x－1）－7+2（x－2）－3=5x－17，此时f（5）gt;8.

归纳可知，当x∈［k，k+1）时，f（x）gt;mx－n，其中m与f（k）构成了斐波那契数列{an}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946……

当k=10时，f（10）gt;89；当k=20时，f（20）gt;10946gt;1000，故选项A错误，选项B正确.

选项C，D没有上界估计，故两者都是错误的.

故选择答案B.

点评：本方法依托题设条件中抽象函数所满足的解析式，以及对应不等式条件，通过求解前若干项的函数解析式，进而加以合理归纳与总结，构建对应的斐波那契数列，借助数列模型来逻辑推理与数学运算，实现抽象函数所满足不等式的判断与推理.

方法2：递推分析法.

依题，当xlt;3时，f（x）=x，则有f（1）=1，f（2）=2.

结合题设条件f（x）gt;f（x－1）+f（x－2），可得f（3）gt;f（2）+f（1）=3.

逐项递推可得f（4）gt;f（3）+f（2）gt;5，f（5）gt;f（4）+f（3）gt;8，f（6）gt;f（5）+f（4）gt;13，

f（7）gt;f（6）+f（5）gt;21，f（8）gt;f（7）+f（6）gt;34，f（9）gt;f（8）+f（7）gt;55，

f（10）gt;f（9）+f（8）gt;89，f（11）gt;f（10）+f（9）gt;144，f（12）gt;f（11）+f（10）gt;233，

f（13）gt;f（12）+f（11）gt;377，f（14）gt;f（13）+f（12）gt;610，f（15）gt;f（14）+f（13）gt;987，

f（16）gt;f（15）+f（14）gt;1597gt;1000.

所以可得f（20）gt;1000，故选择答案B.

点评：此方法根据抽象函数及其对应不等式条件，利用变量的合理赋值加以逐一代换，递推分析与处理，是解决该问题中容易想到的一种技巧方法，也是大部分考生在考场中“第一印象”下的基本技巧方法.递推分析法对数据分析、逻辑推理与数学运算等方面的基本能力与素养的要求较高，分析时注意不要出现代换错误.

方法3：斐波那契数列法.

依题，当xlt;3时，f（x）=x，则有f（1）=1，f（2）=2.

结合题设条件f（x）gt;f（x－1）+f（x－2），令x=3，可得f（3）gt;f（2）+f（1）=2+1=3=a4.

令x=4，可得f（4）gt;f（3）+f（2）gt;3+2=5=a5.

令x=5，可得f（5）gt;f（4）+f（3）gt;5+3=8=a6.

观察以上三个不等式，以及题设条件f（x）gt;f（x－1）+f（x－2），联想到斐波那契数列{an}的递推公式an=an－1+an－2（n≥3，n∈N*），且a1=1，a2=1.

以上三个不等式右边分别为斐波那契数列{an}的第4，5，6项，可归纳总结出规律：f（x）gt;ax+1（x≥3，x∈N*）.

列出斐波那契数列{an}的前17项：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，

则有f（20）gt;f（16）gt;a17=1597gt;1000，故选择答案B.

点评：本方法根据抽象函数及其相应不等式的前若干项的分析，合理联想到数列的一个重要模型——斐波那契数列{an}，依托斐波那契数列{an}的构建，综合函数与不等式的知识来综合应用，也是解决问题的一个重要突破口.依托抽象函数与相应的不等式，合理构建与之相吻合的数学模型，很好体现数学建模核心素养，以及函数、不等式等相关知识与数列的联系与综合应用.

方法4：放缩法.

依题，由于当xlt;3时，f（x）=x，以及f（x）gt;f（x－1）+f（x－2），则知抽象函数f（x）只能限制xgt;3时函数f（x）的下界，上不封顶，由此可以排除选项C、D.

当xlt;3时，f（x）=x，则有f（1）=1，f（2）=2.

结合题设条件f（x）gt;f（x－1）+f（x－2），可得f（3）gt;f（2）+f（1）=3.

逐项递推可得f（4）gt;f（3）+f（2）gt;5，f（5）gt;f（4）+f（3）gt;8，f（6）gt;f（5）+f（4）gt;13，

f（7）gt;f（6）+f（5）gt;21，f（8）gt;f（7）+f（6）gt;34，f（9）gt;f（8）+f（7）gt;55，

f（10）gt;f（9）+f（8）gt;89，由此可以排除选项A.

又当xgt;4时，可得f（x）gt;f（x－1）+f（x－2）gt;2f（x－2），

则有f（20）gt;2f（18）gt;4f（16）gt;8·f（14）gt;16f（12）gt;32f（10）gt;2848gt;1000，故选择答案B.

点评：本方法根据抽象函数及其对应不等式条件，挖掘抽象函数的临界值与上界或下界，结合题设中给出的对应选项加以排除法处理.在此基础上，合理通过若干项的分析以及不等式的合理放缩与变形处理，快捷处理与判断对应的不等式成立问题，给问题解析的优化与应用创造更多的条件，提升解题效率.

3 教学启示

3.1 挖掘函数本质，拓展知识交汇

抽象函数是函数模块知识里的重点与难点之一，涉及抽象函数及其综合应用，抽象函数与方程、抽象函数与不等式等众多场景的交汇与融合.

在教学中要充分挖掘函数的本质，特别是有关函数的解析式、函数的基本性质等.

同时要理解函数与方程之间的联系，以及函数与不等式之间的联系，明白函数、方程、不等式三者之间的联系与区别，全面拓展知识应用，实现知识交汇融合，加深学生对数学基础知识的理解与掌握，夯实数学基础，深化综合能力.

3.2 回归函数内涵，构建数学模型

涉及抽象函数及其综合应用问题，有时抽象函数会与一些特殊的模型（正比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等）加以巧妙结合，借助特殊函数模型的构建，实现抽象函数及其综合应用问题的特殊化处理.

还有一些抽象函数及其综合应用问题，有时会与一些特殊的数列模型（等差数列、等比数列、斐波那契数列等）、几何模型等加以巧妙结合，也是知识交汇与综合的一个重要场景，对于数学能力的提升以及创新能力的培养等都有益处.

3.3 依托考试真题，指导教学与学习

抽象函数及其综合应用问题是考查学生掌握函数性质最深刻和有力的工具之一，也是高考命题中尝试回避“撞题”，增强考试公平性的不二选择.这也给教师平时的数学教学与学习指明方向，要讲清、学懂基础知识的本质与内涵，考试的形式可以是多变的、创新的，没有什么是可以通过“刷题”而达到目的的.

同时，教师在平时数学教学与学习中，常常习惯于研究具体函数的性质，对抽象函数常见性质的证明和探索方法很容易忽略，这很可能是高中数学教学与学习过程中的一个盲区，要加以重视与克服.